Rationele ongelijkheden en hun systemen. Systemen van rationele ongelijkheden

Rationele ongelijkheden en hun systemen. Systemen rationele ongelijkheden
Laatste beoordeling van de algebracursus van het 9e leerjaar

Met deze les leer je over rationele ongelijkheden en hun systemen. Het systeem van rationele ongelijkheden wordt opgelost met behulp van gelijkwaardige transformaties. Er wordt gekeken naar de definitie van gelijkwaardigheid, de methode om een ​​fractioneel-rationele ongelijkheid te vervangen door een kwadratische ongelijkheid, en het begrijpt ook het verschil tussen een ongelijkheid en een vergelijking en hoe gelijkwaardige transformaties worden uitgevoerd.

Algebra 9e leerjaar

Laatste beoordeling van de algebracursus van het 9e leerjaar

Rationele ongelijkheden en hun systemen. Systemen van rationele ongelijkheden.

1.1 Abstract.

1. Equivalente transformaties van rationele ongelijkheden.

Beslissen rationele ongelijkheid betekent om al zijn oplossingen te vinden. In tegenstelling tot een vergelijking ontstaan ​​er bij het oplossen van een ongelijkheid in de regel een oneindig aantal oplossingen. Talloze oplossingen kunnen niet door vervanging worden geverifieerd. Daarom moet je de oorspronkelijke ongelijkheid transformeren, zodat je in elke volgende regel een ongelijkheid krijgt met dezelfde reeks oplossingen.

Rationele ongelijkheden kan alleen met hulp worden opgelost equivalent of gelijkwaardige transformaties. Dergelijke transformaties verstoren de reeks oplossingen niet.

Definitie. Rationele ongelijkheden genaamd equivalent, als de sets van hun oplossingen samenvallen.

Om aan te geven gelijkwaardigheid gebruik het teken

2. Oplossing van het systeem van ongelijkheid

De eerste en tweede ongelijkheid zijn fractionele rationele ongelijkheden. Methoden om deze op te lossen zijn een natuurlijke voortzetting van methoden voor het oplossen van lineaire en kwadratische ongelijkheden.

Laten we de cijfers aan de rechterkant naar links verplaatsen met het tegenovergestelde teken.

Als gevolg hiervan blijft de rechterkant 0. Deze transformatie is equivalent. Dit wordt aangegeven door het bord

Laten we de acties uitvoeren die de algebra voorschrijft. Trek “1” af bij de eerste ongelijkheid en “2” bij de tweede.

3. Ongelijkheden oplossen met behulp van de intervalmethode

1) Laten we een functie introduceren. We moeten weten wanneer deze functie kleiner is dan 0.

2) Laten we het domein van de definitie van de functie vinden: de noemer mag geen 0 bevatten. “2” is het breekpunt. Bij x=2 is de functie ongedefinieerd.

3) Zoek de wortels van de functie. De functie is gelijk aan 0 als de teller 0 bevat.

De geplaatste punten verdelen de getallenas in drie intervallen - dit zijn intervallen met een constant teken. Bij elk interval behoudt de functie zijn teken. Laten we het teken op het eerste interval bepalen. Laten we wat waarde vervangen. Bijvoorbeeld 100. Het is duidelijk dat zowel de teller als de noemer groter zijn dan 0. Dit betekent dat de hele breuk positief is.

Laten we de tekens op de resterende intervallen bepalen. Wanneer je door het punt x=2 gaat, verandert alleen de noemer van teken. Dit betekent dat de hele breuk van teken zal veranderen en negatief zal zijn. Laten we een soortgelijke redenering uitvoeren. Wanneer je door het punt x=-3 gaat, verandert alleen de teller van teken. Dit betekent dat de breuk van teken verandert en positief is.

Laten we een interval kiezen dat overeenkomt met de ongelijkheidsvoorwaarde. Laten we het verduisteren en schrijven als een ongelijkheid

4. De ongelijkheid oplossen met behulp van de kwadratische ongelijkheid

Belangrijk feit.

Bij vergelijking met 0 (in het geval van strikte ongelijkheid) kan de breuk worden vervangen door het product van de teller en de noemer, of kan de teller of de noemer worden verwisseld.

Dit is zo omdat aan alle drie de ongelijkheden is voldaan, op voorwaarde dat u en v ander teken. Deze drie ongelijkheden zijn gelijkwaardig.

Laten we dit feit gebruiken en vervangen fractionele rationele ongelijkheid vierkant.

Laten we de kwadratische ongelijkheid oplossen.

Laten we even voorstellen kwadratische functie. Laten we de wortels ervan vinden en een schets van de grafiek maken.

Dit betekent dat de takken van de parabool naar boven wijzen. Binnen het wortelinterval behoudt de functie zijn teken. Ze is negatief.

Buiten het wortelinterval is de functie positief.

Oplossing voor de eerste ongelijkheid:

5. Oplossing van ongelijkheid

Laten we de functie introduceren:

Laten we de intervallen met een constant teken vinden:

Om dit te doen, zullen we de wortels en breekpunten vinden van het domein van de definitie van de functie. Wij pikken er altijd breekpunten uit. (x=3/2) We graven de wortels uit afhankelijk van het ongelijkheidsteken. Onze ongelijkheid is groot. Daarom graven we de wortel uit.

Laten we de borden plaatsen:

Laten we de oplossing opschrijven:

Laten we het systeem oplossen. Laten we het snijpunt vinden van de reeks oplossingen voor de eerste ongelijkheid en de reeks oplossingen voor de tweede ongelijkheid.

Het oplossen van een systeem van ongelijkheden betekent het vinden van het snijpunt van de reeks oplossingen voor de eerste ongelijkheid en de reeks oplossingen voor de tweede ongelijkheid. Daarom moet u, nadat u de eerste en tweede ongelijkheid afzonderlijk hebt opgelost, de verkregen resultaten in één systeem schrijven.

Laten we de oplossing voor de eerste ongelijkheid over de Ox-as weergeven.

Laten we de oplossing voor de tweede ongelijkheid onder de as weergeven.

Lesonderwerp "Systemen van rationele ongelijkheid oplossen"

Klasse 10

Lestype: zoeken

Doel: manieren vinden om ongelijkheden met modulus op te lossen, de intervalmethode toepassen in een nieuwe situatie.

Lesdoelstellingen:

Test je vaardigheden in het oplossen van rationele ongelijkheden en hun systemen; - laat leerlingen de mogelijkheid zien om de intervalmethode te gebruiken bij het oplossen van ongelijkheden met modulus;

Leer logisch te denken;

Ontwikkel de vaardigheid van zelfevaluatie van uw werk;

Leer uw gedachten te uiten

Leer uw standpunt met rede te verdedigen;

Het vormen van een positief motief voor leren bij studenten;

Ontwikkel de onafhankelijkheid van de student.

Lesvoortgang

I. Organisatorisch moment(1min)

Hallo, vandaag zullen we het onderwerp "Systeem van rationele ongelijkheden" blijven bestuderen, we zullen onze kennis en vaardigheden toepassen in een nieuwe situatie.

Noteer de datum en het onderwerp van de les 'Systeem van rationele ongelijkheid oplossen'. Vandaag nodig ik je uit voor een reis langs de wegen van de wiskunde, waar tests op je wachten, een test van kracht. Op uw bureau staan wegenkaarten met taken, een zelfbeoordelingsreisblad, dat u aan het einde van de reis aan mij (de coördinator) overhandigt.

Het motto van de reis zal het aforisme zijn: "Hij die loopt, kan de weg beheersen, maar hij die denkt in de wiskunde". Neem je kennis mee. Betrek uw denkproces en ga op pad. Onderweg worden wij begeleid door een wegradio.Er wordt een muziekfragment afgespeeld (1 min). Dan een scherp geluid van een signaal.

II. Fase van kennistest. Werk in groepen."Bagage-inspectie"

Hier komt de eerste Baggage Screening-test, waarmee uw kennis over het onderwerp wordt getest

Nu word je verdeeld in groepjes van 3 of 4 personen. Iedereen heeft een vel papier met een taak op zijn bureau. Verdeel deze taken onder elkaar, los ze op en noteer de kant-en-klare antwoorden op een gemeenschappelijk blad. Een groep van 3 personen kiest 3 willekeurige taken. Iedereen die alle taken voltooit, meldt dit aan de docent. Ik of mijn assistenten controleren de antwoorden, en als ten minste één antwoord onjuist is, krijgt de groep een blad terug om opnieuw te controleren. (kinderen zien de antwoorden niet, ze krijgen alleen te horen welke taak het verkeerde antwoord heeft).De winnaar is de groep die als eerste alle taken foutloos voltooit. Voorwaarts naar de overwinning.

De muziek is erg rustig.

Als twee of drie groepen tegelijkertijd hun werk af hebben, helpt een van de kinderen uit de andere groep de leerkracht bij de controle. Antwoorden op het docentenblad (4 exemplaren).

Het werk stopt wanneer de winnende groep verschijnt.

Vergeet niet het werkblad voor zelfevaluatie in te vullen. En wij gaan verder.

Taakblad voor “Bagage-inspectie”

1) 3)

2) 4)

III. De fase waarin kennis wordt bijgewerkt en nieuwe kennis wordt ontdekt. "Eureka"

Uit de inspectie is gebleken dat u over een schat aan kennis beschikt.

Maar onderweg gebeuren er allerlei situaties, soms is vindingrijkheid vereist, en wij controleren of u vergeten bent hem mee te nemen.

Je hebt geleerd systemen van rationele ongelijkheden op te lossen met behulp van de intervalmethode. Vandaag zullen we kijken naar welke problemen het raadzaam is om deze methode te gebruiken. Maar laten we eerst onthouden wat een module is.

1. Ga verder met de zinnen “De modulus van een getal is gelijk aan het getal zelf als...”(mondeling)

“De modulus van een getal is gelijk aan het tegenovergestelde getal als...”

2. Zij A(X) een polynoom in x

Doorgaan met opnemen:

Antwoord:

Schrijf de tegenovergestelde uitdrukking van A(x) op

EEN(x) = 5 - 4x; EEN(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

De leerling schrijft op het bord, de jongens schrijven in hun notitieboekjes.

3. Laten we nu proberen een manier te vinden om de kwadratische ongelijkheid met modulus op te lossen

Wat zijn uw suggesties om deze ongelijkheid op te lossen?

Luister naar de suggesties van de jongens.

Als er geen voorstellen zijn, stel dan de vraag: “Kan deze ongelijkheid worden opgelost met behulp van systemen van ongelijkheid?”

De leerling komt naar buiten en beslist.

IV. De fase van primaire consolidatie van nieuwe kennis, het opstellen van een oplossingsalgoritme. Aanvulling van bagage.

(Werk in groepjes van 4 personen).

Nu stel ik voor dat u uw bagage aanvult. Je gaat in groepen werken.Elke groep krijgt 2 taakkaarten.

Op de eerste kaart moet je systemen opschrijven voor het oplossen van de ongelijkheden die op het bord worden gepresenteerd en een algoritme ontwikkelen voor het oplossen van dergelijke ongelijkheden; het is niet nodig om ze op te lossen;

De eerste kaart is verschillend voor de groepen, de tweede is hetzelfde

Wat is er gebeurd?

Onder elke vergelijking op het bord moet je een reeks systemen schrijven.

Vier studenten komen naar buiten en schrijven systemen. Op dit moment bespreken we het algoritme met de klas.

V. Fase van consolidatie van kennis."De weg naar huis"

De bagage is aangevuld, nu is het tijd om terug te gaan. Los nu zelf een van de voorgestelde ongelijkheden met modulus op in overeenstemming met het gecompileerde algoritme.

De wegradio gaat weer met u mee op pad.

Speel rustige achtergrondmuziek. De docent controleert het ontwerp en geeft indien nodig advies.

Taken op het bord.

Het werk is voltooid. Controleer de antwoorden (ze staan ​​aan achterkant borden), vul het zelfbeoordelingsreisblad in.

Huiswerk instellen.

Schrijf het op huiswerk(Kopieer in je notitieboekje de ongelijkheden die je niet hebt gedaan of die je met fouten hebt gedaan, indien gewenst aanvullend nr. 84 (a) op pagina 373 van het leerboek)

VI. Ontspanning fase.

Hoe was deze reis nuttig voor u?

Wat heb je geleerd?

Samenvatten. Tel hoeveel punten ieder van jullie heeft verdiend.(de jongens noemen de eindscore).Overhandig de zelfbeoordelingsformulieren aan de coördinator, dat wil zeggen aan mij.

Ik wil de les afsluiten met een gelijkenis.

'Er liep een wijze en drie mensen ontmoetten hem, met karren met stenen voor de bouw onder de hete zon. De wijze stopte en stelde iedereen een vraag. Hij vroeg de eerste: “Wat heb je de hele dag gedaan?”, en hij antwoordde grijnzend dat hij de hele dag die verdomde stenen had gedragen. De wijze vroeg de tweede: "Wat heb je de hele dag gedaan?", En hij antwoordde: "Ik heb mijn werk gewetensvol gedaan", en de derde glimlachte, zijn gezicht lichtte op van vreugde en plezier: "En ik nam deel aan de bouw van de Tempel!”

De les is voorbij.

Zelfevaluatieblad

Achternaam, voornaam, klasse		Aantal punten
In een groep werken om ongelijkheden of systemen van ongelijkheid op te lossen.	2 punten als het correct wordt gedaan zonder hulp van buitenaf; 1 punt als het correct wordt gedaan met hulp van buitenaf; 0 punten als de taak niet is voltooid 1 extra punt voor groepsoverwinning

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Door ons verzameld persoonlijke informatie stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Voorbeelden:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Bij het oplossen van fractionele rationale ongelijkheden wordt de intervalmethode gebruikt. Als het onderstaande algoritme u problemen bezorgt, kijk dan eens naar het artikel over .

Hoe fractionele rationele ongelijkheden op te lossen:

Algoritme voor het oplossen van fractionele rationele ongelijkheden.

Voorbeelden:



Plaats de tekens op de getallenlijnintervallen. Ik wil u herinneren aan de regels voor het plaatsen van borden:

We bepalen het teken in het meest rechtse interval - neem een ​​getal uit dit interval en vervang dit door de ongelijkheid in plaats van X. Hierna bepalen we de tekens tussen haakjes en het resultaat van het vermenigvuldigen van deze tekens;

Voorbeelden:




Selecteer de gewenste intervallen. Als er een aparte root is, markeer deze dan met een selectievakje om niet te vergeten deze in het antwoord op te nemen (zie het onderstaande voorbeeld).

Voorbeelden:


Noteer de gemarkeerde spaties en de gemarkeerde wortels (indien aanwezig) in uw antwoord.

Voorbeelden:
Antwoord: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)

bekeken