De wet van de verdeling van een discrete willekeurige variabele wordt gegeven. Theoretisch materiaal voor modules "kansrekening en wiskundige statistiek"

WET VAN DISTRIBUTIE EN KENMERKEN

WILLEKEURIGE VARIABELEN

Willekeurige variabelen, hun classificatie en beschrijvingsmethoden.

Een willekeurige grootheid is een grootheid die als resultaat van een experiment een of andere waarde kan aannemen, maar die niet vooraf bekend is. Voor een willekeurige variabele kun je daarom alleen waarden opgeven, waarvan er zeker één nodig zal zijn als resultaat van een experiment. In wat volgt zullen we deze waarden mogelijke waarden van de willekeurige variabele noemen. Omdat een willekeurige variabele het willekeurige resultaat van een experiment kwantitatief karakteriseert, kan deze worden beschouwd als een kwantitatief kenmerk van een willekeurige gebeurtenis.

Willekeurige variabelen worden meestal aangegeven met hoofdletters van het Latijnse alfabet, bijvoorbeeld X..Y..Z, en hun mogelijke waarden met overeenkomstige kleine letters.

Er zijn drie soorten willekeurige variabelen:

Discreet; Continu; Gemengd.

Discreet is een willekeurige variabele waarvan het aantal mogelijke waarden een telbare set vormt. Een verzameling waarvan de elementen kunnen worden genummerd, wordt op zijn beurt telbaar genoemd. Het woord "discreet" komt van het Latijnse discretus, wat "discontinu, bestaande uit afzonderlijke delen" betekent.

Voorbeeld 1. Een discrete willekeurige variabele is het aantal defecte onderdelen X in een batch van nproducten. De mogelijke waarden van deze willekeurige variabele zijn inderdaad een reeks gehele getallen van 0 tot n.

Voorbeeld 2. Een discrete willekeurige variabele is het aantal schoten vóór de eerste treffer op het doel. Hier kunnen, net als in voorbeeld 1, de mogelijke waarden worden genummerd, hoewel de mogelijke waarde in het grensgeval een oneindig groot getal is.

Continu is een willekeurige variabele waarvan de mogelijke waarden continu een bepaald interval van de numerieke as vullen, ook wel het bestaansinterval van deze willekeurige variabele genoemd. Op elk eindig bestaansinterval is het aantal mogelijke waarden van een continue willekeurige variabele dus oneindig groot.

Voorbeeld 3. Een continue willekeurige variabele is het maandelijkse elektriciteitsverbruik van een onderneming.

Voorbeeld 4. Een continue willekeurige variabele is de fout bij het meten van hoogte met behulp van een hoogtemeter. Laat uit het werkingsprincipe van de hoogtemeter weten dat de fout in het bereik van 0 tot 2 m ligt. Daarom is het bestaansinterval van deze willekeurige variabele het interval van 0 tot 2 m.

Wet van de verdeling van willekeurige variabelen.

Een willekeurige variabele wordt als volledig gespecificeerd beschouwd als de mogelijke waarden ervan op de numerieke as zijn aangegeven en de verdelingswet is vastgesteld.

Wet van de verdeling van een willekeurige variabele is een relatie die een verband legt tussen de mogelijke waarden van een willekeurige variabele en de bijbehorende kansen.

Er wordt gezegd dat een willekeurige variabele wordt verdeeld volgens een bepaalde wet, of onderworpen is aan een bepaalde verdelingswet. Een aantal kansen, verdelingsfunctie, waarschijnlijkheidsdichtheid en karakteristieke functie worden gebruikt als verdelingswetten.

De verdelingswet geeft een volledige waarschijnlijke beschrijving van een willekeurige variabele. Volgens de verdelingswet kan men vóór het experiment beoordelen welke mogelijke waarden van een willekeurige variabele vaker zullen voorkomen en welke minder vaak.

Voor een discrete willekeurige variabele kan de verdelingswet worden gespecificeerd in de vorm van een tabel, analytisch (in de vorm van een formule) en grafisch.

De eenvoudigste vorm om de verdelingswet van een discrete willekeurige variabele te specificeren is een tabel (matrix), die in oplopende volgorde alle mogelijke waarden van de willekeurige variabele en hun overeenkomstige kansen opsomt, d.w.z.

Zo'n tabel wordt een distributiereeks van een discrete willekeurige variabele genoemd. 1

Gebeurtenissen X 1, X 2,..., X n, bestaande uit het feit dat als resultaat van de test de willekeurige variabele X respectievelijk de waarden x 1, x 2,... x n zal aannemen, zijn inconsistent en de enige mogelijke (aangezien de tabel alle mogelijke waarden van een willekeurige variabele vermeldt), d.w.z. vormen een volledige groep. Daarom is de som van hun kansen gelijk aan 1. Dus voor elke discrete willekeurige variabele

(Deze eenheid wordt op de een of andere manier verdeeld over de waarden van de willekeurige variabele, vandaar de term "verdeling").

De verdelingsreeksen kunnen grafisch worden weergegeven als de waarden van de willekeurige variabele langs de abscis-as worden uitgezet, en hun overeenkomstige kansen langs de ordinaat-as. De verbinding van de verkregen punten vormt een onderbroken lijn die een polygoon of polygoon van de waarschijnlijkheidsverdeling wordt genoemd (Fig. 1).

Voorbeeld De loterij omvat: een auto ter waarde van 5.000 den. eenheden, 4 tv's die 250 den kosten. eenheden, 5 videorecorders ter waarde van 200 den. eenheden Er worden in totaal 1000 tickets verkocht voor 7 dagen. eenheden Stel een verdelingswet op voor de nettowinst die een loterijdeelnemer ontvangt die één lot heeft gekocht.

Oplossing. Mogelijke waarden van de willekeurige variabele X – de nettowinst per lot – zijn gelijk aan 0-7 = -7 geld. eenheden (als het ticket niet won), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. eenheden (als het ticket respectievelijk de winst van een videorecorder, tv of auto bevat). Rekening houdend met het feit dat van de 1000 loten het aantal niet-winnaars 990 is, en de aangegeven winsten respectievelijk 5, 4 en 1 zijn, en met behulp van de klassieke definitie van waarschijnlijkheid, verkrijgen we.

Discreet een willekeurige variabele genoemd die individuele, geïsoleerde waarden met bepaalde waarschijnlijkheden kan aannemen.

VOORBEELD 1. Het aantal keren dat het wapen voorkomt bij drie opgooien. Mogelijke waarden: 0, 1, 2, 3, hun kansen zijn respectievelijk gelijk:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

VOORBEELD 2. Het aantal defecte elementen in een apparaat dat uit vijf elementen bestaat. Mogelijke waarden: 0, 1, 2, 3, 4, 5; hun kansen zijn afhankelijk van de betrouwbaarheid van elk element.

Discrete willekeurige variabele X kan worden gegeven door een distributiereeks of een distributiefunctie (de integrale distributiewet).

Bijna distributie is de verzameling van alle mogelijke waarden Xi en de bijbehorende waarschijnlijkheden Rik = P(X = Xi), het kan worden gespecificeerd als een tabel:

x ik				x n
p ik				рn

Tegelijkertijd de kansen Ri aan de voorwaarde voldoen

Ri= 1 omdat

waar is het aantal mogelijke waarden N kan eindig of oneindig zijn.

Grafische weergave van de distributiereeks de distributiepolygoon genoemd . Om het te construeren, mogelijke waarden van de willekeurige variabele ( Xi) worden uitgezet langs de x-as, en de kansen Ri- langs de ordinaat; punten Ai met coördinaten ( Xik, рi) zijn verbonden door onderbroken lijnen.

Distributie functie willekeurige variabele X functie genoemd F(X), waarvan de waarde op dat moment X is gelijk aan de waarschijnlijkheid dat de willekeurige variabele X zal kleiner zijn dan deze waarde X, dat is

F(x) = P(X< х).

Functie F(X) Voor Discrete willekeurige variabele berekend met de formule

F(X) = Ri , (1.10.1)

waarbij de optelling over alle waarden wordt uitgevoerd i, waarvoor Xi< х.

VOORBEELD 3. Uit een batch met 100 producten, waarvan er 10 defect zijn, worden willekeurig vijf producten geselecteerd om de kwaliteit ervan te controleren. Construeer een reeks verdelingen van een willekeurig getal X defecte producten in het monster.

Oplossing. Omdat in het monster het aantal defecte producten elk geheel getal kan zijn, variërend van 0 tot en met 5, zijn de mogelijke waarden Xi willekeurige variabele X zijn gelijk:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Waarschijnlijkheid R(X = k) dat het monster precies bevat k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) producten met gebreken, gelijk aan

P (X = k) = .

Als resultaat van berekeningen met deze formule met een nauwkeurigheid van 0,001 verkrijgen we:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Gelijkheid gebruiken om te controleren Rk=1, zorgen we ervoor dat de berekeningen en afrondingen correct zijn uitgevoerd (zie tabel).

x ik
p ik

VOORBEELD 4. Gegeven een distributiereeks van een willekeurige variabele X :

x ik
p ik

Zoek de kansverdelingsfunctie F(X) van deze willekeurige variabele en construeer deze.

Oplossing. Als X£10 dan F(X)= P(X<X) = 0;

indien 10<X 20€ dan F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

indien 20<X 30€ dan F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

indien 30<X 40€ dan F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

indien 40<X 50€ dan F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Als X> 50 dus F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Voorbeelden van het oplossen van problemen over het onderwerp “Willekeurige variabelen”.

Taak 1 . Er zijn 100 loten uitgegeven voor de loterij. Er werd één winnende prijs van 50 USD getrokken. en tien overwinningen van elk 10 USD. Zoek de wet van verdeling van de waarde X - de kosten van mogelijke winsten.

Oplossing. Mogelijke waarden voor X: x 1 = 0; X 2 = 10 en x 3 = 50. Aangezien er 89 “lege” kaartjes zijn, dan p 1 = 0,89, kans om $ 10 te winnen. (10 kaartjes) – p 2 = 0,10 en om 50 USD te winnen -P 3 = 0,01. Dus:

	0,89	0,10	0,01

Eenvoudig te bedienen: .

Taak 2. De kans dat de koper de productadvertentie vooraf heeft gelezen is 0,6 (p = 0,6). Selectieve controle van de kwaliteit van advertenties wordt uitgevoerd door kopers te onderzoeken vóór de eerste die de reclame van tevoren heeft bestudeerd. Maak een distributiereeks voor het aantal ondervraagde kopers.

Oplossing. Volgens de omstandigheden van het probleem is p = 0,6. Uit: q=1 -p = 0,4. Als we deze waarden vervangen, krijgen we: en construeer een distributiereeks:

p ik		0,24

Taak 3. Een computer bestaat uit drie onafhankelijk werkende elementen: de systeemeenheid, de monitor en het toetsenbord. Bij een enkele scherpe spanningsstijging is de faalkans van elk element 0,1. Stel op basis van de Bernoulli-verdeling een distributiewet op voor het aantal defecte elementen tijdens een stroompiek in het netwerk.

Oplossing. Laat ons nadenken Bernoulli-distributie(of binomiaal): de waarschijnlijkheid dat N tests, gebeurtenis A zal precies verschijnen k eenmaal: , of:

	Q N					P N

IN Laten we terugkeren naar de taak.

Mogelijke waarden voor X (aantal storingen):

x 0 =0 – geen van de elementen is mislukt;

x 1 =1 – falen van één element;

x 2 =2 – falen van twee elementen;

x 3 =3 – falen van alle elementen.

Omdat, per voorwaarde, p = 0,1, dan q = 1 – p = 0,9. Met behulp van de formule van Bernoulli krijgen we:

, ,

, .

Controle: .

Daarom is de vereiste distributiewet:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Probleem 4. 5000 rondes geproduceerd. Waarschijnlijkheid dat één cartridge defect is . Wat is de kans dat er precies 3 defecte cartridges in de hele batch zitten?

Oplossing. Van toepassing Poisson-verdeling: Deze verdeling wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid te bepalen dat, voor zeer grote

aantal tests (massatests), waarbij de kans op gebeurtenis A erg klein is, gebeurtenis A zal k keer voorkomen: , Waar .

Hier n = 5000, p = 0,0002, k = 3. We vinden dan de gewenste waarschijnlijkheid: .

Probleem 5. Bij het schieten tot de eerste treffer met trefferkans p = 0,6 bij het schieten moet je de waarschijnlijkheid vinden dat er bij het derde schot een treffer zal plaatsvinden.

Oplossing. Laten we een geometrische verdeling toepassen: laten we onafhankelijke proeven uitvoeren, waarbij elke gebeurtenis A een waarschijnlijkheid van voorkomen p heeft (en niet-voorkomen q = 1 – p). De test eindigt zodra gebeurtenis A zich voordoet.

Onder dergelijke omstandigheden wordt de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis A zal plaatsvinden tijdens de k-de poging bepaald door de formule: . Hier p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Daarom is .

Probleem 6. Laat de wet van de verdeling van een willekeurige variabele X gegeven worden:

Vind de wiskundige verwachting.

Oplossing. .

Merk op dat de probabilistische betekenis van de wiskundige verwachting de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele is.

Probleem 7. Zoek de variantie van de willekeurige variabele X met de volgende verdelingswet:

Oplossing. Hier .

Verdelingswet voor de kwadratische waarde van X 2 :

X 2

Vereiste variantie: .

Dispersie karakteriseert de mate van afwijking (spreiding) van een willekeurige variabele ten opzichte van zijn wiskundige verwachting.

Probleem 8. Laat een willekeurige variabele gegeven worden door de verdeling:

			10m

Zoek de numerieke kenmerken ervan.

Oplossing: m, m 2 ,

M 2 , M.

Over de willekeurige variabele X kunnen we het volgende zeggen: de wiskundige verwachting ervan is 6,4 m met een variantie van 13,04 m 2 , of – de wiskundige verwachting is 6,4 m met een afwijking van m. De tweede formulering is duidelijk duidelijker.

Taak 9. Willekeurige waarde X gegeven door de verdelingsfunctie:
.

Bereken de waarschijnlijkheid dat de waarde X als resultaat van de test de waarde in het interval zal aannemen .

Oplossing. De waarschijnlijkheid dat X een waarde uit een bepaald interval aanneemt, is gelijk aan de toename van de integraalfunctie in dit interval, d.w.z. . In ons geval en dus

.

Taak 10. Discrete willekeurige variabele X wordt gegeven door de distributiewet:

Zoek de verdelingsfunctie F(x ) en plot het.

Oplossing. Omdat de distributiefunctie

Voor , Dat

bij ;

bij ;

bij ;

bij ;

Relevante grafiek:

Probleem 11. Continue willekeurige variabele X gegeven door de differentiële verdelingsfunctie: .

Vind de trefferkans X per interval

Oplossing. Merk op dat dit een speciaal geval is van de exponentiële distributiewet.

Laten we de formule gebruiken: .

Taak 12. Zoek de numerieke kenmerken van een discrete willekeurige variabele X gespecificeerd door de distributiewet:

	–5
	X2: X2 . , Waar – Laplace-functie. De waarden van deze functie worden gevonden met behulp van een tabel. In ons geval: . Uit de tabel vinden we: , dus:

X; betekenis F(5); de waarschijnlijkheid dat de willekeurige variabele X neemt waarden over van het segment. Construeer een distributiepolygoon.

1. De verdelingsfunctie F(x) van een discrete willekeurige variabele is bekend X:

Stel de wet van de verdeling van een willekeurige variabele in X in de vorm van een tafel.

1. De wet van de verdeling van een willekeurige variabele wordt gegeven X:

X	–28	–20	–12	–4
P	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. De kans dat de winkel kwaliteitscertificaten heeft voor het volledige assortiment is 0,7. De commissie controleerde de beschikbaarheid van certificaten in vier winkels in de omgeving. Stel een distributiewet op, bereken de wiskundige verwachting en spreiding van het aantal winkels waarin bij inspectie geen kwaliteitscertificaten zijn aangetroffen.

1. Om de gemiddelde brandduur van elektrische lampen in een partij van 350 identieke dozen te bepalen, werd uit elke doos één elektrische lamp genomen om te testen. Schat hieronder de kans in dat de gemiddelde brandduur van de geselecteerde elektrische lampen minder dan 7 uur in absolute waarde afwijkt van de gemiddelde brandduur van de gehele batch, als bekend is dat de standaardafwijking van de brandduur van elektrische lampen in elke box duurt minder dan 9 uur.

1. Bij een telefooncentrale vindt er een foutieve verbinding plaats met een kans van 0,002. Bereken de kans dat onder de 500 verbindingen het volgende zal gebeuren:

Zoek de verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X. Construeer grafieken van functies en . Bereken de wiskundige verwachting, variantie, modus en mediaan van een willekeurige variabele X.

1. Een automatische machine maakt rollen. Er wordt aangenomen dat hun diameter een normaal verdeelde willekeurige variabele is met een gemiddelde waarde van 10 mm. Wat is de standaardafwijking als de diameter met een waarschijnlijkheid van 0,99 tussen 9,7 mm en 10,3 mm ligt.

Voorbeeld A: 6 9 7 6 4 4

Voorbeeld B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Optie 17.

1. Van de 35 onderdelen zijn er 7 niet-standaard. Bereken de kans dat twee willekeurig genomen delen standaard blijken te zijn.

1. Er worden drie dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat de som van de punten op de gevallen zijden een veelvoud van 9 is.

1. Het woord “AVONTUUR” bestaat uit kaarten, elk met één letter erop geschreven. De kaarten worden één voor één geschud en eruit gehaald zonder terug te keren. Bereken de waarschijnlijkheid dat de uitgenomen letters in de volgorde van verschijning het woord vormen: a) AVONTUUR; b) GEVANGENE.

1. In een urn zitten 6 zwarte en 5 witte ballen. Er worden willekeurig 5 ballen getrokken. Bereken de waarschijnlijkheid dat er onder hen zijn:
1. 2 witte ballen;
2. minder dan 2 witte ballen;
3. minstens één zwarte bal.

1. A in één test is gelijk aan 0,4. Bereken de waarschijnlijkheid van de volgende gebeurtenissen:
1. evenement A verschijnt 3 keer in een reeks van 7 onafhankelijke onderzoeken;
2. evenement A verschijnt maar liefst 220 en maximaal 235 keer in een reeks van 400 beproevingen.

1. De fabriek stuurde 5.000 producten van goede kwaliteit naar de basis. De kans op schade aan elk product tijdens het transport is 0,002. Bereken de kans dat niet meer dan 3 producten tijdens de reis beschadigd raken.

1. De eerste urn bevat 4 witte en 9 zwarte ballen, en de tweede urn bevat 7 witte en 3 zwarte ballen. Uit de eerste urn worden willekeurig 3 ballen getrokken, en uit de tweede urn 4. Bereken de kans dat alle getrokken ballen dezelfde kleur hebben.

1. De wet van de verdeling van een willekeurige variabele wordt gegeven X:

Bereken de wiskundige verwachting en variantie ervan.

1. Er zitten 10 potloden in de doos. Er worden willekeurig 4 potloden getrokken. Willekeurige waarde X– het aantal blauwe potloden onder de geselecteerde. Zoek de wet van de verdeling ervan, de begin- en centrale momenten van de 2e en 3e orde.

1. De afdeling technische controle controleert 475 producten op gebreken. De kans dat het product defect is, is 0,05. Zoek, met een waarschijnlijkheid van 0,95, de grenzen waarbinnen het aantal defecte producten onder de geteste producten beperkt zal blijven.

1. Bij een telefooncentrale vindt er een foutieve verbinding plaats met een kans van 0,003. Bereken de kans dat onder de 1000 verbindingen het volgende zal gebeuren:
1. minimaal 4 foutieve aansluitingen;
2. meer dan twee onjuiste verbindingen.

1. De willekeurige variabele wordt gespecificeerd door de distributiedichtheidsfunctie:

Zoek de verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X. Construeer grafieken van functies en . Bereken de wiskundige verwachting, variantie, modus en mediaan van de willekeurige variabele X.

1. De willekeurige variabele wordt gespecificeerd door de verdelingsfunctie:

1. Per monster A de volgende problemen oplossen:
1. maak een variatieserie;

· steekproefgemiddelde;

· steekproefvariantie;

Modus en mediaan;

Voorbeeld A: 0 0 2 2 1 4

1. bereken de numerieke kenmerken van de variatiereeks:

· steekproefgemiddelde;

· steekproefvariantie;

standaard steekproefafwijking;

· modus en mediaan;

Voorbeeld B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Optie 18.

1. Van de tien loten zijn er twee winnende. Bereken de kans dat van de vijf willekeurig gekozen loten er één de winnaar zal zijn.

1. Er worden drie dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat de som van de gegooide punten groter is dan 15.

1. Het woord “PERIMETER” bestaat uit kaarten, waarop op elk kaartje een letter staat geschreven. De kaarten worden één voor één geschud en eruit gehaald zonder terug te keren. Bereken de kans dat de eruit gehaalde letters het woord vormen: a) OMtrek; b) METER.

1. In een urn zitten 5 zwarte en 7 witte ballen. Er worden willekeurig 5 ballen getrokken. Bereken de waarschijnlijkheid dat er onder hen zijn:
1. 4 witte ballen;
2. minder dan 2 witte ballen;
3. minstens één zwarte bal.

1. Waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt A in één proef is gelijk aan 0,55. Bereken de waarschijnlijkheid van de volgende gebeurtenissen:
1. evenement A verschijnt 3 keer in een reeks van 5 uitdagingen;
2. evenement A zal maar liefst 130 en maximaal 200 keer verschijnen in een reeks van 300 beproevingen.

1. De kans dat een blikje ingeblikte goederen kapot gaat, is 0,0005. Bereken de kans dat er van de 2000 blikjes er twee een lek hebben.

1. De eerste urn bevat 4 witte en 8 zwarte ballen, en de tweede urn bevat 7 witte en 4 zwarte ballen. Uit de eerste urn worden willekeurig twee ballen getrokken en uit de tweede urn worden willekeurig drie ballen getrokken. Bereken de kans dat alle getrokken ballen dezelfde kleur hebben.

1. Van de onderdelen die arriveren voor montage is 0,1% defect van de eerste machine, 0,2% van de tweede, 0,25% van de derde en 0,5% van de vierde. De productiviteitsverhoudingen van de machines zijn respectievelijk 4:3:2:1. Het willekeurig genomen deel bleek standaard te zijn. Bereken de kans dat het onderdeel op de eerste machine is gemaakt.

1. De wet van de verdeling van een willekeurige variabele wordt gegeven X:

Bereken de wiskundige verwachting en variantie ervan.

1. Een elektricien heeft drie lampen, die elk een defect hebben met een kans van 0,1. De lampen worden in de fitting geschroefd en de stroom wordt ingeschakeld. Wanneer de stroom wordt ingeschakeld, brandt de defecte lamp onmiddellijk door en wordt deze vervangen door een andere. Vind de verdelingswet, de wiskundige verwachting en de spreiding van het aantal geteste gloeilampen.

1. De kans dat een doel wordt geraakt is 0,3 voor elk van de 900 onafhankelijke schoten. Schat met behulp van de ongelijkheid van Chebyshev de kans dat het doelwit minstens 240 keer en maximaal 300 keer zal worden geraakt.

1. Bij een telefooncentrale vindt er een foutieve verbinding plaats met een kans van 0,002. Bereken de kans dat onder 800 verbindingen het volgende zal gebeuren:
1. minimaal drie onjuiste aansluitingen;
2. meer dan vier onjuiste aansluitingen.

1. De willekeurige variabele wordt gespecificeerd door de distributiedichtheidsfunctie:

Zoek de verdelingsfunctie van de willekeurige variabele X. Teken grafieken van de functies en . Bereken de wiskundige verwachting, variantie, modus en mediaan van een willekeurige variabele X.

1. De willekeurige variabele wordt gespecificeerd door de verdelingsfunctie:

1. Per monster A de volgende problemen oplossen:
1. maak een variatieserie;
2. relatieve en geaccumuleerde frequenties berekenen;
3. een empirische verdelingsfunctie samenstellen en in kaart brengen;
4. bereken de numerieke kenmerken van de variatiereeks:

· steekproefgemiddelde;

· steekproefvariantie;

standaard steekproefafwijking;

· modus en mediaan;

Voorbeeld A: 4 7 6 3 3 4

1. Los met behulp van voorbeeld B de volgende problemen op:
1. maak een gegroepeerde variatieserie;
2. bouw een histogram en frequentiepolygoon;
3. bereken de numerieke kenmerken van de variatiereeks:

· steekproefgemiddelde;

· steekproefvariantie;

standaard steekproefafwijking;

· modus en mediaan;

Voorbeeld B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Optie 19.

1. Er werken 16 vrouwen en 5 mannen op de locatie. Er werden willekeurig 3 personen geselecteerd op basis van hun personeelsnummers. Bereken de kans dat alle geselecteerde mensen mannen zijn.

2. Er worden vier munten gegooid. Bereken de kans dat slechts twee munten een ‘wapenschild’ hebben.

3. Het woord ‘PSYCHOLOGIE’ bestaat uit kaarten, waarop op elk kaartje één letter staat geschreven. De kaarten worden één voor één geschud en eruit gehaald zonder terug te keren. Bereken de waarschijnlijkheid dat de eruit gehaalde letters een woord vormen: a) PSYCHOLOGIE; b) PERSONEEL.

4. De urn bevat 6 zwarte en 7 witte ballen. Er worden willekeurig 5 ballen getrokken. Bereken de waarschijnlijkheid dat er onder hen zijn:

A. 3 witte ballen;

B. minder dan 3 witte ballen;

C. minstens één witte bal.

5. Waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt A in één proef is gelijk aan 0,5. Bereken de waarschijnlijkheid van de volgende gebeurtenissen:

A. evenement A verschijnt 3 keer in een reeks van 5 onafhankelijke onderzoeken;

B. evenement A zal minimaal 30 en maximaal 40 keer verschijnen in een reeks van 50 proeven.

6. Er zijn 100 machines met hetzelfde vermogen, die onafhankelijk van elkaar in dezelfde modus werken, waarin hun aandrijving gedurende 0,8 werkuren is ingeschakeld. Hoe groot is de kans dat er op een gegeven moment tussen de 70 en 86 machines aan zullen staan?

7. De eerste urn bevat 4 witte en 7 zwarte ballen, en de tweede urn bevat 8 witte en 3 zwarte ballen. Uit de eerste urn worden willekeurig 4 ballen getrokken en uit de tweede 1 bal. Bereken de kans dat er onder de getrokken ballen slechts 4 zwarte ballen zijn.

8. De autoverkoopshowroom ontvangt dagelijks auto's van drie merken in volumes: “Moskvich” – 40%; "Oké" - 20%; "Volga" - 40% van alle geïmporteerde auto's. Van de Moskvich-auto's heeft 0,5% een antidiefstalapparaat, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Bereken de kans dat de auto die ter inspectie wordt meegenomen een antidiefstalapparaat heeft.

9. Nummers en worden willekeurig gekozen op het segment. Bereken de kans dat deze getallen aan de ongelijkheden voldoen.

10. De wet van de verdeling van een willekeurige variabele wordt gegeven X:

X
P	0,1	0,2	0,3	0,4

Zoek de verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X; betekenis F(2); de waarschijnlijkheid dat de willekeurige variabele X neemt waarden over van het interval . Construeer een distributiepolygoon.

Willekeurige variabele Een variabele wordt een variabele genoemd die, als resultaat van elke test, een voorheen onbekende waarde aanneemt, afhankelijk van willekeurige redenen. Willekeurige variabelen worden aangegeven met Latijnse hoofdletters: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Afhankelijk van hun type kunnen willekeurige variabelen discreet En continu.

Discrete willekeurige variabele- dit is een willekeurige variabele waarvan de waarden niet meer dan telbaar kunnen zijn, dat wil zeggen eindig of telbaar. Met telbaarheid bedoelen we dat de waarden van een willekeurige variabele genummerd kunnen worden.

voorbeeld 1 . Hier zijn voorbeelden van discrete willekeurige variabelen:

a) het aantal treffers op het doel met $n$ schoten, hier zijn de mogelijke waarden $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) het aantal emblemen dat valt bij het opgooien van een munt, hier zijn de mogelijke waarden $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) het aantal schepen dat aan boord arriveert (een telbare reeks waarden).

d) het aantal oproepen dat bij de PBX binnenkomt (telbare reeks waarden).

1. Wet van de kansverdeling van een discrete willekeurige variabele.

Een discrete willekeurige variabele $X$ kan waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ aannemen met waarschijnlijkheden $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. De overeenkomst tussen deze waarden en hun kansen wordt genoemd wet van de verdeling van een discrete willekeurige variabele. In de regel wordt deze correspondentie gespecificeerd met behulp van een tabel, waarvan de eerste regel de waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ aangeeft, en de tweede regel de kansen $p_1,\dots ,\ p_n$ bevat die overeenkomen met deze waarden.

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hlijn
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hlijn
\end(matrix)$

Voorbeeld 2 . Laat de willekeurige variabele $X$ het aantal punten zijn dat wordt gegooid bij het gooien van een dobbelsteen. Zo'n willekeurige variabele $X$ kan de volgende waarden aannemen: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. De kansen op al deze waarden zijn gelijk aan $1/6$. Dan geldt de wet van de kansverdeling van de willekeurige variabele $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlijn

\hlijn
\end(matrix)$

Opmerking. Omdat in de verdelingswet van een discrete willekeurige variabele $X$ de gebeurtenissen $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ een complete groep gebeurtenissen vormen, moet de som van de kansen gelijk zijn aan één, dat wil zeggen $ \som(p_i)=1$.

2. Wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele.

Verwachting van een willekeurige variabele bepaalt de ‘centrale’ betekenis ervan. Voor een discrete willekeurige variabele wordt de wiskundige verwachting berekend als de som van de producten van de waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ en de kansen $p_1,\dots ,\ p_n$ die overeenkomen met deze waarden, dat wil zeggen : $M\left(X\right)=\som ^n_(i=1)(p_ix_i)$. In de Engelstalige literatuur wordt een andere notatie $E\left(X\right)$ gebruikt.

Eigenschappen van wiskundige verwachting$M\links(X\rechts)$:

1. $M\left(X\right)$ ligt tussen de kleinste en grootste waarden van de willekeurige variabele $X$.
2. De wiskundige verwachting van een constante is gelijk aan de constante zelf, d.w.z. $M\links(C\rechts)=C$.
3. De constante factor kan uit het teken van de wiskundige verwachting worden gehaald: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. De wiskundige verwachting van de som van willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun wiskundige verwachtingen: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. De wiskundige verwachting van het product van onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan het product van hun wiskundige verwachtingen: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Voorbeeld 3 . Laten we de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$ vinden.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\meer dan (6))=3,5.$$

We kunnen zien dat $M\left(X\right)$ tussen de kleinste ($1$) en grootste ($6$) waarden van de willekeurige variabele $X$ ligt.

Voorbeeld 4 . Het is bekend dat de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $M\left(X\right)=2$. Zoek de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $3X+5$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen krijgen we $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Voorbeeld 5 . Het is bekend dat de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $M\left(X\right)=4$. Zoek de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $2X-9$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen krijgen we $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Verspreiding van een discrete willekeurige variabele.

Mogelijke waarden van willekeurige variabelen met gelijke wiskundige verwachtingen kunnen zich verschillend rond hun gemiddelde waarden verspreiden. Zo bleek in twee groepen studenten de gemiddelde score voor het examen kansrekening een 4, maar in de ene groep bleken iedereen goede studenten, en in de andere groep waren er alleen maar C-studenten en excellente studenten. Daarom is er behoefte aan een numeriek kenmerk van een willekeurige variabele die de spreiding van de waarden van de willekeurige variabele rond zijn wiskundige verwachting zou laten zien. Dit kenmerk is spreiding.

Variantie van een discrete willekeurige variabele$X$ is gelijk aan:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

In de Engelse literatuur wordt de notatie $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gebruikt. Heel vaak wordt de variantie $D\left(X\right)$ berekend met de formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ links(X \rechts)\rechts))^2$.

Dispersie-eigenschappen$D\links(X\rechts)$:

1. De variantie is altijd groter dan of gelijk aan nul, d.w.z. $D\links(X\rechts)\ge 0$.
2. De variantie van de constante is nul, d.w.z. $D\links(C\rechts)=0$.
3. De constante factor kan uit het teken van de spreiding worden gehaald, op voorwaarde dat deze in het kwadraat is, d.w.z. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. De variantie van de som van onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun varianties, d.w.z. $D\links(X+Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.
5. De variantie van het verschil tussen onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun varianties, d.w.z. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Voorbeeld 6 . Laten we de variantie berekenen van de willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\circa 2,92,$$

Voorbeeld 7 . Het is bekend dat de variantie van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $D\left(X\right)=2$. Zoek de variantie van de willekeurige variabele $4X+1$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen vinden we $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ links(X\rechts)=16\cdot 2=32$.

Voorbeeld 8 . Het is bekend dat de variantie van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $D\left(X\right)=3$. Zoek de variantie van de willekeurige variabele $3-2X$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen vinden we $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ links(X\rechts)=4\cdot 3=12$.

4. Verdelingsfunctie van een discrete willekeurige variabele.

De methode voor het weergeven van een discrete willekeurige variabele in de vorm van een distributiereeks is niet de enige, en het belangrijkste is dat deze niet universeel is, aangezien een continue willekeurige variabele niet kan worden gespecificeerd met behulp van een distributiereeks. Er is een andere manier om een ​​willekeurige variabele weer te geven: de verdelingsfunctie.

Distributie functie willekeurige variabele $X$ wordt een functie $F\left(x\right)$ genoemd, die de waarschijnlijkheid bepaalt dat de willekeurige variabele $X$ een waarde zal aannemen die kleiner is dan een vaste waarde $x$, dat wil zeggen $F\ links(x\rechts)=P\links(X< x\right)$

Eigenschappen van de verdelingsfunctie:

1. $0\le F\links(x\rechts)\le 1$.
2. De kans dat de willekeurige variabele $X$ waarden aanneemt uit het interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ is gelijk aan het verschil tussen de waarden van de verdelingsfunctie aan de uiteinden hiervan interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - niet-afnemend.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \rechts)=1\ )$.

Voorbeeld 9 . Laten we de verdelingsfunctie $F\left(x\right)$ vinden voor de verdelingswet van de discrete willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlijn
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hlijn
\end(matrix)$

Als $x\le 1$, dan is uiteraard $F\left(x\right)=0$ (inclusief voor $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Als $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Als $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Als $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Als $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Als $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Als $x > 6$, dan $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\links(X=4\rechts)+P\links(X=5\rechts)+P\links(X=6\rechts)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Dus $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ bij\ x\le 1,\\
1/6,op\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ op\ 2< x\le 3,\\
1/2,op\3< x\le 4,\\
2/3,\ op\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ op\ 4< x\le 5,\\
1,\ voor\ x > 6.
\end(matrix)\rechts.$