In deze les zullen we naar een afgeknotte piramide kijken, kennis maken met een gewone afgeknotte piramide en hun eigenschappen bestuderen.

Laten we ons het concept van een n-gonale piramide herinneren aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide. Driehoek ABC is gegeven. Buiten het vlak van de driehoek wordt een punt P genomen, verbonden met de hoekpunten van de driehoek. Het resulterende veelvlakkige oppervlak wordt een piramide genoemd (Fig. 1).

Rijst. 1. Driehoekige piramide

Laten we de piramide doorsnijden met een vlak evenwijdig aan het vlak van de basis van de piramide. Het figuur dat tussen deze vlakken wordt verkregen, wordt een afgeknotte piramide genoemd (figuur 2).

Rijst. 2. Afgeknotte piramide

Belangrijkste elementen:

Bovenste basis;

ABC onderste basis;

Zijvlak;

Als PH de hoogte is van de oorspronkelijke piramide, dan is dit de hoogte van de afgeknotte piramide.

De eigenschappen van een afgeknotte piramide komen voort uit de constructiemethode, namelijk uit de parallelliteit van de vlakken van de basis:

Alle zijvlakken van een afgeknotte piramide zijn trapeziums. Denk bijvoorbeeld aan de rand. Het heeft de eigenschap van evenwijdige vlakken (aangezien de vlakken evenwijdig zijn, snijden ze het zijvlak van de originele AVR-piramide langs evenwijdige rechte lijnen), maar tegelijkertijd zijn ze niet evenwijdig. Het is duidelijk dat de vierhoek een trapezium is, zoals alle zijvlakken van de afgeknotte piramide.

De verhouding van de bases is voor alle trapeziums hetzelfde:

We hebben verschillende paren gelijkvormige driehoeken met dezelfde gelijkeniscoëfficiënt. Driehoeken en RAB zijn bijvoorbeeld vergelijkbaar vanwege de parallelliteit van de vlakken en de gelijkeniscoëfficiënt:

Tegelijkertijd zijn driehoeken en RVS vergelijkbaar met de gelijkeniscoëfficiënt:

Het is duidelijk dat de gelijkeniscoëfficiënten voor alle drie paren soortgelijke driehoeken gelijk zijn, dus de verhouding van de bases is hetzelfde voor alle trapeziums.

Een regelmatige afgeknotte piramide is een afgeknotte piramide die wordt verkregen door te snijden reguliere piramide vlak evenwijdig aan de basis (Fig. 3).

Rijst. 3. Regelmatige afgeknotte piramide

Definitie.

Een piramide wordt regelmatig genoemd als de basis een regelmatige n-hoek is, en het hoekpunt ervan geprojecteerd is in het midden van deze n-hoek (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkel).

In dit geval bevindt zich een vierkant aan de basis van de piramide en wordt de bovenkant geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen. De resulterende regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide ABCD heeft een onderbasis en een bovenbasis. De hoogte van de oorspronkelijke piramide is RO, de afgeknotte piramide is (Fig. 4).

Rijst. 4. Regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide

Definitie.

De hoogte van een afgeknotte piramide is een loodlijn getrokken vanuit een willekeurig punt van de ene basis naar het vlak van de tweede basis.

Het apothema van de oorspronkelijke piramide is RM (M is het midden van AB), het apothema van de afgeknotte piramide is (Fig. 4).

Definitie.

Het apothema van een afgeknotte piramide is de hoogte van elk zijvlak.

Het is duidelijk dat alle zijranden van de afgeknotte piramide gelijk zijn aan elkaar, dat wil zeggen dat de zijvlakken gelijke gelijkbenige trapeziums zijn.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de helft van de som van de omtrekken van de bases en de apothema.

Bewijs (voor een regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide - Fig. 4):

We moeten dus bewijzen:

Het oppervlak van het zijoppervlak zal hier bestaan ​​​​uit de som van de oppervlakken van de zijvlakken - trapeziums. Omdat de trapeziums hetzelfde zijn, hebben we:

Vierkant gelijkbenig trapezium is het product van de helft van de som van de bases en de hoogte, de apothema is de hoogte van het trapezium. Wij hebben:

QED

Voor een n-gonale piramide:

Waar n het aantal zijvlakken van de piramide is, zijn a en b de basis van de trapezium, en is het apothema.

De zijkanten van de basis zijn regelmatig afgeknot vierhoekige piramide gelijk aan 3 cm en 9 cm, hoogte - 4 cm. Zoek het gebied van het zijoppervlak.

Rijst. 5. Illustratie voor probleem 1

Oplossing. Laten we de voorwaarde illustreren:

Gevraagd door: , ,

Door punt O trekken we een rechte lijn MN evenwijdig aan de twee zijden van de onderste basis, en op dezelfde manier trekken we door het punt een rechte lijn (Fig. 6). Omdat de vierkanten en constructies aan de basis van de afgeknotte piramide evenwijdig zijn, verkrijgen we een trapezium gelijk aan de zijvlakken. Bovendien zal de zijkant door het midden van de boven- en onderrand van de zijvlakken lopen en het apothema van de afgeknotte piramide zijn.

Rijst. 6. Extra constructies

Laten we de resulterende trapezium eens bekijken (Fig. 6). In dit trapezium zijn de bovenbasis, onderbasis en hoogte bekend. Je moet de zijde vinden die het apothema is van een bepaalde afgeknotte piramide. Laten we loodrecht op MN tekenen. Vanaf het punt verlagen we de loodrechte NQ. We zien dat de grotere basis is verdeeld in segmenten van drie centimeter (). Beschouw een rechthoekige driehoek, de benen daarin zijn bekend, dit Egyptische driehoek Met behulp van de stelling van Pythagoras bepalen we de lengte van de hypotenusa: 5 cm.

Nu zijn er alle elementen om het gebied van het zijoppervlak van de piramide te bepalen:

De piramide wordt doorsneden door een vlak evenwijdig aan de basis. Bewijs, aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide, dat de zijkanten en de hoogte van de piramide door dit vlak in proportionele delen zijn verdeeld.

Bewijs. Laten we illustreren:

Rijst. 7. Illustratie voor probleem 2

De RABC-piramide wordt gegeven. PO - hoogte van de piramide. De piramide wordt door een vlak gesneden, er wordt een afgeknotte piramide verkregen, en. Punt - het snijpunt van de hoogte van de RO met het vlak van de basis van de afgeknotte piramide. Het is noodzakelijk om te bewijzen:

De sleutel tot de oplossing is de eigenschap van parallelle vlakken. Twee evenwijdige vlakken snijden elk derde vlak, zodat de snijlijnen evenwijdig zijn. Vanaf hier: . Het parallellisme van de overeenkomstige lijnen impliceert de aanwezigheid van vier paar soortgelijke driehoeken:

Uit de gelijkenis van driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkomstige zijden. Belangrijke functie is dat de gelijkeniscoëfficiënten van deze driehoeken hetzelfde zijn:

QED

Een regelmatige driehoekige piramide RABC met een hoogte en zijkant van de basis wordt doorsneden door een vlak dat door het midden van de hoogte PH loopt, evenwijdig aan de basis ABC. Zoek het laterale oppervlak van de resulterende afgeknotte piramide.

Oplossing. Laten we illustreren:

Rijst. 8. Illustratie voor probleem 3

ACB is een regelmatige driehoek, H is het middelpunt van deze driehoek (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkels). RM is het apothema van een bepaalde piramide. - apothema van een afgeknotte piramide. Volgens de eigenschap van evenwijdige vlakken (twee parallelle vlakken snijden elk derde vlak zodat de snijlijnen evenwijdig zijn), hebben we verschillende paren gelijkvormige driehoeken met een gelijke gelijkeniscoëfficiënt. In het bijzonder zijn wij geïnteresseerd in de relatie:

Laten we NM zoeken. Dit is de straal van een cirkel ingeschreven in de basis; we kennen de overeenkomstige formule:

Nu vinden we uit de rechthoekige driehoek PHM, met behulp van de stelling van Pythagoras, RM - het apothema van de oorspronkelijke piramide:

Uit de initiële verhouding:

Nu kennen we alle elementen voor het vinden van het gebied van het zijoppervlak van een afgeknotte piramide:

We maakten dus kennis met de concepten van een afgeknotte piramide en een regelmatige afgeknotte piramide, gaven basisdefinities, onderzochten de eigenschappen en bewezen de stelling over het oppervlak van het zijoppervlak. De volgende les gaat over het oplossen van problemen.

Referenties

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. Geometrie. Groepen 10-11: leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs (basis- en profiel niveaus) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e druk, herz. en extra - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin IF-geometrie. Groep 10-11: Leerboek voor algemeen vormend onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin I.F. - M.: Trap, 1999. - 208 p.: ill.
3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs met een diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde /E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Huiswerk

Piramide. Afgeknotte piramide

Piramide is een veelvlak, waarvan één zijde een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (Afb. 15). De piramide heet juist , als de basis dat is regelmatige veelhoek en de top van de piramide steekt uit in het midden van de basis (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd tetraëder .

Laterale rib van een piramide is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort Hoogte piramide is de afstand van de top tot het basisvlak. Alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar, alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema . Diagonaal gedeelte wordt een doorsnede van een piramide genoemd door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Zijoppervlak piramide is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Gebied volledige oppervlakte wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis genoemd.

Stellingen

1. Als in een piramide alle zijranden even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.

2. Als alle zijranden van een piramide dezelfde lengte hebben, wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die nabij de basis wordt omgeschreven.

3. Als alle vlakken in een piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die in de basis is ingeschreven.

Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de juiste formule:

Waar V- volume;

S-basis– basisoppervlakte;

H– hoogte van de piramide.

Voor een regelmatige piramide zijn de volgende formules correct:

Waar P– basisomtrek;

h een– apothema;

H- hoogte;

S vol

S-kant

S-basis– basisoppervlakte;

V– volume van een regelmatige piramide.

Afgeknotte piramide wordt het deel van de piramide genoemd dat is ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Regelmatige afgeknotte piramide het deel van een gewone piramide genoemd, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.

Redenen afgeknotte piramide - vergelijkbare veelhoeken. Zijkanten – trapeziums. Hoogte van een afgeknotte piramide is de afstand tussen de bases. Diagonaal een afgeknotte piramide is een segment dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. Diagonaal gedeelte is een doorsnede van een afgeknotte piramide door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Voor een afgeknotte piramide gelden de volgende formules:

(4)

Waar S 1 , S 2 – gebieden van de bovenste en onderste basis;

S vol– totale oppervlakte;

S-kant– zijoppervlak;

H- hoogte;

V– volume van een afgeknotte piramide.

Voor een regelmatige afgeknotte piramide is de formule correct:

Waar P 1 , P 2 – omtrekken van de bases;

h een– apothema van een regelmatige afgeknotte piramide.

Voorbeeld 1. Rechts driehoekige piramide de tweevlakshoek aan de basis is 60º. Zoek de raaklijn van de hellingshoek laterale rib naar het basisvlak.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 18).

De piramide is regelmatig, wat betekent dat er aan de basis een gelijkzijdige driehoek is en dat alle zijvlakken gelijke gelijkbenige driehoeken zijn. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide ten opzichte van het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek A tussen twee loodlijnen: enz. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het midden van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel van de driehoek abc). De hellingshoek van de zijkant (bijv S.B.) is de hoek tussen de rand zelf en de projectie ervan op het vlak van de basis. Voor de rib S.B. deze hoek zal de hoek zijn SBD. Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS En O.B.. Laten we de lengte van het segment bepalen BD gelijk aan 3 A. Punt OVER segment BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: Van vinden we:

Antwoord:

Voorbeeld 2. Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide als de diagonalen van de basis gelijk zijn aan cm en cm, en de hoogte 4 cm is.

Oplossing. Om het volume van een afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om de oppervlakte van de basissen te vinden, moet je de zijden van de basisvierkanten vinden, waarbij je hun diagonalen kent. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk gelijk aan 2 cm en 8 cm. Dit betekent de oppervlakte van de bases en door alle gegevens in de formule te vervangen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:

Antwoord: 112cm3.

Voorbeeld 3. Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de zijkanten van de basis 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide 2 cm.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 19).

Het zijvlak van deze piramide is gelijkbenig trapezium. Om de oppervlakte van een trapezium te berekenen, moet je de basis en hoogte kennen. De basissen worden gegeven volgens de staat, alleen de hoogte blijft onbekend. We zullen haar vinden waar vandaan A 1 E loodrecht op een punt A 1 op het vlak van de onderste basis, A 1 D– loodrecht vanaf A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. Te vinden DE Laten we een extra tekening maken die het bovenaanzicht laat zien (Fig. 20). Punt OVER– projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste basis. sinds (zie figuur 20) en aan de andere kant OK– straal ingeschreven in de cirkel en OM– straal ingeschreven in een cirkel:

MK = DE.

Volgens de stelling van Pythagoras uit

Zijvlak:

Antwoord:

Voorbeeld 4. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenige trapezium, waarvan de basis A En B (A> B). Elk zijvlak vormt een hoek gelijk aan het vlak van de basis van de piramide J. Zoek de totale oppervlakte van de piramide.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD gelijk aan de som van de gebieden en het gebied van het trapezium ABCD.

Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt OVER– hoekpuntprojectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD naar het vlak van de basis. Volgens de stelling over het gebied van orthogonale projectie plat figuur wij krijgen:

Zo betekent het ook Het probleem werd dus beperkt tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD. Laten we een trapezium tekenen ABCD afzonderlijk (Afb. 22). Punt OVER– het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een trapezium.

Omdat een cirkel in een trapezium kan worden ingeschreven, hebben we volgens de stelling van Pythagoras

• 29.05.2016

  Oscillerend circuit - elektrisch circuit, met daarin een inductor, een condensator en een bron elektrische energie. Wanneer circuitelementen in serie zijn geschakeld, wordt het oscillerende circuit serieel genoemd, en wanneer het parallel is aangesloten, wordt het parallel genoemd. Oscillerend circuit - eenvoudigste systeem, waarin vrije elektromagnetische trillingen kunnen optreden. De resonantiefrequentie van de schakeling wordt bepaald door de zogenaamde Thomson-formule: ƒ = 1/(2π√(LC)) Voor ...

• 20.09.2014

  De ontvanger is ontworpen om signalen te ontvangen in het DV-bereik (150 kHz…300 kHz). Belangrijkste kenmerk ontvanger in een antenne die een grotere inductie heeft dan een conventionele magnetische antenne. Dit maakt het mogelijk om de capaciteit van de afstemcondensator te gebruiken in het bereik van 4...20 pF, en ook een dergelijke ontvanger heeft een acceptabele gevoeligheid en een lichte versterking in het RF-pad. De ontvanger werkt voor koptelefoons (koptelefoon), wordt gevoed...

• 24.09.2014

  Dit apparaat is ontworpen om het vloeistofniveau in tanks te regelen; zodra de vloeistof het ingestelde niveau bereikt, begint het apparaat continu te leveren piep Wanneer het vloeistofniveau een kritisch niveau bereikt, begint het apparaat een onderbroken signaal uit te zenden. De indicator bestaat uit 2 generatoren, deze worden aangestuurd door sensorelement E. Deze wordt in de tank geplaatst op een niveau tot ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 is een digitale timer met meerdere programma's, ontworpen om te werken met de ILC3-5\7-indicator. Het biedt telling en weergave van de huidige tijd in uren en minuten, dag van de week en controlekanaalnummer (9 alarmen). Het wekkercircuit wordt weergegeven in de figuur. De microschakeling is geklokt. resonator Q1 op 32768 Hz. eten is negatief, de totale plus gaat naar ...