Bất bình đẳng hợp lý và hệ thống của họ. Hệ thống bất bình đẳng hợp lý
Đề bài “Giải hệ bất phương trình hữu tỉ”
Lớp 10
Loại bài học: tìm kiếm
Mục tiêu: tìm cách giải bất đẳng thức bằng mô đun, áp dụng phương pháp khoảng trong tình huống mới.
Mục tiêu bài học:
Kiểm tra kỹ năng của bạn trong việc giải các bất đẳng thức hợp lý và hệ thống của chúng; - cho học sinh thấy khả năng sử dụng phương pháp khoảng khi giải bất phương trình bằng mô đun;
Dạy suy nghĩ logic;
Phát triển kỹ năng tự đánh giá công việc của bạn;
Học cách bày tỏ suy nghĩ của bạn
Học cách bảo vệ quan điểm của bạn bằng lý trí;
- Hình thành động cơ học tập tích cực ở học sinh;
Phát triển tính độc lập của học sinh.
Trong các lớp học
TÔI. Thời gian tổ chức(1 phút)
Chào các bạn, hôm nay chúng ta tiếp tục học chủ đề “Hệ bất đẳng thức hữu tỉ”, chúng ta sẽ vận dụng kiến thức, kỹ năng vào một tình huống mới.
Ghi ngày và chủ đề của bài “Giải hệ bất phương trình hữu tỉ”. Hôm nay tôi mời bạn tham gia cuộc hành trình dọc theo con đường toán học, nơi các bài kiểm tra đang chờ bạn, bài kiểm tra sức mạnh. Trên bàn làm việc của bạn là bản đồ đường đi với các nhiệm vụ, một tờ hành trình tự đánh giá mà bạn sẽ giao cho tôi (người điều phối) khi kết thúc chuyến đi.
Phương châm của chuyến đi sẽ là câu cách ngôn “Người đi có thể làm chủ con đường, nhưng người tư duy bằng toán học”. Mang theo kiến thức của bạn. Tham gia vào quá trình suy nghĩ của bạn và lên đường. Trên đường đi chúng ta sẽ có đài phát thanh đi kèm.Một đoạn nhạc được phát (1 phút). Sau đó là một âm thanh sắc nét của tín hiệu.
II. Giai đoạn kiểm tra kiến thức Làm việc nhóm."Kiểm tra hành lý"
Đây là bài kiểm tra sàng lọc hành lý đầu tiên, kiểm tra kiến thức của bạn về chủ đề này
Bây giờ các bạn sẽ được chia thành các nhóm 3 hoặc 4 người. Mọi người đều có một mảnh giấy ghi nhiệm vụ trên bàn của mình. Phân chia các nhiệm vụ này cho nhau, giải quyết chúng và viết ra các câu trả lời làm sẵn trên một tờ giấy chung. Một nhóm 3 người chọn 3 nhiệm vụ bất kỳ. Bất cứ ai hoàn thành tất cả các nhiệm vụ sẽ báo cáo điều này với giáo viên. Tôi hoặc trợ lý sẽ kiểm tra đáp án và nếu có ít nhất một đáp án sai nhóm sẽ được phát lại một tờ để kiểm tra lại. (trẻ không nhìn thấy đáp án mà chỉ được cho biết nhiệm vụ nào có đáp án sai).Nhóm chiến thắng là nhóm hoàn thành mọi nhiệm vụ đầu tiên mà không mắc lỗi. Tiến tới chiến thắng.
Âm nhạc rất yên tĩnh.
Nếu hai hoặc ba nhóm hoàn thành công việc của mình cùng lúc, một em của nhóm kia sẽ giúp giáo viên kiểm tra. Đáp án trên giấy giáo viên (4 bản).
Công việc dừng lại khi nhóm chiến thắng xuất hiện.
Đừng quên hoàn thành bảng tự đánh giá. Và chúng ta đi tiếp.
Bảng nhiệm vụ “Kiểm tra hành lý”
1) 3)
2) 4)
III. Giai đoạn cập nhật kiến thức và khám phá kiến thức mới. "Eureka"
Cuộc kiểm tra cho thấy bạn có rất nhiều kiến thức.
Nhưng trên đường có đủ loại tình huống xảy ra, đôi khi cần phải có sự khéo léo và chúng tôi sẽ kiểm tra xem bạn có quên mang theo bên mình hay không.
Bạn đã học cách giải hệ bất phương trình hữu tỷ bằng phương pháp khoảng. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét những vấn đề nào nên sử dụng phương pháp này. Nhưng trước tiên, hãy nhớ mô-đun là gì.
1. Tiếp tục câu “Mô đun của một số bằng chính số đó nếu…”(bằng miệng)
“Môđun của một số bằng số đối diện nếu…”
2. Cho A(X) là đa thức trong x
Tiếp tục ghi:
Trả lời:
Viết biểu thức ngược lại của A(x)
A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2
A(x)= -A(x)=
Học sinh viết lên bảng, các em viết vào vở.
3. Bây giờ chúng ta cùng tìm cách giải bất đẳng thức bậc hai bằng mô đun
Đề xuất của bạn để giải quyết sự bất bình đẳng này là gì?
Hãy lắng nghe lời đề nghị của các chàng trai.
Nếu không có đề xuất nào thì hãy đặt câu hỏi: “Liệu sự bất bình đẳng này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng hệ thống bất bình đẳng không?”
Học sinh bước ra và quyết định.
IV. Giai đoạn củng cố sơ bộ các kiến thức mới, xây dựng thuật toán giải. Bổ sung hành lý.
(Làm việc theo nhóm 4 người).
Bây giờ tôi đề nghị bạn bổ sung hành lý của bạn. Bạn sẽ làm việc theo nhóm.Mỗi nhóm được phát 2 thẻ nhiệm vụ.
Trên thẻ đầu tiên, bạn cần viết ra các hệ thống giải các bất đẳng thức trình bày trên bảng và phát triển thuật toán giải các bất đẳng thức đó, không cần phải giải chúng.
Thẻ đầu tiên khác nhau đối với các nhóm, thẻ thứ hai giống nhau
Chuyện gì đã xảy ra thế?
Dưới mỗi phương trình trên bảng, bạn cần viết một bộ hệ thống.
4 học sinh bước ra và viết hệ thống. Tại thời điểm này, chúng tôi thảo luận về thuật toán với lớp.
v. Giai đoạn củng cố kiến thức."Đường về nhà".
Hành lý đã được bổ sung, bây giờ là lúc quay trở lại. Bây giờ hãy tự mình giải bất kỳ bất đẳng thức nào được đề xuất bằng mô đun theo thuật toán đã biên dịch.
Đài phát thanh đường bộ sẽ lại đồng hành cùng bạn trên đường.
Phát nhạc nền yên tĩnh. Giáo viên kiểm tra thiết kế và đưa ra lời khuyên nếu cần thiết.
Nhiệm vụ trên bảng.
Công việc đã được hoàn thành. Kiểm tra các câu trả lời (chúng đang bật mặt sau bảng), điền vào phiếu du lịch tự đánh giá.
Đặt bài tập về nhà.
Viết bài tập về nhà ( chép vào vở những bất đẳng thức chưa làm hoặc làm sai, thêm câu 84 (a) trang 373 SGK nếu muốn)
VI. Giai đoạn thư giãn.
Chuyến đi này hữu ích với bạn như thế nào?
Bạn đã học được gì?
Tóm tắt. Đếm xem mỗi bạn kiếm được bao nhiêu điểm.(các bạn nêu điểm cuối cùng).Bàn giao phiếu tự đánh giá cho người điều phối, tức là cho tôi.
Tôi muốn kết thúc bài học bằng một câu chuyện ngụ ngôn.
“Một nhà hiền triết bước đến, gặp ba người đang chở xe chở đá đi xây dựng dưới nắng nóng. Nhà hiền triết dừng lại và hỏi mỗi người một câu hỏi. Anh ta hỏi người đầu tiên: “Anh làm gì cả ngày thế?”, và anh ta cười toe toét trả lời rằng anh ta đã mang những viên đá chết tiệt đó cả ngày. Nhà hiền triết hỏi người thứ hai: “Anh đã làm gì cả ngày?”, anh trả lời: “Tôi đã làm công việc của mình một cách tận tâm”, còn người thứ ba mỉm cười, khuôn mặt sáng bừng niềm vui và sự hài lòng: “Và tôi đã tham gia xây dựng. của Đền Thờ!”
Bài học đã kết thúc.
Phiếu tự đánh giá
Họ, tên, lớp | Số điểm |
|
Làm việc theo nhóm để giải quyết những bất bình đẳng hoặc hệ thống bất bình đẳng. | 2 điểm nếu thực hiện đúng mà không cần sự trợ giúp từ bên ngoài; 1 điểm nếu thực hiện đúng với sự trợ giúp từ bên ngoài; 0 điểm nếu bạn không hoàn thành nhiệm vụ Thêm 1 điểm cho chiến thắng nhóm |
Hệ thống bất bình đẳng hợp lý
nội dung bài học
trừu tượng [Bezdenezhnykh L.V.]
Đại số, Lớp 9 UMK: A.G. Mordkovich. Đại số học. lớp 9. Lúc 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa; Phần 2. Sách bài tập; Moscow: Mnemosyne, 2010 Trình độ học vấn: cơ bản Chủ đề của bài học: Hệ thống bất bình đẳng hợp lý. (Bài học đầu tiên về chủ đề này, tổng cộng có 3 giờ để nghiên cứu chủ đề) Bài học về một chủ đề mới. Mục đích của bài học: nhắc lại cách giải bất phương trình tuyến tính; giới thiệu khái niệm về hệ bất phương trình, giải thích cách giải các hệ bất phương trình tuyến tính đơn giản nhất; để hình thành khả năng giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính ở bất kỳ mức độ phức tạp nào. Nhiệm vụ: Giáo dục: nghiên cứu chủ đề dựa trên kiến thức đã có, củng cố kỹ năng thực hành giải hệ bất phương trình tuyến tính làm việc độc lập sinh viên và các hoạt động giảng dạy và tư vấn được chuẩn bị kỹ càng nhất. Phát triển: phát triển hứng thú nhận thức, tính độc lập trong tư duy, trí nhớ, tính chủ động của học sinh thông qua việc sử dụng các phương pháp hoạt động giao tiếp và các yếu tố học tập dựa trên vấn đề. Giáo dục: hình thành kỹ năng giao tiếp, văn hóa giao tiếp, hợp tác. Phương pháp tiến hành: - thuyết trình có yếu tố hội thoại và học tập dựa trên vấn đề; - Làm việc độc lập của sinh viên với lý thuyết và tài liệu thực tế theo sách giáo khoa; -phát triển văn hóa hình thức hóa giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính. Kết quả mong đợi: học sinh sẽ nhớ được cách giải bất đẳng thức tuyến tính, đánh dấu giao nghiệm của bất phương trình trên trục số, học cách giải hệ bất phương trình tuyến tính. Thiết bị dạy học: bảng đen, tài liệu phát tay (ứng dụng), sách giáo khoa, vở bài tập. Nội dung bài học: 1. Thời điểm tổ chức. Kiểm tra bài tập về nhà. 2. Cập nhật kiến thức. Học sinh cùng giáo viên điền vào bảng trên bảng: Khoảng hình bất đẳng thức Dưới đây là bảng hoàn chỉnh: Khoảng hình bất đẳng thức 3. Đọc chính tả toán học. Chuẩn bị cho việc nhận thức về một chủ đề mới. 1. Dùng bảng mẫu giải các bất phương trình: Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án 4 2. Giải các phương án, vẽ hai hình trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai phương án không: Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án 4 4. Giải thích về vật liệu mới . Giải thích tài liệu mới (trang 40-44): 1. Xác định hệ bất đẳng thức (trang 41). Định nghĩa: Một số bất đẳng thức một biến x tạo thành một hệ bất đẳng thức nếu nhiệm vụ là tìm tất cả các giá trị như vậy của biến mà mỗi bất đẳng thức đã cho với biến đó biến thành một bất đẳng thức số đúng. 2. Giới thiệu khái niệm riêng tư và quyết định chung các hệ thống bất bình đẳng Bất kỳ giá trị nào như vậy của x đều được gọi là nghiệm (hoặc nghiệm cụ thể) của hệ bất phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể của hệ bất đẳng thức biểu diễn nghiệm tổng quát của hệ bất đẳng thức. 3. Xét SGK giải hệ bất phương trình theo ví dụ 3 (a, b, c). 4. Tóm tắt suy luận bằng cách giải hệ:. 5. Hợp nhất vật liệu mới. Giải các bài tập từ số 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Bài kiểm tra Kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức mới bằng cách tích cực hỗ trợ giải bài tập theo các phương án: Phương án 1 a, c số 4.6, 4.8 Phương án 2 b, d số 4.6, 4.8 7. Tổng kết. Suy ngẫm Hôm nay bạn đã học được những khái niệm mới nào? Bạn đã học cách tìm nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyến tính chưa? Bạn đã đạt được điều gì nhiều nhất, khoảnh khắc nào thành công nhất? số 8. Bài tập về nhà: số 4,5, 4,7.; lý thuyết trong SGK trang 40-44; Đối với học sinh có động lực tăng cao Số 4.23 (c, d). Ứng dụng. Phương án 1. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2.Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức hay không: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 2. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2. Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 3. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2.Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức hay không: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 4. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2. Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi.
Tải xuống: Đại số 9kl - trừu tượng [Bezdenezhnykh L.V.].docxtóm tắt bài 2-4 [Zvereva L.P.]
Đại số lớp 9 UMK: ĐẠI SỐ-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Mức độ - học tập cơ bản Chủ đề của bài học: Hệ bất đẳng thức hữu tỉ Tổng số giờ phân bổ cho việc học chủ đề - 4 giờ Vị trí của bài học trong hệ thống các bài học theo chủ đề bài số 2, số 3; Số 4. Mục đích của bài học: Dạy học sinh xây dựng hệ bất phương trình, đồng thời dạy cách giải hệ thống sẵn sàng, do tác giả sách đề xuất. Mục tiêu của bài học: Phát triển các kỹ năng: tự do giải các hệ bất phương trình bằng phương pháp giải tích, đồng thời có thể chuyển nghiệm về đường tọa độ để viết đúng đáp án, làm việc độc lập với tài liệu đã cho. .Kết quả dự kiến: Học sinh có thể giải được các hệ có sẵn, cũng như tạo được các hệ bất phương trình dựa trên điều kiện văn bản của bài tập và giải được mô hình đã biên soạn. Hỗ trợ kỹ thuật bài học: UMK: ĐẠI SỐ-Lớp 9, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov. Sách bài tập, máy chiếu để thực hiện các phép tính nhẩm, bản in bài tập bổ sung cho học sinh khá. Hỗ trợ bổ sung về phương pháp và mô phạm cho bài học (có thể liên kết đến các nguồn Internet): 1. Cẩm nang N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova “Hình thành kỹ năng tính toán trong các bài toán, lớp 5-9” 2.G.G. Levitas “Chính tả toán học” lớp 7-11.3. TG. Gulin “Mô phỏng toán học” 5-11 (4 cấp độ khó) Giáo viên toán: Zvereva L.P. Bài số 2 Mục tiêu: Phát triển kỹ năng giải hệ bất phương trình hữu tỉ bằng cách giải thích hình học để minh họa kết quả giải. Tiến độ bài học 1. Tổ chức: Tổ chức lớp học, truyền đạt chủ đề, mục đích bài học 11 Kiểm tra bài tập về nhà 1. Phần lý thuyết: * Thế nào là bài phân tích? bất bình đẳng hợp lý* Hồ sơ phân tích hệ bất phương trình hữu tỉ là gì * Ý nghĩa của việc giải hệ bất phương trình hữu tỉ * Kết quả của việc giải hệ bất phương trình hữu tỉ là gì. 2. Phần thực hành: *Giải các bài toán trên bảng gây khó khăn cho học sinh. Trong khi làm bài tập II1 Làm bài tập. 1. Lặp lại các phương pháp phân tích đa thức. 2. Nhắc lại phương pháp khoảng để giải bất đẳng thức. 3. Giải hệ. Giải pháp do học sinh mạnh dẫn dắt lên bảng dưới sự giám sát của giáo viên. 1) Giải bất đẳng thức 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Giải hệ bất phương trình này x> Đáp án: x> 6. Giải câu 4.10 (c) trên bảng và vào vở. Giải bất đẳng thức 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2 thì – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Lặp lại tài liệu đã học trước đó. Giải bài 2.33. Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là x km/h, sau khi giảm vận tốc trở thành (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; thì x2 – 17x + 30 = 0; Đ = 169; x1 = 15; x2 = 2 không thỏa mãn ý nghĩa bài toán. Đáp án: 15 km/h; 12 km/giờ. IV.Kết luận bài học: Trong bài học chúng ta đã học cách giải các hệ bất phương trình phức tạp, đặc biệt bằng mô đun, chúng ta đã thử sức mình với công việc độc lập. Làm dấu. Bài tập về nhà: hoàn thành bài tập số 1 từ số 7 đến số 10 tr. 32–33, Số 4,34 (a; b), Số 4,35 (a; b). Bài 4 Chuẩn bị kiểm tra Mục tiêu: tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu đã học, chuẩn bị cho học sinh kiểm tra chủ đề “Hệ bất đẳng thức hữu tỉ” Tiến trình bài học 1. Thời điểm tổ chức: Tổ chức lớp học, truyền đạt chủ đề, mục tiêu của bài học bài học. 11. Lặp lại tài liệu đã học. * Việc giải hệ bất phương trình có ý nghĩa gì * Kết quả của việc giải hệ bất phương trình hữu tỉ là gì 1. Thu các mảnh giấy từ bài kiểm tra ở nhà của bạn. 2. Những quy tắc nào được sử dụng khi giải bất phương trình? Giải thích nghiệm của bất đẳng thức: a) 3x – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Xây dựng định nghĩa hệ bất phương trình hai biến. Việc giải một hệ bất phương trình có ý nghĩa gì? 5. Phương pháp khoảng được sử dụng tích cực trong việc giải các bất đẳng thức hữu tỉ là gì? Giải thích điều này bằng ví dụ giải bất đẳng thức: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Bài tập huấn luyện. 1. Giải bất đẳng thức: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> – 2. Điều này không tương ứng với nhiệm vụ a) hoặc nhiệm vụ b). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể giả sử rằng p ≠ 2, nghĩa là bất đẳng thức đã cho là bậc hai. a) Bất đẳng thức bậc hai dạng ax2 + bx + c> 0 vô nghiệm nếu a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 thỏa mãn với mọi giá trị của x, nếu a > 0 và D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Tom tăt bai học. Bạn cần xem lại tất cả tài liệu đã học ở nhà và chuẩn bị cho bài kiểm tra. Bài tập về nhà: Câu 1,21 (b; d), Câu 2,15 (c; d); số 4,14 (g), số 4,28 (g); Số 4.19 (a), Số 4.33 (d).
Nhưng ngày nay những bất bình đẳng hợp lý không thể giải quyết được mọi thứ. Chính xác hơn, không chỉ ai cũng có thể quyết định. Rất ít người có thể làm được điều này.
KlitschkoBài học này sẽ khó khăn. Khó đến mức chỉ có Người được chọn mới đi đến cuối cùng. Vì vậy, trước khi bắt đầu đọc, tôi khuyên bạn nên loại bỏ phụ nữ, mèo, trẻ em đang mang thai và... khỏi màn hình.
Thôi nào, nó thực sự đơn giản. Giả sử bạn đã thành thạo phương pháp khoảng (nếu bạn chưa thành thạo, tôi khuyên bạn nên quay lại và đọc nó) và học cách giải bất đẳng thức dạng $P\left(x \right) \gt 0$, trong đó $ P\left(x \right)$ là một đa thức hoặc tích của đa thức.
Tôi tin rằng bạn sẽ không khó để giải quyết, chẳng hạn như một trò chơi như vậy (nhân tiện, hãy thử nó để khởi động):
\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]
Bây giờ chúng ta hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút và xem xét không chỉ các đa thức, mà còn cả cái gọi là phân số hữu tỉ của dạng:
trong đó $P\left(x \right)$ và $Q\left(x \right)$ là các đa thức giống nhau có dạng $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ hoặc tích của các đa thức đó.
Đây sẽ là một bất đẳng thức hợp lý. Điểm cơ bản là sự hiện diện của biến $x$ trong mẫu số. Ví dụ: đây là những bất bình đẳng hợp lý:
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(căn chỉnh)\]
Và đây không phải là bất đẳng thức hợp lý mà là bất đẳng thức phổ biến nhất, được giải bằng phương pháp khoảng:
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
Nhìn về phía trước, tôi sẽ nói ngay: có ít nhất hai cách để giải các bất đẳng thức hữu tỉ, nhưng tất cả chúng, bằng cách này hay cách khác, đều được quy giản thành phương pháp khoảng mà chúng ta đã biết. Vì vậy, trước khi phân tích các phương pháp này, chúng ta hãy nhớ lại những sự thật cũ, nếu không thì tài liệu mới sẽ không có ý nghĩa gì.
Những gì bạn đã cần biết
Không bao giờ có quá nhiều sự thật quan trọng. Chúng tôi thực sự chỉ cần bốn.
Công thức nhân viết tắt
Vâng, vâng: chúng sẽ ám ảnh chúng ta trong suốt chương trình toán ở trường. Và ở trường đại học nữa. Có khá nhiều công thức như vậy nhưng chúng ta chỉ cần những công thức sau:
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\đúng). \\ \end(căn chỉnh)\]
Hãy chú ý đến hai công thức cuối cùng - đây là tổng và hiệu của các lập phương (chứ không phải lập phương của tổng hoặc hiệu!). Chúng rất dễ nhớ nếu bạn nhận thấy rằng dấu trong ngoặc đầu tiên trùng với dấu trong biểu thức ban đầu và trong dấu ngoặc thứ hai thì ngược lại với dấu trong biểu thức ban đầu.
Các phương trình tuyến tính
Đây là những phương trình đơn giản nhất có dạng $ax+b=0$, trong đó $a$ và $b$ là các số bình thường và $a\ne 0$. Phương trình này có thể được giải đơn giản:
\[\begin(căn chỉnh) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(căn chỉnh)\]
Xin lưu ý rằng chúng ta có quyền chia cho hệ số $a$, vì $a\ne 0$. Yêu cầu này khá logic, vì với $a=0$ chúng ta có được điều này:
Đầu tiên, không có biến $x$ trong phương trình này. Nói chung, điều này không nên làm chúng ta bối rối (điều này xảy ra trong hình học và khá thường xuyên), nhưng đây vẫn không còn là một phương trình tuyến tính nữa.
Thứ hai, nghiệm của phương trình này chỉ phụ thuộc vào hệ số $b$. Nếu $b$ cũng bằng 0 thì phương trình của chúng ta có dạng $0=0$. Sự bình đẳng này luôn đúng; điều này có nghĩa $x$ là bất kỳ số nào (thường được viết như thế này: $x\in \mathbb(R)$). Nếu hệ số $b$ không bằng 0 thì đẳng thức $b=0$ không bao giờ được thỏa mãn, tức là. không có câu trả lời nào (viết $x\in \varnothing $ và đọc “bộ giải pháp trống”).
Để tránh tất cả những khó khăn này, chúng ta chỉ cần giả sử $a\ne 0$, điều này hoàn toàn không hạn chế chúng ta suy nghĩ sâu hơn.
phương trình bậc hai
Hãy để tôi nhắc bạn rằng đây là tên gọi của phương trình bậc hai:
Ở đây bên trái là một đa thức bậc hai, và một lần nữa $a\ne 0$ (nếu không, thay vì phương trình bậc hai, chúng ta sẽ nhận được một phương trình tuyến tính). Các phương trình sau được giải bằng cách phân biệt:
- Nếu $D \gt 0$, chúng ta có hai nghiệm khác nhau;
- Nếu $D=0$, thì sẽ có một nghiệm, nhưng có bội số thứ hai (đây là loại bội số nào và cách tính đến nó - sẽ nói thêm về điều đó sau). Hoặc chúng ta có thể nói rằng phương trình có hai nghiệm giống nhau;
- Đối với $D \lt 0$ không có nghiệm nào cả, và dấu của đa thức $a((x)^(2))+bx+c$ với mọi $x$ trùng với dấu của hệ số $a $. Nhân tiện, đây là một thực tế rất hữu ích mà vì lý do nào đó mà họ quên nói đến trong các bài học đại số.
Bản thân các gốc được tính bằng công thức nổi tiếng:
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
Do đó, nhân tiện, những hạn chế đối với người phân biệt đối xử. Rốt cuộc, căn bậc hai của số âm không tồn tại. Nhiều học sinh có một mớ hỗn độn khủng khiếp trong đầu về căn số, vì vậy tôi đã đặc biệt viết ra cả một bài học: căn số trong đại số là gì và cách tính nó - tôi thực sự khuyên bạn nên đọc nó. :)
Các phép toán với phân số hữu tỷ
Bạn đã biết mọi thứ được viết ở trên nếu bạn đã nghiên cứu phương pháp ngắt quãng. Nhưng những gì chúng ta sẽ phân tích bây giờ không có điểm tương đồng trong quá khứ - đây là một thực tế hoàn toàn mới.
Sự định nghĩa. Phân số hữu tỉ là biểu thức có dạng
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]
trong đó $P\left(x \right)$ và $Q\left(x \right)$ là các đa thức.
Rõ ràng, rất dễ nhận được bất đẳng thức từ một phân số như vậy—bạn chỉ cần thêm dấu “lớn hơn” hoặc “nhỏ hơn” vào bên phải. Và xa hơn một chút, chúng ta sẽ phát hiện ra rằng giải quyết những vấn đề như vậy là một niềm vui, mọi thứ đều rất đơn giản.
Vấn đề bắt đầu khi có một số phân số như vậy trong một biểu thức. Chúng phải được đưa về một mẫu số chung - và chính tại thời điểm này, một số lượng lớn các sai lầm tấn công đã được mắc phải.
Vì vậy, để giải thành công phương trình hữu tỉ, bạn cần nắm vững hai kỹ năng:
- Phân tích đa thức $P\left(x \right)$;
- Thực ra là đưa phân số về mẫu số chung.
Làm thế nào để phân tích một đa thức? Rất đơn giản. Cho ta có một đa thức có dạng
Chúng tôi đánh đồng nó bằng không. Chúng ta thu được phương trình bậc $n$:
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Giả sử chúng ta đã giải phương trình này và có nghiệm $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (đừng lo lắng: trong hầu hết các trường hợp sẽ có không quá hai trong số các gốc này). Trong trường hợp này, đa thức ban đầu của chúng ta có thể được viết lại như sau:
\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(căn chỉnh)\]
Đó là tất cả! Xin lưu ý: hệ số dẫn đầu $((a)_(n))$ chưa biến mất ở bất cứ đâu - nó sẽ là một số nhân riêng biệt ở phía trước dấu ngoặc và nếu cần, nó có thể được chèn vào bất kỳ dấu ngoặc nào (thực hành cho thấy rằng với $((a)_ (n))\ne \pm 1$ hầu như luôn có các phân số giữa các nghiệm).
Nhiệm vụ. Đơn giản hóa biểu thức:
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]
Giải pháp. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét các mẫu số: chúng đều là các nhị thức tuyến tính và không có yếu tố nào ở đây. Vì vậy, hãy phân tích các tử số:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(căn chỉnh)\]
Xin lưu ý: trong đa thức thứ hai, hệ số dẫn đầu “2”, hoàn toàn theo sơ đồ của chúng tôi, lần đầu tiên xuất hiện ở phía trước dấu ngoặc và sau đó được đưa vào dấu ngoặc đầu tiên, vì phân số xuất hiện ở đó.
Điều tương tự cũng xảy ra ở đa thức thứ ba, chỉ có điều ở đó thứ tự của các số hạng cũng bị đảo ngược. Tuy nhiên, hệ số “−5” cuối cùng lại được đưa vào dấu ngoặc thứ hai (hãy nhớ: bạn có thể nhập hệ số vào một và chỉ một dấu ngoặc!), điều này giúp chúng ta tránh khỏi sự bất tiện liên quan đến các nghiệm phân số.
Đối với đa thức thứ nhất, mọi thứ đều đơn giản: nghiệm của nó được tìm kiếm một cách tiêu chuẩn thông qua phân biệt hoặc sử dụng định lý Vieta.
Hãy quay lại biểu thức ban đầu và viết lại nó với các tử số được phân tích thành nhân tử:
\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(ma trận)\]
Đáp án: $5x+4$.
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp. Một chút toán lớp 7-8 là xong. Mục đích của tất cả các phép biến đổi là tạo ra thứ gì đó đơn giản và dễ thực hiện từ một biểu thức phức tạp và đáng sợ.
Tuy nhiên, điều này sẽ không luôn luôn như vậy. Vì vậy bây giờ chúng ta sẽ xem xét một vấn đề nghiêm trọng hơn.
Nhưng trước tiên, hãy tìm cách đưa hai phân số về mẫu số chung. Thuật toán cực kỳ đơn giản:
- Thừa số cả hai mẫu số;
- Hãy xem xét mẫu số thứ nhất và thêm vào đó các yếu tố có ở mẫu số thứ hai, nhưng không có ở mẫu số thứ nhất. Sản phẩm thu được sẽ là mẫu số chung;
- Tìm xem mỗi phân số ban đầu còn thiếu những thừa số nào để mẫu số bằng mẫu số chung.
Đối với bạn, thuật toán này có vẻ chỉ thích nhắn tin với “rất nhiều chữ cái”. Do đó, hãy xem xét mọi thứ bằng một ví dụ cụ thể.
Nhiệm vụ. Đơn giản hóa biểu thức:
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Giải pháp. Tốt hơn là giải quyết các vấn đề quy mô lớn như vậy theo từng phần. Hãy viết ra những gì trong ngoặc đầu tiên:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Không giống như vấn đề trước, ở đây mẫu số không đơn giản như vậy. Hãy tính từng yếu tố trong số đó.
Tam thức bình phương $((x)^(2))+2x+4$ không thể phân tích thành nhân tử, vì phương trình $((x)^(2))+2x+4=0$ không có nghiệm (phân biệt số âm ). Chúng tôi để nó không thay đổi.
Mẫu số thứ hai - đa thức bậc ba $((x)^(3))-8$ - khi kiểm tra cẩn thận là hiệu của các lập phương và có thể dễ dàng khai triển bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]
Không có gì khác có thể được phân tích thành nhân tử, vì trong ngoặc đầu tiên có nhị thức tuyến tính, và trong ngoặc thứ hai có một cấu trúc đã quen thuộc với chúng ta, không có gốc thực sự.
Cuối cùng, mẫu số thứ ba là nhị thức tuyến tính không thể khai triển được. Do đó, phương trình của chúng ta sẽ có dạng:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]
Một điều khá rõ ràng là mẫu số chung sẽ chính xác là $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, và rút gọn tất cả các phân số về nó cần phải nhân phân số đầu tiên trên $\left(x-2 \right)$ và phân số cuối cùng - trên $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Sau đó, tất cả những gì còn lại là đưa ra những cái tương tự:
\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(ma trận)\]
Hãy chú ý đến dòng thứ hai: khi mẫu số đã chung, tức là. Thay vì ba phân số riêng biệt, chúng tôi đã viết một phân số lớn, bạn không nên bỏ dấu ngoặc đơn ngay lập tức. Tốt hơn hết bạn nên viết thêm một dòng và lưu ý rằng, chẳng hạn, có một dấu trừ trước phân số thứ ba - và nó sẽ không đi đến đâu mà sẽ “treo” vào tử số phía trước dấu ngoặc. Điều này sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều sai lầm.
Chà, ở dòng cuối cùng, việc phân tích tử số là hữu ích. Hơn nữa, đây là một bình phương chính xác và các công thức nhân rút gọn một lần nữa lại hỗ trợ chúng ta. Chúng ta có:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Bây giờ hãy xử lý khung thứ hai theo cách tương tự. Ở đây tôi sẽ chỉ viết một chuỗi các đẳng thức:
\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(ma trận)\]
Hãy quay lại vấn đề ban đầu và nhìn vào sản phẩm:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Trả lời: \[\frac(1)(x+2)\].
Ý nghĩa của nhiệm vụ này cũng giống như nhiệm vụ trước: chỉ ra cách đơn giản hóa các biểu thức hữu tỉ nếu bạn tiếp cận sự biến đổi của chúng một cách khôn ngoan.
Và bây giờ bạn đã biết tất cả những điều này, chúng ta hãy chuyển sang chủ đề chính của bài học hôm nay - giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Hơn nữa, sau khi chuẩn bị như vậy, bạn sẽ tự mình giải quyết được những bất bình đẳng. :)
Phương pháp cơ bản để giải bất đẳng thức hợp lý
Có ít nhất hai cách tiếp cận để giải bất đẳng thức hữu tỉ. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trong số chúng - một trong số đó thường được chấp nhận trong khóa học toán ở trường.
Nhưng trước tiên, hãy lưu ý một chi tiết quan trọng. Tất cả các bất bình đẳng được chia thành hai loại:
- Nghiêm ngặt: $f\left(x \right) \gt 0$ hoặc $f\left(x \right) \lt 0$;
- Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ hoặc $f\left(x \right)\le 0$.
Bất đẳng thức loại thứ hai có thể dễ dàng quy về loại thứ nhất, cũng như phương trình:
“Phép cộng” nhỏ $f\left(x \right)=0$ này dẫn đến một điều khó chịu là điểm được lấp đầy - chúng ta đã làm quen với chúng trong phương pháp khoảng. Mặt khác, không có sự khác biệt giữa bất đẳng thức nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt, vì vậy hãy xem xét thuật toán phổ quát:
- Tập hợp tất cả các phần tử khác 0 về một phía của dấu bất đẳng thức. Ví dụ, ở bên trái;
- Quy đổi tất cả các phân số về mẫu số chung (nếu có nhiều phân số như vậy), mang những phân số tương tự. Sau đó, nếu có thể, hãy phân tích tử số và mẫu số. Bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức có dạng $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, trong đó “tick” là dấu bất đẳng thức .
- Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0: $P\left(x \right)=0$. Chúng ta giải phương trình này và nhận được các nghiệm $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sau đó, chúng ta yêu cầu rằng mẫu số không bằng 0: $Q\left(x \right)\ne 0$. Tất nhiên, về bản chất, chúng ta phải giải phương trình $Q\left(x \right)=0$, và chúng ta thu được nghiệm $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (trong các bài toán thực tế sẽ khó có nhiều hơn ba nghiệm như vậy).
- Chúng tôi đánh dấu tất cả các gốc này (cả có và không có dấu hoa thị) trên một dòng số duy nhất, và các gốc không có ngôi sao được sơn đè lên, còn những gốc có ngôi sao thì bị thủng.
- Chúng tôi đặt các dấu “cộng” và “trừ”, chọn các khoảng mà chúng tôi cần. Nếu bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \gt 0$, thì câu trả lời sẽ là các khoảng được đánh dấu bằng dấu “cộng”. Nếu $f\left(x \right) \lt 0$, thì chúng ta xem xét các khoảng có “điểm trừ”.
Thực tiễn cho thấy những khó khăn lớn nhất là do điểm 2 và 4 - các phép biến đổi thành thạo và việc sắp xếp chính xác các số theo thứ tự tăng dần. Chà, ở bước cuối cùng, hãy cực kỳ cẩn thận: chúng tôi luôn đặt các biển báo dựa trên bất đẳng thức cuối cùng được viết trước khi chuyển sang các phương trình. Đây là một quy tắc phổ quát, được kế thừa từ phương pháp khoảng.
Vì vậy, có một kế hoạch. Hãy cùng luyện tập.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Giải pháp. Chúng ta có một bất đẳng thức nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right) \lt 0$. Rõ ràng, điểm 1 và 2 trong sơ đồ của chúng tôi đã được đáp ứng: tất cả các yếu tố bất bình đẳng được thu thập ở bên trái, không cần phải đưa bất cứ thứ gì về mẫu số chung. Vì vậy, hãy chuyển thẳng đến điểm thứ ba.
Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:
\[\begin(căn chỉnh) & x-3=0; \\ & x=3. \end(căn chỉnh)\]
Và mẫu số:
\[\begin(căn chỉnh) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đây là lúc nhiều người gặp khó khăn, vì về lý thuyết, bạn cần phải viết $x+7\ne 0$, theo yêu cầu của ODZ (bạn không thể chia cho 0, chỉ vậy thôi). Nhưng trong tương lai, chúng tôi sẽ chọn ra các điểm đến từ mẫu số, vì vậy bạn không cần phải phức tạp hóa phép tính của mình nữa - hãy viết dấu bằng ở mọi nơi và đừng lo lắng. Không ai sẽ trừ điểm cho việc này. :)
Điểm thứ tư. Chúng tôi đánh dấu các gốc kết quả trên dòng số:
Tất cả các điểm đều được ghim ra, vì bất đẳng thức là nghiêm ngặt
Ghi chú: tất cả các điểm đều được ghim ra, vì bất đẳng thức ban đầu là nghiêm ngặt. Và ở đây không quan trọng những điểm này đến từ tử số hay mẫu số.
Vâng, chúng ta hãy nhìn vào các dấu hiệu. Hãy lấy bất kỳ số nào $((x)_(0)) \gt 3$. Ví dụ: $((x)_(0))=100$ (nhưng với cùng thành công, người ta có thể lấy $((x)_(0))=3.1$ hoặc $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). Chúng tôi nhận được:
Vì vậy, ở bên phải của tất cả các nghiệm chúng ta có một vùng dương. Và khi đi qua từng gốc, dấu sẽ thay đổi (điều này không phải lúc nào cũng đúng, nhưng sẽ nói thêm về điều đó sau). Do đó, hãy chuyển sang điểm thứ năm: sắp xếp các dấu hiệu và chọn cái bạn cần:
Hãy quay lại bất đẳng thức cuối cùng trước khi giải phương trình. Trên thực tế, nó trùng khớp với bản gốc vì chúng tôi không thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào trong nhiệm vụ này.
Vì chúng ta cần giải bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \lt 0$, tôi đã tô màu khoảng $x\in \left(-7;3 \right)$ - đó là khoảng duy nhất được đánh dấu bằng dấu trừ. Đây là câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(-7;3 \right)$
Đó là tất cả! Là khó khăn? Không, nó không khó. Đúng là nhiệm vụ này rất dễ dàng. Bây giờ chúng ta hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút và xem xét một bất đẳng thức “phức tạp” hơn. Khi giải, tôi sẽ không đưa ra những tính toán chi tiết như vậy nữa - tôi chỉ phác thảo những điểm chính. Nói chung, chúng tôi sẽ định dạng nó giống như cách chúng tôi định dạng nó trong quá trình làm việc độc lập hoặc trong kỳ thi. :)
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]
Giải pháp. Đây là một bất đẳng thức không nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right)\ge 0$. Tất cả các phần tử khác 0 được thu thập ở bên trái, không có mẫu số khác nhau. Hãy chuyển sang các phương trình.
Tử số:
\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(căn chỉnh)\]
Mẫu số:
\[\begin(căn chỉnh) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(căn chỉnh)\]
Tôi không biết loại kẻ biến thái nào đã tạo ra vấn đề này, nhưng gốc rễ của nó không được tốt lắm: sẽ rất khó để đặt chúng trên trục số. Và nếu với gốc $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ mọi thứ ít nhiều rõ ràng (đây là số dương duy nhất - nó sẽ ở bên phải), thì $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ và $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ yêu cầu nghiên cứu bổ sung: cái nào lớn hơn?
Bạn có thể tìm ra điều này, ví dụ như thế này:
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]
Tôi hy vọng không cần phải giải thích tại sao phân số $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Nếu cần, tôi khuyên bạn nên nhớ cách thực hiện các phép tính với phân số.
Và chúng ta đánh dấu cả ba gốc trên trục số:
Điền dấu chấm ở tử số, chấm dấu chấm ở mẫu số Chúng tôi đang đặt các dấu hiệu. Ví dụ: bạn có thể lấy $((x)_(0))=1$ và tìm ra dấu hiệu tại thời điểm này:
\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]
Bất đẳng thức cuối cùng trước các phương trình là $f\left(x \right)\ge 0$, vì vậy chúng ta quan tâm đến dấu cộng.
Chúng ta có hai bộ: một là đoạn thông thường, và một là tia hở trên trục số.
Trả lời: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Một lưu ý quan trọng về các số mà chúng ta thay thế để tìm dấu ở khoảng ngoài cùng bên phải. Hoàn toàn không cần thiết phải thay thế số gần gốc ngoài cùng bên phải nhất. Bạn có thể lấy hàng tỷ hoặc thậm chí cộng vô cực - trong trường hợp này, dấu của đa thức trong ngoặc, tử số hoặc mẫu số, chỉ được xác định bằng dấu của hệ số dẫn đầu.
Chúng ta hãy xem lại hàm $f\left(x \right)$ từ bất đẳng thức cuối cùng:
Ký hiệu của nó chứa ba đa thức:
\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(căn chỉnh)\]
Tất cả chúng đều là nhị thức tuyến tính và tất cả các hệ số dẫn đầu của chúng (số 7, 11 và 13) đều dương. Do đó, khi thay số rất lớn thì bản thân đa thức cũng sẽ dương. :)
Quy tắc này có vẻ quá phức tạp, nhưng chỉ lúc đầu khi chúng ta phân tích những bài toán rất dễ. Trong những bất đẳng thức nghiêm trọng, việc thay thế “cộng vô cực” sẽ cho phép chúng ta tìm ra dấu nhanh hơn nhiều so với $((x)_(0))=100$ tiêu chuẩn.
Chúng ta sẽ sớm phải đối mặt với những thách thức như vậy. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy xem xét một cách khác để giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số.
Thay đổi phương pháp
Kỹ thuật này được một học trò của tôi gợi ý cho tôi. Bản thân tôi chưa bao giờ sử dụng nhưng thực tế cho thấy nhiều học sinh thực sự thấy giải bất phương trình theo cách này thuận tiện hơn.
Vì vậy, dữ liệu ban đầu là như nhau. Chúng ta cần giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số:
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]
Hãy nghĩ xem: tại sao đa thức $Q\left(x \right)$ lại “xấu” hơn đa thức $P\left(x \right)$? Tại sao chúng ta phải xem xét các nhóm gốc riêng biệt (có và không có dấu hoa thị), nghĩ đến các điểm bị thủng, v.v.? Thật đơn giản: một phân số có một miền định nghĩa, theo đó phân số chỉ có ý nghĩa khi mẫu số của nó khác 0.
Mặt khác, không có sự khác biệt giữa tử số và mẫu số: chúng ta cũng đánh đồng nó bằng 0, tìm các nghiệm, sau đó đánh dấu chúng trên trục số. Vậy tại sao không thay thế dòng phân số (trên thực tế là dấu chia) bằng phép nhân thông thường và viết ra tất cả các yêu cầu của ODZ dưới dạng bất đẳng thức riêng biệt? Ví dụ như thế này:
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
Xin lưu ý: cách tiếp cận này sẽ chuyển vấn đề về phương pháp khoảng, nhưng sẽ không làm phức tạp lời giải. Rốt cuộc, chúng ta vẫn sẽ đánh đồng đa thức $Q\left(x \right)$ bằng 0.
Hãy xem cách này hoạt động như thế nào trên các vấn đề thực tế.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Giải pháp. Vì vậy, hãy chuyển sang phương pháp khoảng:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
Bất đẳng thức thứ nhất có thể được giải một cách cơ bản. Chúng tôi chỉ đơn giản đánh đồng mỗi dấu ngoặc bằng 0:
\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(căn chỉnh)\]
Bất đẳng thức thứ hai cũng đơn giản:
Đánh dấu các điểm $((x)_(1))$ và $((x)_(2))$ trên trục số. Tất cả đều bị loại vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt:
Điểm bên phải đã bị khoét ra hai lần. Điều này ổn.Hãy chú ý đến điểm $x=11$. Thì ra là “bị thủng kép”: một mặt, chúng ta châm chọc nó vì mức độ nghiêm trọng của sự bất bình đẳng, mặt khác vì yêu cầu bổ sung của DL.
Trong mọi trường hợp, nó sẽ chỉ là một điểm bị thủng. Do đó, chúng tôi sắp xếp các dấu hiệu cho bất đẳng thức $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - dấu cuối cùng chúng tôi thấy trước khi bắt đầu giải phương trình:
Chúng tôi quan tâm đến các vùng dương, vì chúng tôi đang giải bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \gt 0$ - chúng tôi sẽ tô màu chúng. Tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời.
Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
Lấy giải pháp này làm ví dụ, tôi muốn cảnh báo bạn về một sai lầm phổ biến ở những học sinh mới bắt đầu. Cụ thể: không bao giờ mở ngoặc trong bất đẳng thức! Ngược lại, hãy cố gắng tính đến mọi yếu tố - điều này sẽ đơn giản hóa giải pháp và giúp bạn tránh khỏi nhiều vấn đề.
Bây giờ hãy thử một cái gì đó phức tạp hơn.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]
Giải pháp. Đây là một bất đẳng thức không nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right)\le 0$, vì vậy ở đây bạn cần chú ý đến các điểm được tô bóng.
Hãy chuyển sang phương pháp khoảng:
\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
Chúng ta hãy đi đến phương trình:
\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi tính đến yêu cầu bổ sung:
Chúng tôi đánh dấu tất cả các gốc kết quả trên dòng số:
Nếu một điểm vừa bị thủng vừa bị lấp thì coi là bị thủngMột lần nữa, hai điểm “chồng lên nhau” - điều này là bình thường, nó sẽ luôn như vậy. Điều quan trọng là phải hiểu rằng một điểm được đánh dấu vừa bị thủng vừa được sơn đè lên thực chất là một điểm bị thủng. Những thứ kia. “chích” là một hành động mạnh hơn “vẽ tranh”.
Điều này hoàn toàn hợp lý, bởi vì bằng cách chụm chúng ta đánh dấu các điểm ảnh hưởng đến dấu của hàm nhưng bản thân chúng không tham gia vào câu trả lời. Và nếu tại một thời điểm nào đó, con số đó không còn phù hợp với chúng tôi nữa (ví dụ: nó không rơi vào ODZ), chúng tôi sẽ gạch bỏ nó từ khi xem xét cho đến khi kết thúc nhiệm vụ.
Nói chung, hãy ngừng triết lý. Chúng tôi đặt các dấu hiệu và vẽ lên những khoảng được đánh dấu bằng dấu trừ:
Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.
Và một lần nữa tôi muốn bạn chú ý đến phương trình này:
\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]
Một lần nữa: đừng bao giờ mở ngoặc trong những phương trình như vậy! Bạn sẽ chỉ làm mọi việc trở nên khó khăn hơn cho chính mình. Hãy nhớ: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Do đó, phương trình này chỉ đơn giản là “phân rã” thành nhiều phương trình nhỏ hơn mà chúng ta đã giải trong bài toán trước.
Có tính đến sự đa dạng của rễ
Từ các bài toán trước, dễ dàng nhận thấy rằng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt là khó nhất, vì trong chúng bạn phải theo dõi các điểm tô đậm.
Nhưng có một tội ác còn lớn hơn trên thế giới - đây là nguồn gốc của sự bất bình đẳng. Ở đây bạn không còn phải theo dõi một số dấu chấm được tô bóng - ở đây dấu bất đẳng thức có thể không thay đổi đột ngột khi đi qua chính những dấu chấm này.
Chúng ta chưa xem xét bất cứ điều gì như thế này trong bài học này (mặc dù vấn đề tương tự thường gặp phải trong phương pháp khoảng). Vì vậy, chúng tôi đưa ra một định nghĩa mới:
Sự định nghĩa. Căn nguyên của phương trình $((\left(x-a \right))^(n))=0$ bằng $x=a$ và được gọi là nghiệm của bội số thứ $n$.
Thực ra, chúng ta không đặc biệt quan tâm đến giá trị chính xác của bội số. Điều duy nhất quan trọng là số $n$ này là chẵn hay lẻ. Bởi vì:
- Nếu $x=a$ là nghiệm của bội số chẵn thì dấu của hàm số không thay đổi khi đi qua nó;
- Và ngược lại, nếu $x=a$ là nghiệm của bội lẻ thì dấu của hàm số sẽ thay đổi.
Tất cả các bài toán trước được thảo luận trong bài học này là trường hợp đặc biệt của nghiệm của bội số lẻ: mọi nơi bội số đều bằng một.
Và xa hơn. Trước khi chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề, tôi muốn bạn chú ý đến một sự tinh tế có vẻ hiển nhiên đối với một học sinh có kinh nghiệm, nhưng lại khiến nhiều người mới bắt đầu rơi vào trạng thái sững sờ. Cụ thể là:
Căn nguyên của bội số $n$ chỉ phát sinh trong trường hợp khi toàn bộ biểu thức được nâng lên lũy thừa này: $((\left(x-a \right))^(n))$, chứ không phải $\left(((x) ^( n))-a \right)$.
Một lần nữa: dấu ngoặc $((\left(x-a \right))^(n))$ cho chúng ta gốc $x=a$ của bội số $n$, nhưng dấu ngoặc $\left(((x)^( n)) -a \right)$ hoặc, như thường lệ, $(a-((x)^(n)))$ cho chúng ta một nghiệm (hoặc hai nghiệm, nếu $n$ là số chẵn) của bội số đầu tiên , bất kể giá trị bằng $n$ là bao nhiêu.
So sánh:
\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]
Ở đây mọi thứ đều rõ ràng: toàn bộ dấu ngoặc được nâng lên lũy thừa thứ năm, vì vậy kết quả đầu ra chúng ta nhận được là căn của lũy thừa thứ năm. Và bây giờ:
\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]
Chúng ta có hai nghiệm, nhưng cả hai đều có bội số thứ nhất. Hoặc đây là một cái khác:
\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
Và đừng để mức độ thứ mười làm phiền bạn. Điều chính là 10 là một số chẵn, vì vậy ở đầu ra chúng ta có hai gốc và cả hai đều có bội số đầu tiên.
Nói chung, hãy cẩn thận: bội số chỉ xảy ra khi mức độ đề cập đến toàn bộ dấu ngoặc đơn, không chỉ biến.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]
Giải pháp. Hãy thử giải quyết nó theo một cách khác - thông qua việc chuyển từ thương sang tích:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(căn chỉnh )\Phải.\]
Hãy giải quyết bất đẳng thức đầu tiên bằng phương pháp khoảng:
\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]
Ngoài ra, chúng tôi giải quyết bất đẳng thức thứ hai. Trên thực tế, chúng tôi đã giải quyết nó rồi, nhưng để người đánh giá không tìm thấy lỗi trong giải pháp, tốt hơn hết là giải quyết lại:
\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]
Xin lưu ý: không có bội số trong bất đẳng thức cuối cùng. Trên thực tế: có bao nhiêu lần bạn gạch bỏ điểm $x=-7$ trên trục số? Ít nhất một lần, ít nhất năm lần, kết quả đều giống nhau: bị thủng một điểm.
Hãy đánh dấu mọi thứ chúng ta có trên trục số:
Như tôi đã nói, điểm $x=-7$ cuối cùng sẽ bị thủng. Các bội số được sắp xếp dựa trên việc giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng.
Tất cả những gì còn lại là đặt các biển báo:
Vì điểm $x=0$ là nghiệm của bội số chẵn nên dấu không thay đổi khi đi qua nó. Các điểm còn lại có bội số lẻ và mọi thứ đều đơn giản với chúng.
Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Một lần nữa, hãy chú ý đến $x=0$. Do tính đa dạng đồng đều, một hiệu ứng thú vị sẽ nảy sinh: mọi thứ ở bên trái của nó đều được sơn lên, mọi thứ ở bên phải cũng được sơn lên và bản thân điểm đó cũng được sơn lên hoàn toàn.
Nhờ đó, không cần phải cách ly khi ghi đáp án. Những thứ kia. không cần phải viết một cái gì đó như $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (mặc dù về mặt chính thức một câu trả lời như vậy cũng sẽ đúng). Thay vào đó, chúng ta viết ngay $x\in \left[ -4;6 \right]$.
Những hiệu ứng như vậy chỉ có thể xảy ra với những gốc có số bội chẵn. Và ở bài toán tiếp theo chúng ta sẽ gặp “biểu hiện” ngược của hiệu ứng này. Sẵn sàng?
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]
Giải pháp. Lần này chúng ta sẽ làm theo sơ đồ tiêu chuẩn. Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:
\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(căn chỉnh)\]
Và mẫu số:
\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(căn chỉnh)\]
Vì chúng ta đang giải một bất đẳng thức không nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right)\ge 0$, nên các nghiệm từ mẫu số (có dấu hoa thị) sẽ bị loại bỏ và các nghiệm từ tử số sẽ được tô bóng.
Chúng tôi đặt các biển báo và tô màu các khu vực được đánh dấu bằng dấu “cộng”:
Điểm $x=3$ bị cô lập. Đây là một phần của câu trả lời Trước khi viết ra câu trả lời cuối cùng, chúng ta hãy nhìn kỹ vào bức tranh:
- Điểm $x=1$ có bội số chẵn, nhưng bản thân nó bị thủng. Do đó, nó sẽ phải được tách biệt trong câu trả lời: bạn cần phải viết $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ chứ không phải $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
- Điểm $x=3$ cũng có bội số chẵn và được tô bóng. Việc sắp xếp các biển báo cho thấy rằng bản thân điểm đó phù hợp với chúng ta, nhưng chỉ cần bước sang trái hoặc phải - và chúng ta thấy mình đang ở trong một khu vực chắc chắn không phù hợp với mình. Những điểm như vậy được gọi là điểm cô lập và được viết dưới dạng $x\in \left\( 3 \right\)$.
Chúng tôi kết hợp tất cả các phần nhận được thành một bộ chung và viết ra câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Sự định nghĩa. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh tập này rỗng.
Có vẻ như: điều gì có thể khó hiểu ở đây? Đúng, thực tế của vấn đề là các tập hợp có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Hãy viết lại câu trả lời cho vấn đề cuối cùng:
Chúng tôi thực sự đọc những gì được viết. Biến “x” thuộc về một tập hợp nhất định, có được bằng cách kết hợp (dấu “U”) bốn tập hợp riêng biệt:
- Khoảng $\left(-\infty ;1 \right)$, có nghĩa đen là “tất cả các số nhỏ hơn một, nhưng không phải chính đơn vị”;
- Khoảng $\left(1;2 \right)$, tức là “tất cả các số trong phạm vi từ 1 đến 2, nhưng không phải chính các số 1 và 2”;
- Tập hợp $\left\( 3 \right\)$, bao gồm một số duy nhất - ba;
- Khoảng $\left[ 4;5 \right)$ chứa tất cả các số trong phạm vi từ 4 đến 5, cũng như chính số bốn, nhưng không chứa số năm.
Điểm thứ ba đáng quan tâm ở đây. Không giống như các khoảng, xác định các tập hợp số vô hạn và chỉ biểu thị ranh giới của các tập hợp này, tập hợp $\left\( 3 \right\)$ chỉ định rõ ràng một số bằng cách liệt kê.
Để hiểu rằng chúng tôi đang liệt kê các số cụ thể có trong tập hợp (và không đặt ranh giới hoặc bất kỳ thứ gì khác), dấu ngoặc nhọn được sử dụng. Ví dụ: ký hiệu $\left\( 1;2 \right\)$ có nghĩa chính xác là “một tập hợp gồm hai số: 1 và 2,” nhưng không phải là một phân đoạn từ 1 đến 2. Đừng nhầm lẫn các khái niệm này trong bất kỳ trường hợp nào .
Quy tắc cộng bội số
Chà, ở cuối bài học hôm nay, một chút tin tức từ Pavel Berdov. :)
Những học sinh chăm chú có lẽ đã tự hỏi: điều gì sẽ xảy ra nếu tử số và mẫu số có cùng gốc? Vì vậy, quy tắc sau hoạt động:
Sự đa dạng của các gốc giống hệt nhau được thêm vào. Luôn luôn. Ngay cả khi gốc này xuất hiện ở cả tử số và mẫu số.
Đôi khi quyết định còn tốt hơn là nói chuyện. Vì vậy, chúng tôi giải quyết vấn đề sau:
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(căn chỉnh)\]
Cho đến nay, không có gì đặc biệt. Chúng ta đánh đồng mẫu số bằng 0:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(căn chỉnh)\]
Hai nghiệm giống hệt nhau đã được phát hiện: $((x)_(1))=-2$ và $x_(4)^(*)=-2$. Cả hai đều có bội số thứ nhất. Do đó, chúng ta thay thế chúng bằng một nghiệm $x_(4)^(*)=-2$, nhưng có bội số là 1+1=2.
Ngoài ra, còn có các nghiệm giống nhau: $((x)_(2))=-4$ và $x_(2)^(*)=-4$. Chúng cũng thuộc bội số đầu tiên, vì vậy chỉ $x_(2)^(*)=-4$ của bội số 1+1=2 sẽ còn lại.
Xin lưu ý: trong cả hai trường hợp, chúng tôi đã để lại chính xác phần gốc "bị cắt bỏ" và loại bỏ phần gốc "được sơn đè lên". Bởi vì ngay từ đầu bài, chúng ta đã thống nhất: nếu một điểm vừa được đục lỗ vừa được tô đè cùng một lúc thì chúng ta vẫn coi đó là bị đục lỗ.
Kết quả là chúng ta có bốn gốc và tất cả chúng đều bị cắt bỏ:
\[\begin(căn chỉnh) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi đánh dấu chúng trên dòng số, có tính đến bội số:
Chúng tôi đặt các biển báo và sơn lên các khu vực mà chúng tôi quan tâm:
Tất cả. Không có điểm cô lập hoặc những đồi trụy khác. Bạn có thể viết ra câu trả lời.
Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Quy tắc nhân bội số
Đôi khi một tình huống thậm chí còn khó chịu hơn xảy ra: một phương trình có nhiều nghiệm được nâng lên một lũy thừa nhất định. Trong trường hợp này, bội số của tất cả các nghiệm ban đầu thay đổi.
Điều này hiếm khi xảy ra nên hầu hết học sinh không có kinh nghiệm giải những bài toán như vậy. Và quy tắc ở đây là:
Khi một phương trình được nâng lên lũy thừa $n$, bội số của tất cả các nghiệm của nó cũng tăng $n$ lần.
Nói cách khác, việc nâng lũy thừa sẽ dẫn đến việc nhân các bội số với cùng một lũy thừa. Hãy xem quy tắc này bằng một ví dụ:
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]
Giải pháp. Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:
Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Mọi thứ đều rõ ràng với yếu tố đầu tiên: $x=0$. Nhưng rồi vấn đề bắt đầu:
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]
Như chúng ta thấy, phương trình $((x)^(2))-6x+9=0$ có một nghiệm duy nhất của bội số thứ hai: $x=3$. Toàn bộ phương trình này sau đó được bình phương. Do đó, bội số của nghiệm sẽ là $2\cdot 2=4$, đó là những gì cuối cùng chúng ta đã viết ra.
\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]
Không có vấn đề gì với mẫu số:
\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]
Tổng cộng, chúng tôi có năm chấm: hai chấm thủng và ba chấm sơn. Không có nghiệm nào trùng nhau ở tử số và mẫu số nên ta chỉ đánh dấu chúng trên trục số:
Chúng tôi sắp xếp các dấu hiệu có tính đến sự đa dạng và vẽ theo các khoảng thời gian mà chúng tôi quan tâm:
Lại một điểm biệt lập và một điểm bị thủng Do nguồn gốc của tính bội số chẵn, chúng ta lại có một vài phần tử “không chuẩn”. Đây là $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, chứ không phải $x\in \left[ 0;2 \right)$, và cũng là một điểm cô lập $ x\in \left\( 3 \right\)$.
Trả lời. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Như bạn có thể thấy, mọi thứ không quá phức tạp. Điều chính là sự chú ý. Phần cuối cùng của bài học này được dành cho các phép biến đổi - những biến đổi tương tự mà chúng ta đã thảo luận ở phần đầu.
Chuyển đổi trước
Những bất đẳng thức mà chúng ta sẽ xem xét trong phần này không thể gọi là phức tạp. Tuy nhiên, không giống như các nhiệm vụ trước, ở đây bạn sẽ phải áp dụng các kỹ năng từ lý thuyết phân số hữu tỷ - phân tích nhân tử và rút gọn về mẫu số chung.
Chúng ta đã thảo luận vấn đề này một cách chi tiết ngay từ đầu bài học hôm nay. Nếu bạn không chắc mình hiểu những gì tôi đang nói, tôi thực sự khuyên bạn nên quay lại và lặp lại nó. Bởi vì việc nhồi nhét các phương pháp giải bất phương trình sẽ chẳng ích gì nếu bạn “thả nổi” trong việc chuyển đổi phân số.
Nhân tiện, trong bài tập về nhà, cũng sẽ có nhiều nhiệm vụ tương tự. Chúng được đặt trong một tiểu mục riêng biệt. Và ở đó bạn sẽ tìm thấy những ví dụ rất không tầm thường. Nhưng điều này sẽ có trong bài tập về nhà, và bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài bất đẳng thức như vậy.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Giải pháp. Di chuyển mọi thứ sang trái:
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Chúng ta rút gọn về mẫu số chung, mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào tử số:
\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ phải))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(căn chỉnh)\]
Bây giờ chúng ta có trước mắt một bất đẳng thức phân số hữu tỉ cổ điển, việc giải nó không còn khó khăn nữa. Tôi đề xuất giải quyết nó bằng một phương pháp thay thế - thông qua phương pháp khoảng:
\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đừng quên ràng buộc xuất phát từ mẫu số:
Chúng tôi đánh dấu tất cả các số và hạn chế trên dòng số:
Tất cả các rễ đều có bội số thứ nhất. Không có gì. Chúng tôi chỉ cần đặt các biển hiệu và sơn lên những khu vực chúng tôi cần:
Đây là tất cả. Bạn có thể viết ra câu trả lời.
Trả lời. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Tất nhiên, đây là một ví dụ rất đơn giản. Vì vậy bây giờ chúng ta hãy xem xét vấn đề một cách nghiêm túc hơn. Và nhân tiện, mức độ của nhiệm vụ này khá phù hợp với bài tập độc lập và bài kiểm tra về chủ đề này ở lớp 8.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Giải pháp. Di chuyển mọi thứ sang trái:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Trước khi đưa cả hai phân số về mẫu số chung, chúng ta hãy phân tích các mẫu số này thành nhân tử. Điều gì sẽ xảy ra nếu các dấu ngoặc tương tự xuất hiện? Với mẫu số đầu tiên thật dễ dàng:
\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]
Cái thứ hai khó hơn một chút. Vui lòng thêm một hệ số không đổi vào dấu ngoặc nơi phân số xuất hiện. Hãy nhớ rằng: đa thức ban đầu có hệ số nguyên, do đó rất có thể hệ số phân tích sẽ có hệ số nguyên (trên thực tế, nó luôn như vậy, trừ khi phân biệt đối xử là vô tỷ).
\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]
Như bạn có thể thấy, có một dấu ngoặc chung: $\left(x-1 \right)$. Chúng ta quay trở lại bất đẳng thức và đưa cả hai phân số về mẫu số chung:
\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2\right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(căn chỉnh)\]
Đặt mẫu số về 0:
\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( căn chỉnh)\]
Không có sự đa dạng và không có gốc rễ trùng hợp. Chúng tôi đánh dấu bốn số trên một đường thẳng:
Chúng tôi đang đặt các dấu hiệu:
Chúng tôi viết ra câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ đúng)$.
Với sự trợ giúp của bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về các bất đẳng thức hữu tỉ và hệ thống của chúng. Hệ bất đẳng thức hữu tỉ được giải bằng các phép biến đổi tương đương. Định nghĩa về sự tương đương được xem xét, phương pháp thay thế bất đẳng thức phân số hợp lý bằng bất đẳng thức bậc hai, đồng thời hiểu được sự khác biệt giữa bất đẳng thức và phương trình cũng như cách thực hiện các phép biến đổi tương đương.
đại số lớp 9
Học lại cuối khóa đại số lớp 9
Bất bình đẳng hợp lý và hệ thống của họ. Hệ thống bất bình đẳng hợp lý.
1.1 Trừu tượng.
1. Các phép biến đổi tương đương của bất đẳng thức hữu tỉ.
Quyết định bất bình đẳng hợp lý có nghĩa là tìm ra tất cả các giải pháp của nó. Không giống như một phương trình, khi giải một bất đẳng thức, theo quy luật, sẽ có vô số nghiệm. Vô số giải pháp không thể được xác minh bằng cách thay thế. Do đó, bạn cần biến đổi bất đẳng thức ban đầu sao cho ở mỗi dòng tiếp theo bạn thu được bất đẳng thức có cùng tập nghiệm.
Bất đẳng thức hợp lý chỉ có thể được giải quyết với sự giúp đỡ tương đương hoặc các phép biến đổi tương đương. Những phép biến đổi như vậy không làm biến dạng tập nghiệm.
Sự định nghĩa. Bất đẳng thức hợp lý gọi điện tương đương, nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau.
Để chỉ ra sự tương đương sử dụng dấu hiệu
2. Giải hệ bất phương trình
Bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai là bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Các phương pháp giải chúng là sự tiếp nối tự nhiên của các phương pháp giải bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai.
Hãy di chuyển các số ở bên phải sang bên trái với dấu ngược lại.
Kết quả là vế phải sẽ giữ nguyên là 0. Phép biến đổi này là tương đương. Điều này được biểu thị bằng dấu hiệu
Hãy thực hiện các hành động mà đại số quy định. Trừ “1” ở bất đẳng thức thứ nhất và “2” ở bất đẳng thức thứ hai.
3. Giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng
1) Hãy giới thiệu một hàm. Chúng ta cần biết khi nào hàm này nhỏ hơn 0.
2) Hãy tìm miền định nghĩa của hàm số: mẫu số không được chứa 0. “2” là điểm ngắt. Tại x=2 hàm số không được xác định.
3) Tìm nghiệm của hàm số. Hàm bằng 0 nếu tử số chứa 0.
Các điểm được đặt chia trục số thành ba khoảng - đây là những khoảng có dấu không đổi. Tại mỗi khoảng hàm số giữ nguyên dấu của nó. Hãy xác định dấu trên khoảng đầu tiên. Hãy thay thế một số giá trị. Ví dụ: 100. Rõ ràng cả tử số và mẫu số đều lớn hơn 0. Điều này có nghĩa là toàn bộ phân số đều dương.
Hãy xác định dấu trên các khoảng còn lại. Khi đi qua điểm x=2 chỉ có mẫu số đổi dấu. Điều này có nghĩa là toàn bộ phân số sẽ đổi dấu và âm. Hãy thực hiện một lý luận tương tự. Khi đi qua điểm x=-3 chỉ có tử số đổi dấu. Điều này có nghĩa là phân số sẽ đổi dấu và dương.
Hãy chọn khoảng tương ứng với điều kiện bất đẳng thức. Hãy tô màu nó và viết nó dưới dạng bất đẳng thức
4. Giải bất đẳng thức bằng bất đẳng thức bậc hai
Sự thật quan trọng.
Khi so sánh với 0 (trong trường hợp bất đẳng thức nghiêm ngặt), phân số có thể được thay thế bằng tích của tử số và mẫu số, hoặc có thể hoán đổi tử số hoặc mẫu số.
Điều này là như vậy bởi vì cả ba bất đẳng thức đều được thỏa mãn với điều kiện u và v khác dấu. Ba bất đẳng thức này là tương đương.
Hãy sử dụng thực tế này và thay thế bất đẳng thức phân số hữu tỷ bằng bất đẳng thức bậc hai.
Hãy giải bất đẳng thức bậc hai.
Hãy giới thiệu một hàm bậc hai. Chúng ta hãy tìm gốc của nó và xây dựng một bản phác thảo đồ thị của nó.
Điều này có nghĩa là các nhánh của parabol hướng lên trên. Trong khoảng các nghiệm, hàm số giữ nguyên dấu của nó. Cô ấy tiêu cực.
Ngoài khoảng cách của các nghiệm thì hàm số dương.
Giải bất đẳng thức thứ nhất:
5. Giải bất đẳng thức
Hãy giới thiệu một chức năng:
Hãy tìm các khoảng dấu không đổi của nó:
Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm các nghiệm và điểm dừng của miền định nghĩa của hàm. Chúng tôi luôn luôn đưa ra những điểm đột phá. (x=3/2) Ta rút ra các nghiệm tùy theo dấu bất đẳng thức. Sự bất bình đẳng của chúng tôi rất nghiêm ngặt. Vì vậy, chúng tôi đào tận gốc.
Hãy đặt các dấu hiệu:
Hãy viết giải pháp:
Hãy kết thúc giải pháp của hệ thống. Hãy tìm giao điểm của tập nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và tập nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.
Giải hệ bất phương trình có nghĩa là tìm giao điểm của tập nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và tập nghiệm của bất đẳng thức thứ hai. Do đó, sau khi giải riêng các bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai, bạn cần viết kết quả thu được vào một hệ.
Chúng ta hãy mô tả cách giải bất đẳng thức thứ nhất trên trục Ox.
Phương pháp giãn cách là một cách phổ biến để giải hầu hết mọi bất đẳng thức xuất hiện trong khóa học đại số ở trường. Nó dựa trên các tính chất sau của hàm:
1. Hàm liên tục g(x) chỉ có thể đổi dấu tại điểm nó bằng 0. Về mặt đồ thị, điều này có nghĩa là đồ thị của hàm liên tục chỉ có thể di chuyển từ nửa mặt phẳng này sang nửa mặt phẳng khác nếu nó cắt x- trục (ta nhớ rằng tọa độ của bất kỳ điểm nào nằm trên trục OX (trục abscissa) đều bằng 0, tức là giá trị của hàm tại điểm này là 0):
Ta thấy hàm số y=g(x) trên đồ thị cắt trục OX tại các điểm x= -8, x=-2, x=4, x=8. Những điểm này được gọi là số không của hàm. Và tại cùng điểm đó hàm số g(x) đổi dấu.
2. Hàm cũng có thể thay đổi dấu ở số 0 của mẫu số - ví dụ đơn giản nhất về hàm nổi tiếng:
Ta thấy hàm số đổi dấu tại gốc mẫu số tại điểm , nhưng không triệt tiêu tại bất kỳ điểm nào. Do đó, nếu hàm chứa một phân số, nó có thể thay đổi dấu ở gốc của mẫu số.
2. Tuy nhiên, hàm số không phải lúc nào cũng đổi dấu ở gốc tử số hoặc ở gốc mẫu số. Ví dụ hàm số y=x 2 không đổi dấu tại điểm x=0:
Bởi vì phương trình x 2 \u003d 0 có hai nghiệm bằng nhau x \u003d 0, tại điểm x \u003d 0, hàm số hai lần chuyển về 0. Căn như vậy được gọi là nghiệm của bội số thứ hai.
Chức năng
thay đổi dấu ở số 0 của tử số, nhưng không đổi dấu ở số 0 của mẫu số: , vì nghiệm là nghiệm của bội số thứ hai, nghĩa là của bội số chẵn:
Quan trọng! Trong nghiệm của bội số chẵn, hàm số không đổi dấu.
Ghi chú! Bất kì phi tuyến như một quy luật, sự bất bình đẳng của khóa học đại số ở trường được giải quyết bằng phương pháp khoảng.
Tôi cung cấp cho bạn một bản chi tiết, sau đó bạn có thể tránh được những sai lầm khi giải bất đẳng thức phi tuyến.
1. Đầu tiên bạn cần đưa bất đẳng thức về dạng
P(x)V0,
trong đó V là dấu bất đẳng thức:<,>, ≤ hoặc ≥. Để làm điều này bạn cần:
a) chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của bất đẳng thức,
b) tìm nghiệm của biểu thức thu được,
c) nhân vế trái của bất đẳng thức
d) viết các thừa số giống hệt như lũy thừa.
Chú ý! Hành động cuối cùng phải được thực hiện để không phạm sai lầm với bội số của các nghiệm - nếu kết quả là một số nhân ở mức độ chẵn thì nghiệm tương ứng có bội số chẵn.
2. Vẽ các nghiệm tìm được trên trục số.
3. Nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt thì các vòng tròn biểu thị nghiệm trên trục số được để "trống", nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt thì các vòng tròn được sơn đè lên.
4. Chúng tôi chọn những gốc rễ của bội số chẵn - trong đó P(x) dấu hiệu không thay đổi.
5. Xác định dấu P(x)ở khoảng trống ngoài cùng bên phải. Để làm điều này, lấy một giá trị x 0 tùy ý, lớn hơn căn lớn hơn và thay nó vào P(x).
Nếu P(x 0)>0 (hoặc ≥0), thì ở khoảng trống ngoài cùng bên phải, chúng ta đặt dấu “+”.
Nếu P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Khi đi qua điểm biểu thị nghiệm số chẵn thì dấu KHÔNG ĐỔI.
7. Một lần nữa chúng ta xét dấu của bất đẳng thức ban đầu và chọn các khoảng của dấu mà chúng ta cần.
8. Chú ý! Nếu bất đẳng thức của chúng ta KHÔNG NGHIÊM TRỌNG thì chúng ta sẽ kiểm tra riêng điều kiện đẳng thức về 0.
9. Viết ra câu trả lời.
Nếu bản gốc bất đẳng thức chứa ẩn số trong mẫu số, thì ta cũng chuyển tất cả các số hạng sang trái, và rút gọn vế trái của bất đẳng thức về dạng
(trong đó V là dấu bất đẳng thức:< или >)
Bất đẳng thức nghiêm ngặt loại này tương đương với bất đẳng thức
Không nghiêm khắc bất đẳng thức về hình thức
tương đương với hệ thống:
Trong thực tế, nếu hàm có dạng , thì ta tiến hành như sau:
- Tìm nghiệm của tử số và mẫu số.
- Chúng tôi áp dụng chúng vào trục. Để trống tất cả các vòng tròn. Sau đó, nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt, thì chúng ta tô lên các nghiệm của tử số và luôn để trống các nghiệm của mẫu số.
- Tiếp theo chúng ta làm theo thuật toán chung:
- Chúng ta chọn các nghiệm có bội số chẵn (nếu tử số và mẫu số chứa các nghiệm giống nhau thì chúng ta đếm số lần xuất hiện các nghiệm giống nhau). Trong các gốc của bội số chẵn, dấu hiệu không thay đổi.
- Chúng tôi tìm ra dấu hiệu ở khoảng trống ngoài cùng bên phải.
- Chúng tôi đang đặt các dấu hiệu.
- Trong trường hợp bất đẳng thức không nghiêm ngặt, chúng ta kiểm tra điều kiện đẳng thức và điều kiện đẳng thức về 0 một cách riêng biệt.
- Chúng tôi chọn những khoảng trống cần thiết và rễ đứng tự do.
- Chúng tôi viết ra câu trả lời.
Để hiểu rõ hơn thuật toán giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng, hãy xem VIDEO HƯỚNG DẪN giải thích chi tiết về ví dụ giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng.
lượt xem
