Staande golven en resonantie. Golffasesnelheid

29.09.2019

Wat is een staande golf? Wat is een staande golf? Hoe ontstaat het? Wat is het verschil tussen een staande golf en een lopende golf?

Heb je het leisteenblad gezien?
Hetzelfde gebeurt op het wateroppervlak, een plas op een winderige dag bijvoorbeeld.
Wow, wat was je antwoord moeilijk. Ik leg het eenvoudig uit als een wortel.
Wat is een golfproces? Dit is wanneer er iets verandert en er een maximum en een minimum is (een voorbeeld van watergolven wanneer deze zich in de ruimte bevinden). verschillende momenten op hetzelfde punt verandert het maximum van de golf (piek) naar een minimum). Wanneer het maximum naar een minimum verandert, zijn dit lopende golven. Golven kunnen staan. Dit is wanneer het maximum niet verandert in het minimum, maar er op verschillende plaatsen verschillende niveaus zijn (staande rimpelingen op het wateroppervlak door de wind).
Oh. Dit is een concept dat de hersenen van tienduizenden mensen 24 uur per dag laat opzwellen! staande golf- Dit is de essentie van BTG. De essentie van Tesla-techniek. De essentie van toekomstige energie uit het niets!)))
Staand#769;theegolf#769; oscillaties in gedistribueerde oscillerende systemen met een karakteristieke opstelling van afwisselende maxima (antinodes) en minima (knooppunten) van amplitude. In de praktijk ontstaat een dergelijke golf tijdens reflecties van obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de superpositie van de gereflecteerde golf op de invallende golf. In dit geval zijn de frequentie, fase en verzwakkingscoëfficiënt van de golf op de plaats van reflectie uiterst belangrijk.
Voorbeelden van een staande golf zijn trillingen van een snaar, trillingen van lucht in een orgelpijp; in de natuur Schumann-golven.

Een puur staande golf kan strikt genomen alleen bestaan als er geen verliezen in het medium zijn en de golven volledig worden weerspiegeld vanaf de grens. Meestal bevat het medium naast staande golven ook lopende golven die energie leveren aan plaatsen van absorptie of straling.
Om staande golven in gas aan te tonen wordt gebruik gemaakt van een Rubensbuis.
Giet water in het bad en spat uw hand op het oppervlak. Golven verspreiden zich vanuit je hand in alle richtingen. Ze worden lopers genoemd. Door de frequentie van handtrillingen soepel te veranderen, kun je ervoor zorgen dat de golven niet meer naar de zijkanten bewegen, maar op hun plaats blijven. De beweging zou alleen op en neer gaan. Dit zijn staande golven.
Ze worden in dit geval alleen gevormd omdat het bad wanden heeft waarvan reflectie optreedt; als er geen muren zouden zijn, zouden zich geen staande golven vormen, zoals bijvoorbeeld op een open wateroppervlak.
De verklaring voor het optreden van staande golven is eenvoudig: wanneer een directe golf en een door een muur weerkaatste golf botsen, versterken ze elkaar, en als deze botsing de hele tijd op dezelfde plaats plaatsvindt, verdwijnt de horizontale beweging van de golven. .
staande golven,
golven die ontstaan als gevolg van de interferentie van golven die zich in onderling tegengestelde richtingen voortplanten. Bijna S. eeuw. ontstaan wanneer golven worden gereflecteerd door obstakels en inhomogeniteiten als resultaat van de superpositie van de gereflecteerde golf op de directe golf. Verschillende delen van de Noord-eeuwse. oscilleren in dezelfde fase, maar met verschillende amplitudes (Fig.). In de N. eeuw. In tegenstelling tot lopende energie is er geen energiestroom. Dergelijke golven ontstaan bijvoorbeeld in een elastisch systeem: een staaf of een luchtkolom die zich in een pijp bevindt, aan één uiteinde gesloten, wanneer de zuiger in de pijp oscilleert. Reizende golven worden gereflecteerd vanaf de grenzen van het systeem, en als resultaat van de superpositie van invallende en gereflecteerde golven ontstaat er turbulentie in het systeem. In dit geval langs de lengte van de luchtkolom, zogenaamde knooppunten van verplaatsingen (snelheden) van het vlak, loodrecht op de as van de kolom, waarbij er geen verplaatsingen van luchtdeeltjes zijn, en de drukamplitudes maximaal zijn, en antiknooppunten van verplaatsingen van het vlak, waarbij verplaatsingen maximaal zijn, en drukken zijn gelijk aan nul. Verdringingsknooppunten en antinoden bevinden zich in de buis op afstanden van een kwart golflengte, en een verplaatsingsknooppunt en een drukantinode worden altijd gevormd nabij een massieve muur. Een soortgelijk beeld wordt waargenomen als de massieve wand aan het uiteinde van de buis wordt verwijderd, maar dan bevinden de snelheidsantinode en het drukknooppunt zich (ongeveer) in het vlak van het gat. In elk volume dat bepaalde grenzen en een geluidsbron heeft, worden geluiden gevormd. , maar met een complexere structuur.
Elk golfproces dat gepaard gaat met de voortplanting van verstoringen kan gepaard gaan met de vorming van een golf. Ze kunnen niet alleen voorkomen in gasvormige, vloeibare en vaste media, maar ook in een vacuüm tijdens de voortplanting en reflectie van elektromagnetische storingen, bijvoorbeeld in lange elektrische leidingen. De antenne van een radiozender wordt vaak gemaakt in de vorm van een rechtlijnige vibrator of een systeem van vibrators, langs de lengte waarvan de S.V. In secties van golfgeleiders en gesloten volumes verschillende vormen, gebruikt als resonatoren in de technologie ultrahoge frequenties, zijn opgericht door S. eeuw. bepaalde soorten. In elektromagnetische systemen. elektrisch en magnetische velden worden op dezelfde manier gescheiden als bij elastische S. v. verplaatsing en druk zijn gescheiden.
Puur S. v. kan strikt genomen alleen worden vastgesteld bij afwezigheid van verzwakking in het medium en volledige reflectie van de golven vanaf de grens. Meestal, behalve S. v. Er zijn ook lopende golven die energie leveren aan de plaatsen van absorptie of emissie.
In de optica is het ook mogelijk om S. eeuw vast te stellen. met zichtbare hoogtepunten en dieptepunten elektrisch veld. Als het licht niet monochromatisch is, dan in de noordelijke eeuw. de antinodes van het elektrische veld met verschillende golflengten zullen zich op verschillende plaatsen bevinden en er wordt vaak kleurscheiding waargenomen.

Staande golf- het fenomeen van interferentie van golven die zich in tegengestelde richtingen voortplanten, waarbij de overdracht van energie verzwakt of afwezig is.

staande golf(elektromagnetisch) - periodieke verandering amplitudes elektrische en magnetische veldsterkten in de voortplantingsrichting, veroorzaakt door de interferentie van invallende en gereflecteerde golven.

Een staande golf treedt bijvoorbeeld op wanneer een golf wordt gereflecteerd door obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de interactie (interferentie) van de invallende en gereflecteerde golven. Het resultaat van interferentie wordt beïnvloed door de frequentie van trillingen, de modulus en fase van de reflectiecoëfficiënt, de voortplantingsrichtingen van de invallende en gereflecteerde golven ten opzichte van elkaar, de verandering of het behoud van de polarisatie van golven bij reflectie, en de verzwakkingscoëfficiënt van golven in het voortplantingsmedium. Strikt genomen kan er alleen sprake zijn van een staande golf als er geen verliezen zijn in het voortplantingsmedium (of in de media). actieve omgeving) en totale reflectie van de invallende golf. In een echte omgeving wordt een regime van gemengde golven waargenomen, omdat er altijd een overdracht van energie plaatsvindt naar de plaatsen van absorptie en emissie. Als, wanneer een golf valt, deze volledig is absorptie, dan is er geen gereflecteerde golf, is er geen interferentie van golven, is de amplitude van het golfproces in de ruimte constant. Zo’n golfproces wordt een lopende golf genoemd.

Voorbeelden van een staande golf zijn trillingen van een snaar, trillingen van lucht in een orgelpijp; in de natuur - Schumann-golven. Om staande golven in gas aan te tonen wordt gebruik gemaakt van een Rubensbuis.

Staande golven zijn oplossingen voor golfvergelijkingen. Ze kunnen worden gezien als een superpositie van golven die in tegengestelde richtingen reizen.

Wanneer er in een medium een staande golf bestaat, zijn er punten waarop de amplitude van de oscillaties nul is. Deze punten worden genoemd knooppunten staande golf. De punten waarop de oscillaties de maximale amplitude hebben, worden antinodes genoemd.

Encyclopedisch YouTube

1 / 5
Verschillende trillingsmodi van een aan de uiteinden vastgeklemde snaar bepalen bijvoorbeeld de grondtoon en boventonen.

Wiskundige beschrijving van staande golven

In het eendimensionale geval zullen twee golven met dezelfde frequentie, golflengte en amplitude die zich in tegengestelde richtingen (bijvoorbeeld naar elkaar toe) voortplanten, op elkaar inwerken, wat kan resulteren in een staande golf. Een harmonische golf die zich naar rechts voortplant en het uiteinde van de snaar bereikt, produceert bijvoorbeeld een staande golf. De golf die vanaf het uiteinde wordt gereflecteerd, moet dezelfde amplitude en frequentie hebben als de invallende golf.
Beschouw de invallende en gereflecteerde golven in de vorm:
y 1 = y 0 zonde ⁡ (k X - ω t) (\displaystyle y_(1)\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)) y 2 = y 0 zonde ⁡ (k X + ω t) (\displaystyle y_(2)\;=\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t))
Daarom is de resulterende vergelijking voor een staande golf: j zal de vorm hebben van een bedrag j 1 En j 2:
y = y 0 zonde ⁡ (k X - ω t) + y 0 zonde ⁡ (k X + ω t) .
(\displaystyle y\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t).)
Met behulp van trigonometrische relaties kan deze vergelijking worden herschreven als:
y = 2 y 0 cos ⁡ (ω t) zonde ⁡ (k X) . (\displaystyle y\;=\;2\,y_(0)\,\cos(\omega t)\;\sin(kx.) Als we naar mode kijken x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , ..

(\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...)

en anti-mode

x = λ / 4, 3 λ / 4, 5 λ / 4, .

Op de punten waar de oscillatie-amplitude de grootste waarde heeft, gelijk aan. Deze punten worden oscillatie-antinodes genoemd. Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afstand tussen aangrenzende knooppunten of aangrenzende antiknooppunten gelijk is aan de afstand tussen het antiknooppunt en het dichtstbijzijnde knooppunt gelijk is aan. Wanneer x verandert met de cosinus in formule (5.16), wordt het teken omgekeerd (het argument verandert in dus als binnen een halve golf - van het ene knooppunt naar het andere - de deeltjes van het medium in één richting worden afgebogen, dan zullen binnen de aangrenzende halve golf de deeltjes van het medium in de tegenovergestelde richting worden afgebogen.

Het golfproces in een medium beschreven door formule (5.16) wordt een staande golf genoemd. Grafisch kan een staande golf worden weergegeven zoals weergegeven in figuur 2. 1,61. Laten we aannemen dat y een verplaatsing is van punten in het medium ten opzichte van de evenwichtstoestand; vervolgens beschrijft formule (5.16) een “staande verplaatsingsgolf”. Op een bepaald moment, wanneer alle punten van het medium maximale verplaatsingen hebben, waarvan de richting, afhankelijk van de waarde van de x-coördinaat, wordt bepaald door het teken. 1.61 met effen pijlen. Na een kwart van de periode, wanneer de verplaatsingen van alle punten van het medium gelijk zijn aan nul; deeltjes van het medium passeren met verschillende snelheden door de lijn. Na nog een kwart van de periode, wanneer de deeltjes van het medium opnieuw maximale verplaatsingen zullen hebben, maar in de tegenovergestelde richting; deze offsets worden weergegeven in

rijst. 1.61 met gestippelde pijlen. De punten zijn antinodes van een staande verplaatsingsgolf; punten en knooppunten van deze golf.

De karakteristieke kenmerken van een staande golf, in tegenstelling tot een gewone voortplantende of reizende golf, zijn de volgende (wat betekent vlakke golven bij afwezigheid van verzwakking):

1) bij een staande golf zijn de amplitudes van de oscillaties op verschillende plaatsen in het systeem verschillend; het systeem heeft knooppunten en antinodes van oscillaties. Bij een ‘reizende’ golf zijn deze amplitudes overal hetzelfde;

2) binnen een sectie van het systeem, van het ene knooppunt naar het aangrenzende knooppunt, oscilleren alle punten van het medium in dezelfde fase; bij het verplaatsen naar een aangrenzende sectie worden de fasen van de oscillaties omgekeerd. Bij een lopende golf zijn de fases van de oscillaties, volgens formule (5.2), afhankelijk van de coördinaten van de punten;

3) bij een staande golf is er geen sprake van eenrichtingsoverdracht van energie, zoals bij een lopende golf wel het geval is.

Bij het beschrijven van oscillerende processen in elastische systemen kan de oscillerende waarde y niet alleen worden genomen als de verplaatsing of snelheden van de deeltjes van het systeem, maar ook als de waarde van relatieve vervorming of de waarde van compressie, trek of schuifspanning, enz. Bovendien In een staande golf bevinden zich op plaatsen waar antinodes voor de deeltjessnelheid worden gevormd vervormingsknooppunten en omgekeerd vallen de snelheidsknooppunten samen met de antinodes voor de vervorming. De omzetting van energie van kinetische vorm naar potentiële vorm en omgekeerd vindt plaats binnen het deel van het systeem van de antinode naar de aangrenzende knoop. We kunnen aannemen dat elk van deze gebieden geen energie uitwisselt met aangrenzende gebieden. Merk op dat de omzetting van de kinetische energie van bewegende deeltjes in de potentiële energie van vervormde delen van het medium tweemaal in één periode plaatsvindt.

Hierboven waren we bij het beschouwen van de interferentie van voorwaartse en achterwaartse golven (zie uitdrukkingen (5.16)) niet geïnteresseerd in de oorsprong van deze golven. Laten we nu aannemen dat het medium waarin trillingen zich voortplanten beperkte afmetingen heeft; trillingen worden bijvoorbeeld veroorzaakt in een vast lichaam - in een staaf of snaar, in een kolom van vloeistof of gas, enz. Een golf die zich voortplant in zo'n medium ( lichaam), wordt gereflecteerd door de grenzen, daarom treedt er binnen het volume van dit lichaam voortdurend interferentie op van golven veroorzaakt door een externe bron en gereflecteerd door de grenzen.

Laten we eens overwegen eenvoudigste voorbeeld; Stel dat op een punt (Fig. 1.62) van een staaf of snaar een oscillerende beweging met een frequentie wordt opgewekt met behulp van een externe sinusoïdale bron; We kiezen het begin van de tijdtelling zodat op dit punt de verplaatsing wordt uitgedrukt door de formule

waar de amplitude van de oscillaties op het punt De golf veroorzaakt in de staaf zal worden gereflecteerd vanaf het tweede uiteinde van de staaf 0% en zal in de tegenovergestelde richting gaan

richting. Laten we het resultaat vinden van de interferentie van directe en gereflecteerde golven op een bepaald punt van de staaf met coördinaat x. Voor de eenvoud van redeneren nemen we aan dat er geen absorptie van trillingsenergie in de staaf plaatsvindt en dat daarom de amplitudes van de directe en gereflecteerde golven gelijk zijn.

Op een bepaald moment wanneer de verplaatsing van oscillerende deeltjes op een punt gelijk is aan y, zal op een ander punt van de staaf de verplaatsing veroorzaakt door een directe golf, volgens de golfformule, gelijk zijn aan

De gereflecteerde golf gaat ook door hetzelfde punt A. Om de verplaatsing te vinden die in punt A wordt veroorzaakt door de gereflecteerde golf (op hetzelfde moment in de tijd), is het noodzakelijk om de tijd te berekenen gedurende welke de golf zich van en naar het punt verplaatst. Aangezien de verplaatsing die op het punt wordt veroorzaakt door de gereflecteerde golf golf zal gelijk zijn aan

Er wordt aangenomen dat er aan het reflecterende uiteinde van de staaf tijdens het reflectieproces geen abrupte verandering in de oscillatiefase optreedt; In sommige gevallen treedt deze faseverandering (faseverlies genoemd) op en moet er rekening mee worden gehouden.

De combinatie van trillingen veroorzaakt op verschillende punten van de staaf door directe en gereflecteerde golven geeft een staande golf; Echt,

waar er een constante fase is, onafhankelijk van de x-coördinaat en de hoeveelheid

is de amplitude van trillingen op een punt; deze hangt af van de x-coördinaat, d.w.z. deze is verschillend op verschillende plaatsen van de staaf.

Laten we de coördinaten vinden van die punten van de staaf waar de knooppunten en antinodes van de staande golf worden gevormd. De cosinus wordt nul of één wanneer de argumentwaarden een veelvoud zijn van

waar is een geheel getal. Als dit getal oneven is, wordt de cosinus nul en geeft formule (5.19) de coördinaten van de knooppunten van de staande golf; als dat zo is, krijgen we de coördinaten van de antinodes.

Hierboven zijn slechts twee golven toegevoegd: een directe golf die afkomstig is van en een gereflecteerde golf die zich voortplant. Er moet echter rekening mee worden gehouden dat de gereflecteerde golf op de grens van de staaf opnieuw zal worden gereflecteerd en in de richting van de directe golf zal gaan. . Dergelijke reflecties

er zal veel van de uiteinden van de staaf komen, en daarom is het noodzakelijk om het resultaat te vinden van de interferentie van niet twee, maar alle gelijktijdig bestaande golven in de staaf.

Laten we aannemen dat een externe trillingsbron enige tijd golven in de staaf veroorzaakte, waarna de toevoer van trillingsenergie van buitenaf stopte. Gedurende deze tijd vonden reflecties plaats in de staaf, wat de tijd is waarin de golf van het ene uiteinde van de staaf naar het andere ging. Bijgevolg zullen er tegelijkertijd golven in de voorwaartse richting en golven in de tegenovergestelde richting bestaan in de staaf.

Laten we aannemen dat als gevolg van de interferentie van één paar golven (direct en gereflecteerd) de verplaatsing in punt A gelijk blijkt te zijn aan y. Laten we de voorwaarde vinden waaronder alle verplaatsingen y veroorzaakt door elk paar golven dezelfde richtingen hebben in punt A van de staaf en daarom optellen. Om dit te doen moeten de fases van de oscillaties die door elk paar golven op een bepaald punt worden veroorzaakt, verschillen van de fase van de oscillaties die door het volgende paar golven worden veroorzaakt. Maar elke golf keert pas na een tijdje weer terug naar punt A met dezelfde voortplantingsrichting, d.w.z. hij blijft in fase achter door deze vertraging gelijk te stellen aan waar een geheel getal is, we krijgen

dat wil zeggen dat een geheel aantal halve golven langs de lengte van de staaf moet passen. Merk op dat onder deze voorwaarde de fasen van alle golven die vanuit de voorwaartse richting reizen van elkaar verschillen met een geheel getal; op dezelfde manier verschillen de fasen van alle golven die vanuit de tegenovergestelde richting reizen van elkaar. Daarom, als één paar golven (voorwaarts en achterwaarts) een verdeling van verplaatsingen langs de staaf geeft, bepaald door formule (5.17), dan wanneer paren van dergelijke golven interfereren, de verdeling van verplaatsingen zal niet veranderen; alleen de amplitudes van oscillaties zullen toenemen. Als de maximale amplitude van trillingen tijdens de interferentie van twee golven, volgens formule (5.18), gelijk is, dan zal deze bij de interferentie van veel golven groter zijn. Laten we het aangeven, tegen die tijd zal de verdeling van de oscillatie-amplitude langs de staaf in plaats van uitdrukking (5.18) worden bepaald door de formule

Uit uitdrukkingen (5.19) en (5.20) worden de punten bepaald waarop de cosinus de waarde of 1 heeft:

waar is een geheel getal. De coördinaten van de knooppunten van een staande golf worden uit deze formule verkregen voor oneven waarden, en dan afhankelijk van de lengte van de staaf, d.w.z. de grootte

de coördinaten van de antinodes worden verkregen bij even waarden

In afb. Figuur 1.63 toont schematisch een staande golf in een staaf met een lengte van ; de punten zijn antinodes, de punten zijn knooppunten van deze staande golf.

In ch. er werd aangetoond dat bij afwezigheid van periodieke externe invloeden de aard van de oscillerende bewegingen in het systeem en vooral de hoofdgrootheid – de frequentie van oscillaties – worden bepaald door de afmetingen en fysieke eigenschappen systemen. Elk oscillerend systeem heeft zijn eigen inherente oscillerende beweging; deze oscillatie kan worden waargenomen als het systeem uit evenwicht wordt gebracht en vervolgens externe invloeden worden verwijderd.

In ch. In deel 4 heb ik vooral gekeken naar oscillerende systemen met samengevoegde parameters, waarbij sommige lichamen (puntlichamen) traagheidsmassa hadden, en andere lichamen (veren) elastische eigenschappen hadden. Oscillerende systemen waarin massa en elasticiteit inherent zijn aan elk elementair volume worden daarentegen systemen met gedistribueerde parameters genoemd. Deze omvatten de staven en snaren die hierboven zijn besproken, evenals kolommen met vloeistof of gas (in blaasinstrumenten), enz. Voor dergelijke systemen zijn de natuurlijke oscillaties staande golven; het belangrijkste kenmerk van deze golven - golflengte of verdeling van knooppunten en antinodes, evenals oscillatiefrequentie - wordt alleen bepaald door de afmetingen en eigenschappen van het systeem. Staande golven kunnen zelfs bestaan als er geen externe (periodieke) invloed op het systeem is; dit effect is alleen nodig om staande golven in het systeem te veroorzaken of in stand te houden of om de amplitudes van trillingen te veranderen. In het bijzonder, als een externe invloed op een systeem met gedistribueerde parameters optreedt met een frequentie gelijk aan de frequentie van zijn eigen oscillaties, d.w.z. de frequentie van een staande golf, dan treedt het fenomeen resonantie op, dat in hoofdstuk wordt besproken. 5.

Hetzelfde geldt voor verschillende frequenties.

In systemen met gedistribueerde parameters worden natuurlijke oscillaties – staande golven – dus gekenmerkt door een heel spectrum van frequenties die veelvouden van elkaar zijn. De kleinste van deze frequenties komt overeen met langste lengte golf wordt de fundamentele frequentie genoemd; de rest) zijn boventonen of harmonischen.

Elk systeem wordt niet alleen gekenmerkt door de aanwezigheid van een dergelijk spectrum aan trillingen, maar ook door een bepaalde verdeling van energie tussen trillingen met verschillende frequenties. Bij muziekinstrumenten geeft deze verdeling het geluid een bijzonder kenmerk, het zogenaamde timbre van geluid, dat voor verschillende instrumenten anders is.

Bovenstaande berekeningen gelden voor een vrij oscillerende staaf van lengte. Meestal hebben we echter staven vast aan één of beide uiteinden (bijvoorbeeld trillende snaren), of zijn er langs de staaf een of meer bevestigingspunten waar de deeltjes van vastzitten het systeem kan geen bewegingen trillen, het zijn bijvoorbeeld gedwongen verplaatsingsknooppunten.

als het nodig is om staande golven in een staaf te verkrijgen op één, twee, drie bevestigingspunten, enz., dan kunnen deze punten niet willekeurig worden gekozen, maar moeten ze langs de staaf worden geplaatst, zodat ze op de knooppunten van de resulterende staaf terechtkomen. staande golf. Dit is bijvoorbeeld weergegeven in Fig. 1,64. In dezelfde figuur toont de stippellijn de verplaatsing van de punten van de staaf tijdens trillingen; Verplaatsingsknooppunten worden altijd gevormd aan de vrije uiteinden, verplaatsingsknopen worden altijd gevormd aan de vaste uiteinden. Voor oscillerende luchtkolommen in pijpleidingen worden de verplaatsings- (en snelheids-) knooppunten verkregen bij de reflecterende massieve wanden; Tegenpunten van verplaatsingen en snelheden worden gevormd aan de open uiteinden van de buizen.

§4 Interferentie van golven.

Superpositieprincipe. Het concept van golfcoherentie

Als meerdere golven zich tegelijkertijd in een medium voortplanten, zijn de trillingen van de deeltjes van het medium gelijk geometrische som oscillaties die de deeltjes zouden maken tijdens de voortplanting van elk van de golven afzonderlijk. Bijgevolg worden de golven eenvoudigweg over elkaar heen gelegd zonder elkaar te verstoren - het principe van superpositie (superpositie) van golven.

Twee golven worden coherent genoemd als hun faseverschil niet tijdsafhankelijk is

-
coherentie voorwaarde.

Bronnen samenhangende golven worden coherente bronnen genoemd.

omdat voor coherente bronnen: het initiële faseverschilen vervolgens de amplitude Een res op verschillende punten hangt af van de waarde, het padverschil genoemd. Als

dan wordt een maximum aangehouden.

Bij

er wordt een minimum in acht genomen.

Wanneer golven van coherente bronnen over elkaar heen worden gelegd, worden minima en maxima van de resulterende amplitude waargenomen, d.w.z. wederzijdse versterking op sommige punten in de ruimte en verzwakking op andere, afhankelijk van de relatie tussen de fasen van deze golven - de essentie van het fenomeen interferentie.

§5 Staande golven

Een speciaal geval van interferentie zijn staande golven: golven die worden gevormd door de superpositie van twee lopende golven, golven die zich naar elkaar toe voortplanten met identieke amplitudes en frequenties.

Om de staande-golfvergelijking af te leiden, gaan we uit van: 1) golven planten zich voort in een medium zonder verzwakking; 2) EEN 1 = EEN 2 = EEN- gelijke amplitudes hebben; 3) ω 1 = ω 2 = ω - gelijke frequenties; 4)φ 10 = φ 20 = 0.

De vergelijking van een lopende golf die zich voortplant langs de positieve x-asrichting (dwz de vergelijking van een invallende golf):

(1)

De vergelijking voor een lopende golf die zich voortplant in de negatieve x-asrichting (dat wil zeggen de vergelijking voor een gereflecteerde golf):

(2)

Door (1) en (2) op te tellen, verkrijgen we de staande golfvergelijking:

Een bijzonder kenmerk van een staande golf is dat de amplitude afhankelijk is van de coördinaat X. Bij het verplaatsen van het ene punt naar het andere verandert de amplitude volgens de wet:

Amplitude van een staande golf.

Die punten van het medium waar de amplitude van de staande golf maximaal is en gelijk is aan 2 A, worden antinodes genoemd. De coördinaten van de antinodes kunnen worden gevonden uit de voorwaarde dat

vanaf hier

De afstand tussen twee aangrenzende antinodes is.

De punten waarop de amplitude van de staande golf minimaal is en gelijk is aan 0, worden knooppunten genoemd. De coördinaten van de knooppunten kunnen uit de voorwaarde worden afgeleid

vanaf hier

De afstand tussen twee aangrenzende knooppunten is.

In tegenstelling tot een lopende golf, waarvan alle punten oscilleren met dezelfde amplitude, maar met verschillende fasen, afhankelijk van de coördinaat X stippen (), oscilleert het punt van een staande golf tussen twee knooppunten met verschillende amplitudes, maar met dezelfde fasen(). Bij het passeren van een knooppunt, de vermenigvuldigerverandert van teken, dus de fase van oscillaties is verschillende kanten verschilt van het knooppunt met π, d.w.z. punten die aan weerszijden van het knooppunt liggen, oscilleren in tegenfase.

Een staande golf ontstaat door de interferentie van invallende en gereflecteerde golven. De aard van de reflectie wordt beïnvloed door de interface tussen de twee media waaruit de reflectie plaatsvindt. Als een golf wordt gereflecteerd door een minder dicht medium (Fig. a), verandert de fase van de golf op het grensvlak niet en zal er een antinode zijn op het grensvlak tussen de twee media. Als een golf wordt gereflecteerd door een dichter medium, verandert de fase ervan naar het tegenovergestelde, d.w.z. reflectie vanuit een dichter medium vindt plaats met een verlies van de helft van de golflengte (λ/2). Een lopende golf brengt de energie van de trillingsbeweging over in de richting van de voortplanting van de golf. Een staande golf draagt geen energie over, omdat invallende en gereflecteerde golven met dezelfde amplitude dragen dezelfde energie in tegengestelde richtingen. Daarom blijft de totale energie van de resulterende staande golf, opgesloten tussen de knooppunten, constant. Alleen binnen afstanden gelijk aan λ/2 vindt de omzetting van kinetische energie in potentiële energie plaats.

Staande golven. 6.1 Staande golven in elastisch middel

6.1 Staande golven in een elastisch medium

Volgens het principe van superpositie, wanneer meerdere golven zich tegelijkertijd voortplanten in een elastisch medium, vindt hun superpositie plaats en verstoren de golven elkaar niet: de oscillaties van de deeltjes van het medium zijn de vectorsom van de oscillaties die de deeltjes zouden maken. als elke golf zich afzonderlijk voortplant.

Golven die oscillaties van het medium veroorzaken, waarvan de faseverschillen op elk punt in de ruimte constant zijn, worden genoemd samenhangend.

Wanneer coherente golven worden toegevoegd, treedt het fenomeen op interferentie, wat erin bestaat dat de golven elkaar op sommige punten in de ruimte versterken, en op andere punten elkaar verzwakken. Een belangrijk geval van interferentie wordt waargenomen wanneer twee tegengesteld voortplantende vlakke golven met dezelfde frequentie en amplitude over elkaar heen worden gelegd. De resulterende oscillaties worden genoemd staande golf. Meestal ontstaan staande golven wanneer een lopende golf wordt gereflecteerd door een obstakel. In dit geval geven de invallende golf en de daarop gereflecteerde golf, wanneer ze worden opgeteld, een staande golf.

We verkrijgen de staande golfvergelijking. Laten we twee vlakke harmonische golven nemen die zich langs de as naar elkaar toe voortplanten X en met dezelfde frequentie en amplitude:

Waar – fase van oscillaties van punten van het medium tijdens de passage van de eerste golf;

– fase van oscillaties van punten in het medium tijdens het passeren van de tweede golf.

Faseverschil op elk punt op de as X het netwerk zal niet afhankelijk zijn van de tijd, d.w.z. zal constant zijn:

Daarom zullen beide golven coherent zijn.

De trilling van de deeltjes van het medium als gevolg van de toevoeging van de beschouwde golven zal als volgt zijn:

Laten we de som van de cosinussen van hoeken transformeren volgens regel (4.4) en verkrijgen:

Als we de factoren hergroeperen, krijgen we:

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, kiezen we het referentiepunt zo dat het faseverschil ontstaat en het begin van de tijdtelling zodat de som van de fasen gelijk is aan nul: .

Dan zal de vergelijking voor de som van de golven de vorm aannemen:

Vergelijking (6.6) wordt genoemd staande golfvergelijking. Het laat zien dat de frequentie van een staande golf gelijk is aan de frequentie van een lopende golf, en dat de amplitude, in tegenstelling tot een lopende golf, afhangt van de afstand tot de oorsprong:

. (6.7)

Rekening houdend met (6.7) heeft de staande-golfvergelijking de vorm:

. (6.8)

Punten van het medium oscilleren dus met een frequentie die samenvalt met de frequentie van de lopende golf en de amplitude A, afhankelijk van de positie van het punt op de as X. Dienovereenkomstig verandert de amplitude volgens de cosinuswet en heeft deze zijn eigen maxima en minima (Fig. 6.1).

Om de locatie van de amplitudeminima en -maxima te visualiseren, vervangen we, volgens (5.29), het golfgetal door de waarde ervan:

Dan zal uitdrukking (6.7) voor de amplitude de vorm aannemen

(6.10)

Hieruit wordt duidelijk dat de verplaatsingsamplitude maximaal is , d.w.z. op punten waarvan de coördinaten voldoen aan de voorwaarde:

, (6.11)

Waar

Vanaf hier verkrijgen we de coördinaten van de punten waar de verplaatsingsamplitude maximaal is:

; (6.12)

De punten waar de amplitude van de trillingen van het medium maximaal is, worden genoemd antinodes van de golf.

De amplitude van de golf is nul op punten waar . De coördinaten van dergelijke punten worden genoemd golf knooppunten, voldoet aan de voorwaarde:

, (6.13)

Waar

Uit (6.13) blijkt dat de coördinaten van de knooppunten de volgende waarden hebben:

, (6.14)

In afb. Figuur 6.2 toont bij benadering een staande golf, waarbij de locatie van knooppunten en antinodes is gemarkeerd. Het is te zien dat aangrenzende knooppunten en verplaatsingsantiknooppunten zich op dezelfde afstand van elkaar bevinden.

Laten we de afstand tussen aangrenzende antinodes en knooppunten vinden. Uit (6.12) verkrijgen we de afstand tussen de antinodes:

(6.15)

De afstand tussen knooppunten wordt verkregen uit (6.14):

(6.16)

Uit de verkregen relaties (6.15) en (6.16) is het duidelijk dat de afstand tussen aangrenzende knooppunten, evenals tussen aangrenzende antinodes, constant is en gelijk aan ; knooppunten en antinodes worden ten opzichte van elkaar verschoven door (Fig. 6.3).

Uit de definitie van golflengte kunnen we een uitdrukking schrijven voor de lengte van een staande golf: deze is gelijk aan de helft van de lengte van een lopende golf:

Laten we, rekening houdend met (6.17), uitdrukkingen schrijven voor de coördinaten van knooppunten en antinodes:

, (6.18)

, (6.19)

De factor die de amplitude van een staande golf bepaalt, verandert van teken wanneer hij de nulwaarde passeert, waardoor de fase van oscillaties aan verschillende zijden van het knooppunt met . Bijgevolg oscilleren alle punten die aan weerszijden van het knooppunt liggen in tegenfase. Alle punten tussen aangrenzende knooppunten oscilleren in fase.

De knooppunten verdelen de omgeving voorwaardelijk in autonome gebieden waarin harmonische oscillaties onafhankelijk optreden. Er vindt geen bewegingsoverdracht tussen regio's plaats, en daarom is er geen energiestroom tussen regio's. Dat wil zeggen dat er geen overdracht van verstoringen langs de as plaatsvindt. Daarom wordt de golf een staande golf genoemd.

Een staande golf wordt dus gevormd uit twee tegengesteld gerichte lopende golven met gelijke frequenties en amplitudes. De Umov-vectoren van elk van deze golven zijn even groot en tegengesteld in richting, en bij optelling geven ze nul. Bijgevolg draagt een staande golf geen energie over.

6.2 Voorbeelden van staande golven

6.2.1 Staande golf in een snaar

Laten we een reeks van lengte beschouwen L, aan beide uiteinden bevestigd (Fig. 6.4).

Laten we een as langs de string plaatsen X zodat het linkeruiteinde van de string de coördinaat heeft x=0, en de juiste – x=L. Er treden trillingen op in de snaar, beschreven door de vergelijking:

Laten we de randvoorwaarden voor de betreffende string opschrijven. Omdat de uiteinden vast zijn, dan op punten met coördinaten x=0 En x=L geen aarzeling:

(6.22)

Laten we de vergelijking van snaaroscillaties vinden op basis van de geschreven randvoorwaarden. Laten we vergelijking (6.20) schrijven voor het linkeruiteinde van de string, rekening houdend met (6.21):

Aan relatie (6.23) is voor elk moment voldaan T in twee gevallen:

1. . Dit is mogelijk als er geen trillingen in de snaar zitten (). Deze zaak is niet van belang en wij zullen deze niet in overweging nemen.

2. . Hier is de fase. Dit geval zal ons in staat stellen de vergelijking van snaartrillingen te verkrijgen.

Laten we de resulterende fasewaarde vervangen door de randvoorwaarde (6.22) voor het rechteruiteinde van de string:

. (6.25)

Gezien dat

, (6.26)

uit (6.25) verkrijgen we:

Opnieuw doen zich twee gevallen voor waarin aan relatie (6.27) is voldaan. We zullen het geval niet overwegen als er geen trillingen in de snaar zijn ().

In het tweede geval moet aan de gelijkheid worden voldaan:

en dit is alleen mogelijk als het argument van sinus een veelvoud is van een geheel getal:

We gooien de waarde weg, omdat in dit geval, en dit zou een nullengte van de string betekenen ( L=0) of golfnummer k=0. Rekening houdend met het verband (6.9) tussen het golfgetal en de golflengte, is het duidelijk dat als het golfgetal gelijk wil zijn aan nul, de golflengte oneindig moet zijn, en dit zou de afwezigheid van oscillaties betekenen.

Uit (6.28) blijkt duidelijk dat het golfgetal bij het oscilleren van een aan beide uiteinden vaste snaar slechts bepaalde discrete waarden kan aannemen:

Rekening houdend met (6.9) schrijven we (6.30) in de vorm:

waaruit we de uitdrukking verkrijgen voor mogelijke golflengten in de snaar:

Met andere woorden, over de lengte van de snaar L moet in een geheel getal passen N halve golven:

De bijbehorende oscillatiefrequenties kunnen worden bepaald uit (5.7):

Hier is de fasesnelheid van de golf, afhankelijk, volgens (5.102), van de lineaire dichtheid van de snaar en de spankracht van de snaar:

Door (6.34) te vervangen door (6.33) verkrijgen we een uitdrukking die de mogelijke trillingsfrequenties van de snaar beschrijft:

, (6.36)

De frequenties worden opgeroepen natuurlijke frequenties snaren. Frequentie (op N = 1):

(6.37)

genaamd grondfrequentie(of hoofdtoon) snaren. Frequenties bepaald op n>1 worden genoemd boventonen of harmonischen. Het harmonische getal is n-1. Frequentie bijvoorbeeld:

komt overeen met de eerste harmonische en frequentie:

komt overeen met de tweede harmonische, enz. Omdat de string kan worden weergegeven als discreet systeem met een oneindig aantal vrijheidsgraden, dan is elke harmonische dat wel mode trillingen van de snaar. In het algemeen vertegenwoordigen snaartrillingen een superpositie van modi.

Elke harmonische heeft zijn eigen golflengte. Voor de hoofdtoon (met n= 1) golflengte:

respectievelijk voor de eerste en tweede harmonischen (at n= 2 en n= 3) golflengten zullen zijn:

Figuur 6.5 toont het uiterlijk van verschillende trillingsmodi die door een snaar worden uitgevoerd.

Een snaar met vaste uiteinden realiseert dus een uitzonderlijk geval binnen het raamwerk van de klassieke natuurkunde: een discreet spectrum van trillingsfrequenties (of golflengten). Een elastische staaf met een of beide ingeklemde uiteinden en trillingen van een luchtkolom in pijpen gedragen zich op dezelfde manier, wat in de volgende paragrafen zal worden besproken.

6.2.2 Impact initiële omstandigheden bewegen

doorlopende reeks. Fourier-analyse

Trillingen van een snaar met geklemde uiteinden hebben, naast het discrete spectrum van trillingsfrequenties, nog een andere belangrijk bezit: de specifieke trillingsvorm van de snaar hangt af van de wijze van excitatie van de trillingen, d.w.z. uit de beginvoorwaarden. Laten we het eens nader bekijken.

Vergelijking (6.20), die één modus van een staande golf in een string beschrijft, is een specifieke oplossing van de differentiaalgolfvergelijking (5.61). Omdat de trilling van een snaar uit alle mogelijke modi bestaat (voor een snaar - een oneindig aantal). algemene oplossing golfvergelijking (5.61) bestaat uit oneindig aantal particuliere oplossingen:

, (6.43)

Waar i– nummer van de vibratiemodus. Expressie (6.43) wordt geschreven rekening houdend met het feit dat de uiteinden van de string vast zijn:

en ook rekening houdend met de frequentieaansluiting i-de modus en zijn golfnummer:

(6.46)

Hier – golfnummer i e mode;

– golfnummer van de 1e modus;

Laten we de waarde van de beginfase voor elke oscillatiemodus vinden. Om dit in één keer te doen t=0 laten we de string een vorm geven die wordt beschreven door de functie F 0 (X), de uitdrukking waarvoor we verkrijgen uit (6.43):

. (6.47)

In afb. Figuur 6.6 toont een voorbeeld van de vorm van een string die door de functie wordt beschreven F 0 (X).

Op een moment in de tijd t=0 de snaar is nog steeds in rust, d.w.z. de snelheid van al zijn punten is nul. Uit (6.43) vinden we een uitdrukking voor de snelheid van de stringpunten:

en daarin vervangen t=0, verkrijgen we een uitdrukking voor de snelheid van punten op de snaar op het beginmoment:

. (6.49)

Omdat op het initiële tijdstip de snelheid gelijk is aan nul, zal uitdrukking (6.49) voor alle punten van de string gelijk zijn aan nul als . Hieruit volgt dat de beginfase voor alle modi eveneens nul () is. Hiermee rekening houdend, heeft uitdrukking (6.43), die de beweging van de snaar beschrijft, de vorm:

, (6.50)

en expressie (6.47), beschrijvend initiële vorm snaren, ziet eruit als:

. (6.51)

Een staande golf in een snaar wordt beschreven door een functie die periodiek is over het interval, waarbij deze gelijk is aan twee lengtes van de snaar (Fig. 6.7):

Dit blijkt uit het feit dat periodiciteit op een interval betekent:

Vandaar,

wat ons leidt naar uitdrukking (6.52).