Laten we een punt projecteren A orthogonaal op beide projectievlakken:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Projectie stralen AA1 en AA2 onderling loodrecht en creëren een projecterend vlak in de ruimte AA 1 AA 2, loodrecht op beide zijden van de projecties. Dit vlak snijdt de projectievlakken langs lijnen die door de projecties van het punt gaan A.

Om een ​​vlakke tekening te krijgen, combineert u het horizontale projectievlak P1 waarbij het frontale vlak P 2 rond de P 2 / P 1-as draait (Fig. 61, a). Dan bevinden beide projecties van het punt zich op dezelfde lijn loodrecht op de P 2 / P 1-as. Direct EEN 1 EEN 2, horizontaal verbinden Een 1 en frontaal Een 2 projectie van een punt wordt genoemd verticale communicatielijn.

De resulterende platte tekening wordt genoemd complexe tekening. Het is een afbeelding van een object op verschillende gecombineerde vlakken. Een complexe tekening bestaande uit twee onderling verbonden orthogonale projecties wordt een tweeprojectie genoemd. In deze tekening liggen de horizontale en frontale projecties van de punten altijd op dezelfde verticale verbindingslijn.

Twee onderling verbonden orthogonale projecties van een punt bepalen op unieke wijze de positie ervan ten opzichte van de projectievlakken. Als we de positie van het punt bepalen A ten opzichte van deze vlakken (Fig. 61, b) de hoogte u (AA 1 = u) en diepte f(AA2 =f ), dan deze hoeveelheden in een complexe tekening bestaan ​​als segmenten van een verticale communicatielijn. Deze omstandigheid maakt het mogelijk om de tekening gemakkelijk te reconstrueren, dat wil zeggen om uit de tekening de positie van het punt ten opzichte van de projectievlakken te bepalen. Om dit te doen, volstaat het om in punt A 2 van de tekening een loodlijn op het tekenvlak te herstellen (gezien het frontaal) met een lengte gelijk aan de diepte F. Het einde van deze loodlijn bepaalt de positie van het punt A ten opzichte van het tekenvlak.

60.gif

Afbeelding:

61.gif

Afbeelding:

7. Zelftestvragen

ZELFTESTVRAGEN

4. Hoe heet de afstand die de positie van een punt ten opzichte van het projectievlak bepaalt? P1, P2?

7. Hoe je een extra projectie van een punt op een vlak construeert P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?

9. Hoe kun je een complexe tekening van een punt maken met behulp van de coördinaten ervan?

33. Elementen van een complexe tekening van een punt met drie projecties

§ 33. Elementen van een complexe tekening van een punt met drie projecties

Om de positie van een geometrisch lichaam in de ruimte te bepalen en aanvullende informatie over hun afbeeldingen te verkrijgen, kan het nodig zijn een derde projectie te construeren. Vervolgens bevindt het derde projectievlak zich rechts van de waarnemer, tegelijkertijd loodrecht op het horizontale projectievlak P1 en het frontale vlak van uitsteeksels P2 (Fig. 62, a). Als gevolg van de kruising van de frontale P 2 en profiel P 3 projectievlakken verkrijgen we een nieuwe as P 2 / P 3 , die zich op de complexe tekening bevindt, parallel aan de verticale communicatielijn Een 1 Een 2(Afb. 62, B). Derde puntprojectie A- profiel - lijkt verband te houden met de frontale projectie Een 2 een nieuwe communicatielijn genaamd horizontaal

Rijst. 62

Noach. Frontale en profielprojecties van punten liggen altijd op dezelfde horizontale verbindingslijn. Bovendien EEN 1 EEN 2 _|_ Een 2 Een 1 En EEN 2 EEN 3 , _| _ P2 / P3 .

De positie van een punt in de ruimte wordt in dit geval gekenmerkt door zijn breedte- de afstand ervan tot het profielvlak van de projecties P 3, die we met de letter aangeven R.

De resulterende complexe tekening van een punt wordt genoemd drie-projectie.

In een tekening met drie projecties is dit de diepte van een punt AA2 wordt zonder vervorming geprojecteerd op de vlakken P 1 en P 2 (Fig. 62, A). Deze omstandigheid stelt ons in staat een derde frontale projectie van het punt te construeren A langs zijn horizontaal Een 1 en frontaal Een 2 projecties (Afb. 62, V). Om dit te doen, moet je een horizontale communicatielijn tekenen door de frontale projectie van het punt EEN 2 EEN 3 _|_A 2 EEN 1 . Teken vervolgens ergens in de tekening de projectie-as P 2 / P 3 _|_ EEN 2 EEN 3, meet de diepte f van een punt op de horizontaal projectieveld en plaats deze langs de horizontale verbindingslijn vanaf de projectie-as P 2 / P 3. Laten we een profielprojectie nemen Een 3 punten A.

In een complexe tekening die bestaat uit drie orthogonale projecties van een punt, bevinden twee projecties zich dus op dezelfde verbindingslijn; communicatielijnen staan ​​loodrecht op de overeenkomstige projectie-assen; twee projecties van een punt bepalen volledig de positie van zijn derde projectie.

Opgemerkt moet worden dat in complexe tekeningen de projectievlakken in de regel niet beperkt zijn en dat hun positie wordt gespecificeerd door assen (Fig. 62, c). In gevallen waarin de omstandigheden van het probleem dit niet vereisen,

Het blijkt dat projecties van punten kunnen worden gegeven zonder assen weer te geven (Fig. 63, a, b). Zo'n systeem wordt ongegrond genoemd. Communicatielijnen kunnen ook met een pauze worden getekend (afb. 63, b).

62.gif

Afbeelding:

63.gif

Afbeelding:

34. Positie van een punt in een driedimensionale hoekruimte

§ 34. Positie van een punt in de ruimte van een driedimensionale hoek

De locatie van de projecties van punten in een complexe tekening hangt af van de positie van het punt in de ruimte van een driedimensionale hoek. Laten we enkele gevallen bekijken:

• het punt bevindt zich in de ruimte (zie figuur 62). In dit geval heeft het diepte, hoogte en breedte;
• het punt bevindt zich op het projectievlak P1- het heeft geen hoogte, P 2 - heeft geen diepte, Pz - heeft geen breedte;
• het punt bevindt zich op de as van projecties, P 2 / P 1 heeft geen diepte en hoogte, P 2 / P 3 heeft geen diepte en breedtegraad, en P 1 / P 3 heeft geen hoogte en breedtegraad.

35. Concurrentiepunten

§ 35. Competitiepunten

Twee punten in de ruimte kunnen op verschillende manieren worden gelokaliseerd. In een afzonderlijk geval kunnen ze zo worden geplaatst dat hun projecties op een bepaald projectievlak samenvallen. Dergelijke punten worden genoemd concurreren. In afb. 64, A Er wordt een uitgebreide tekening van de punten verstrekt A En IN. Ze zijn zo geplaatst dat hun projecties in het vlak samenvallen P1 [A1 == B1]. Dergelijke punten worden genoemd horizontaal concurreren. Als de projecties van de punten A en B samenvallen in het vliegtuig

P2(Afb. 64, B), ze worden genoemd frontaal concurreren. En als de projecties van de punten A En IN vallen samen op het vlak P 3 [A 3 == B 3 ] (Fig. 64, c), ze worden genoemd concurrenten profileren.

De zichtbaarheid in de tekening wordt bepaald door concurrerende punten. Voor horizontaal concurrerende punten zal degene met de grotere hoogte zichtbaar zijn, voor frontaal concurrerende punten zal degene met grotere diepte zichtbaar zijn, en voor profielconcurrerende punten zal degene met grotere breedtegraad zichtbaar zijn.

64.gif

Afbeelding:

36. Projectievlakken vervangen

§ 36. Vervanging van projectievlakken

De eigenschappen van een tekening met drie projecties van een punt maken het mogelijk om de horizontale en frontale projecties te gebruiken om een ​​derde te construeren op andere projectievlakken die zijn ingevoerd om de gegeven projecties te vervangen.

In afb. 65, A punt tonen A en de projecties zijn horizontaal Een 1 en frontaal Een 2. Afhankelijk van de omstandigheden van het probleem is het noodzakelijk om de P 2-vlakken te vervangen. Laten we het nieuwe projectievlak P 4 aanduiden en er loodrecht op plaatsen P1. Op het kruispunt van vlakken P1 en P 4 krijgen we een nieuwe as P 1 / P 4 . Nieuwe puntprojectie Een 4 zal gevestigd zijn op communicatielijn die door een punt loopt Een 1 en loodrecht op de P 1 / P 4-as .

Sinds het nieuwe vliegtuig P4 vervangt het frontale projectievlak P 2, punthoogte A wordt op volledige grootte weergegeven, zowel op het P2-vlak als op het P4-vlak.

Deze omstandigheid stelt ons in staat de positie van de projectie te bepalen Een 4, in een systeem van vlakken P1 _|_ P4(Afb. 65, B) op een complexe tekening. Om dit te doen, volstaat het om de hoogte van het punt op het te vervangen vlak te meten

van de projectie P 2, plaats deze op een nieuwe verbindingslijn vanaf de nieuwe as van projecties - en een nieuwe projectie van het punt Een 4 zal worden gebouwd.

Als in plaats van het horizontale projectievlak een nieuw projectievlak wordt geïntroduceerd, d.w.z. P 4 _|_ P 2 (Fig. 66, A), dan zal in het nieuwe systeem van vlakken de nieuwe projectie van het punt zich op dezelfde communicatielijn bevinden als de frontale projectie, en EEN 2 EEN 4 _|_. In dit geval is de diepte van het punt hetzelfde in het vlak P1, en in het vliegtuig P4. Op deze basis bouwen ze Een 4(Afb. 66, B) op de communicatielijn Een 2 Een 4 op zo'n afstand van de nieuwe as P 1 / P 4 op wat Een 1 gelegen vanaf de P 2 / P 1-as.

Zoals reeds opgemerkt, gaat de constructie van nieuwe aanvullende projecties altijd gepaard met specifieke taken. In de toekomst zullen een aantal metrische en positionele problemen worden overwogen die kunnen worden opgelost met behulp van de methode voor het vervangen van projectievlakken. Bij problemen waarbij de introductie van één extra vlak niet het gewenste resultaat oplevert, wordt een ander extra vlak geïntroduceerd, genaamd P 5. Het wordt loodrecht op het reeds geïntroduceerde vlak P 4 geplaatst (Fig. 67, a), d.w.z. P 5 P 4, en produceren een constructie vergelijkbaar met die eerder besproken. Nu worden de afstanden gemeten op het vervangen tweede van de hoofdprojectievlakken (in Fig. 67, B in het vliegtuig P1) en stel ze uit op een nieuwe communicatielijn EEN 4 EEN 5, van de nieuwe projectie-as P 5 / P 4. In het nieuwe systeem van vlakken P 4 P 5 wordt een nieuwe tekening met twee projecties verkregen, bestaande uit orthogonale projecties Een 4 en A5 , verbonden via een communicatielijn

Wanneer u een punt op bepaalde coördinaten construeert, moet u er rekening mee houden dat, in overeenstemming met de tekenregels, de schaal langs de as ligt Oh neemt af 2 maal vergeleken met de schaal langs de assen Oh En Oz.

1. Construeer een punt: EEN(2; 1; 3) x EEN = 2; y EEN = 1; z EEN = 3

A) meestal construeren ze allereerst een projectie van een punt op een vlak Oeh. Markeer punten xEEN=2 En y EEN = 1 en trek er rechte lijnen doorheen evenwijdig aan de assen Oh En Oh. Het punt van hun snijpunt heeft de coördinaten (2;1; 0) Punt gebouwd Een 1 (2;1; 0.)

EEN(2; 1; 3)

0 y EEN = 1

xEEN=2 bij

A 1 (2;1; 0) 0 y EEN = 1bij

X x EEN =2 EEN 1 (2;1; 0)

X

B) verder van punt A 1 (2;1; 0) loodrecht op het vlak herstellen Ohoo (teken een rechte lijn evenwijdig aan de as Oz ) en leg er een segment gelijk aan drie op: z EEN = 3.

2. Construeer een punt: B(3; - 2; 1) x B = 3; yB = -2; ZB = 1

z

y B = - 2

B(3; -2; 1) OVER bij

B1(3;-2) xB=3

X

3. Construeer een punt C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)

XA = -2; YA = 1; Z EEN = 3

x C = - 2 C 1 (-2;1;0)

y EEN = 1 j

4. Dan kubus. AD...D 1, waarvan de rand gelijk is 1 . De oorsprong valt samen met het punt IN, ribben VA, BC En BB1 samenvallen met de positieve stralen van de coördinaatassen. Noem de coördinaten van alle andere hoekpunten van de kubus. Bereken de diagonaal van de kubus.

z

AB = BC = BB 1 BD 1 = =

B 1 (0;0;1) C 1 (0;1;1) = =

A 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)

B(0;0;0) C(0;1;0) y

A(1;0;0) D(1;1;0)

5.Plot de punten EEN(1;1;-1) En B(1; -1;1). Snijdt het segment de coördinatenas? coördinaat vlak? Gaat het segment door de oorsprong? Zoek de coördinaten van de snijpunten, indien aanwezig. z De punten liggen in een vlak loodrecht op de as Oh.

Het segment snijdt de as Oh en vliegtuig xOj op het punt

B(1; -1;1)

0(0;0;0)

C(1;0;0)

EEN(1;1;-1)

6. Zoek de afstand tussen twee punten: EEN(1;2;3) En B(-1;1;1).

A)AB = = = = 3

B)C(3;4;0) En D(3; -1;2).

СD = = =

Om de coördinaten van het midden van het segment te bepalen, wordt in de ruimte een derde coördinaat geïntroduceerd.

B (xB; yB; zB)

MET( ; ; )

A(xA; yA; zA)

7. Zoek coördinaten MET middelpunten van segmenten: A)AB, Als A(3; – 2; – 7), B(11; – 8; 5),

x M = = 7; yM = = - 5; zM = = - 1; C(7; - 5; - 1)

8. Puntcoördinaten A(x;y;z). Schrijf de coördinaten van punten die symmetrisch zijn met dit punt ten opzichte van:

A) coördinaatvlakken

B) coördinaat lijnen

V) oorsprong

A) Als het punt Een 1 symmetrisch ten opzichte van de gegeven ten opzichte van het coördinatenvlak xOu, dan is het verschil
de coördinaten van de punten staan ​​alleen in het coördinatenteken z: A1 (x;y;-z).

punt Een 2 Oxz, Dan A2 (x; -y; z).

punt Een 3 symmetrisch ten opzichte van het gegeven ten opzichte van het vlak Ja, Dan A2 (-x; y; z).

B) Als het punt Een 4 symmetrisch ten opzichte van de gegeven lijn ten opzichte van de coördinatenlijn Oh, dan is het verschil
coördinaten van punten zullen alleen in coördinaattekens voorkomen bij En z: A 4 (x; -y; -z).

punt Een 5 Oh, Dan A 5 (-x; y; -z).

punt Een 6 symmetrisch ten opzichte van een gegeven lijn Oz, Dan A 6 (-x; -y; z).

V) Als het punt Een 7 is dan symmetrisch ten opzichte van de gegeven ten opzichte van de oorsprong A 6 (-x; -y; -z).

COÖRDINEER CONVERSIE

De overgang van het ene coördinatensysteem naar het andere wordt genoemd transformatie van het coördinatensysteem.

Wij zullen overwegen twee conversiegevallen coördinatensystemen, en formules afleiden voor de afhankelijkheid tussen de coördinaten van een willekeurig punt op het vlak in verschillende coördinatensystemen. (De techniek van het transformeren van een coördinatensysteem is vergelijkbaar met het transformeren van grafieken).

1.Parallelle overdracht. In dit geval verandert de positie van de oorsprong, maar blijven de richting van de assen en de schaal ongewijzigd.

Als de oorsprong van de coördinaten naar het punt gaat 0 1 met coördinaten 0 1 (x 0; y 0), dan voor het punt M(x;y) verbinding tussen systeemcoördinaten x0y En x 0 0y 0 uitgedrukt door de formules:

x = x0 + x"

j = j 0 + j"

Met de resulterende formules kunt u oude coördinaten vinden met behulp van bekende nieuwe X" En jij" en omgekeerd.

y M(x;y) M(x";y")

0 1 (x 0; y 0),x"

x 0 x"

2.Roterende coördinaatassen. In dit geval worden beide assen onder dezelfde hoek geroteerd en blijven de oorsprong en de schaal ongewijzigd.

M(x;y)

j 1 x 1

Puntcoördinaten M in het oude systeem M(x;y) En M(x"; y") - in de nieuwe. Dan is de polaire straal in beide systemen hetzelfde, en zijn de polaire hoeken dienovereenkomstig gelijk + En , Waar - polaire hoek in het nieuwe coördinatensysteem.

Volgens de formules voor de overgang van polaire naar rechthoekige coördinaten hebben we:

x = rcos( + ) x = rco's want - rsin zonde

y = rsin( + ) y = rco's zonde +rsin want

Maar rco's = x" En rsin = j", Dat is waarom

x = x" cos- je zonde

y = x" zonde + y" cos

Beantwoord de volgende vragen schriftelijk:

1. Wat wordt een rechthoekig coördinatensysteem op een vlak genoemd? in de ruimte?
2. Welke as wordt de applicatie-as genoemd? Ordenen? Abscis?
3. Wat is de notatie voor eenheidsvectoren op de coördinaatassen?
4. Wat wordt een orth genoemd?
5. Hoe wordt de lengte van een segment, gedefinieerd door de coördinaten van de uiteinden, berekend in een rechthoekig coördinatensysteem?
6. Hoe worden de coördinaten van het middelpunt van een segment, gedefinieerd door de coördinaten van de uiteinden, berekend?
7. Wat wordt een polair coördinatensysteem genoemd?
8. Wat is de relatie tussen de coördinaten van een punt in rechthoekige en polaire coördinatensystemen?

Voltooi de taken:

1. Op welke afstand van de coördinaatvlakken ligt het punt? EEN(1; -2; 3)

2. Op welke afstand ligt het punt EEN(1; -2; 3) van coördinaatlijnen A)Oh; B) Oh; V)Oz;

3. Aan welke voorwaarde wordt voldaan door de coördinaten van punten in de ruimte die even ver verwijderd zijn:

A) van twee coördinaatvlakken Ohoo En Оуz; AB

B) van alle drie de coördinaatvlakken

4. Zoek de coördinaten van het punt M middelpunt van het segment AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) en noem een ​​punt symmetrisch ten opzichte van het punt M, relatief A) bijlen Oh

B) bijlen Oh

V) bijlen Oz.

5. Een punt gegeven B(4; - 3; - 4). Zoek de coördinaten van de bases van loodlijnen die zijn gevallen vanaf een punt op de coördinatenas en de coördinaatvlakken.

6. Op de as Oh Zoek een punt op gelijke afstand van twee punten EEN(1; 2; - 1) En B(-2; 3; 1).

7. In het vliegtuig Oxz Zoek een punt op gelijke afstand van drie punten EEN(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) En C(0;3;1).

8. Zoek de lengtes van de zijden van de driehoek abc en zijn gebied , als de coördinaten van de hoekpunten : A(-2; 0; 1), B(8; - 4; 9), C(-1; 2; 3).

9. Zoek de coördinaten van de projecties van de punten A(2; -3; 5); B(3;-5; ); MET(- ; - ; - ).

10. Er worden punten gegeven EEN(1; -1; 0) En B(-3; - 1; 2). Bereken de afstand van de oorsprong tot de gegeven punten.

VECTOREN IN DE RUIMTE. BASISCONCEPTEN

Alle grootheden waarmee in de natuurkunde, de technologie en het dagelijks leven rekening wordt gehouden, zijn verdeeld in twee groepen. De eerste worden volledig gekenmerkt door hun numerieke waarde: temperatuur, lengte, massa, oppervlakte, arbeid. Dergelijke hoeveelheden worden genoemd scalair.

Andere grootheden, zoals kracht, snelheid, verplaatsing, versnelling, enz. worden niet alleen bepaald door hun numerieke waarde, maar ook door hun richting. Deze hoeveelheden worden genoemd vector, of vectoren. Een vectorgrootheid wordt geometrisch weergegeven als een vector.

Vector-dit is een gericht rechtlijnig segment, d.w.z. segment hebben
bepaalde lengte en richting.

Instructies

Construeer drie coördinaatvlakken, zodat de oorsprong in punt O ligt. In de tekening hebben de projectievlakken de vorm van drie assen: oh, oy en oz, waarbij de oz-as naar boven is gericht en de oy-as naar rechts. Om de laatste os-as te construeren, deelt u de hoek tussen de oy- en oz-as doormidden (als u op een geruit vel papier tekent, tekent u gewoon deze as).

Houd er rekening mee dat als de coördinaten van punt A worden geschreven als drie tussen haakjes (a, b, c), het eerste getal a uit het x-vlak komt, de tweede b uit y en de derde c uit z. Neem eerst de eerste coördinaat a en markeer deze op de x-as, naar links en naar beneden als a positief is, naar rechts en naar boven als deze negatief is. Noem de resulterende letter B.

Teken vervolgens het laatste getal c langs de z-as als het positief is, en langs de z-as als het negatief is. Markeer de ontvangen punt letter D.

Teken vanuit de verkregen punten projecties van het gewenste punt op de vlakken. Dat wil zeggen, teken op punt B twee rechte lijnen die parallel lopen aan de oh- en oz-assen, teken op punt C rechte lijnen evenwijdig aan de ox- en oz-assen, op punt D - rechte lijnen evenwijdig aan ox en oz.

Als een van de coördinaten van een punt nul is, ligt het punt in een van de projectievlakken. Markeer in dit geval eenvoudig de bekende coördinaten op het vlak en zoek punt snijpunt van hun projecties. Wees voorzichtig bij het plotten van punten met coördinaten(a, 0, c) en (a, b, 0), vergeet niet dat de projectie op de x-as onder een hoek van 45⁰ plaatsvindt.

Video over het onderwerp

Bronnen:

• bouwen op basis van coördinaten

Tip 2: Hoe u kunt controleren of punten niet op dezelfde lijn liggen

Gebaseerd op het axioma dat de eigenschappen beschrijft direct: wat de rechte lijn ook is, die is er punten toebehoort en niet aan haar toebehoort. Daarom is het heel logisch dat niet alles punten zal op één liggen direct lijnen.

Je zult nodig hebben

• - potlood;
• - liniaal;
• - pen;
• - notitieboekje;
• - rekenmachine.

Instructies

Als (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) kleiner is dan nul, bevindt punt K zich boven of links van de lijn. Met andere woorden, alleen als een vergelijking van de vorm (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 waar is, punten A, B en K zullen zich op hetzelfde terrein bevinden direct.

In andere gevallen slechts twee punten(A en B), die, afhankelijk van de omstandigheden van de taak, op liggen direct, hoort erbij: de lijn gaat niet door het derde punt (punt K).

Overweeg een tweede aansluitingsoptie punten prime: deze keer moet je controleren of punt C(x,y) behoort tot het segment met eindpunten B(x1,y1) en A(x2,y2), dat deel uitmaakt direct z.

Beschrijf de punten van het betreffende segment met de vergelijking pOB+(1-p)OA=z, op voorwaarde dat 0≤p≤1. OB en OA zijn vectoren. Als er een getal p is dat groter is dan of gelijk is aan 0, maar kleiner dan of gelijk is aan 1, dan ligt pOB+(1-p)OA=C, en zal punt C op het segment AB liggen. Anders behoort dit punt niet tot dit segment.

Noteer de gelijkheid pOB+(1-p)OA=C qua coördinaten: px1+(1-p)x2=x en py1+(1-p)y2=y.

Zoek het getal p uit het eerste en vervang de waarde ervan in de tweede gelijkheid. Als de gelijkheid overeenkomt met de voorwaarden 0≤p≤1, dan behoort punt C tot het segment AB.

Let op

Zorg ervoor dat uw berekeningen kloppen!

Nuttig advies

Om k te vinden - de helling van een lijn, heb je (y2 - y1)/(x2 - x1) nodig.

Bronnen:

• Algoritme om te controleren of een punt tot een polygoon behoort. Ray tracing-methode in 2019

Driedimensionale ruimte bestaat uit drie basisconcepten die je geleidelijk bestudeert in het schoolcurriculum: punt, lijn, vlak. Wanneer u met bepaalde wiskundige grootheden werkt, moet u deze elementen mogelijk combineren. U kunt bijvoorbeeld een vlak in de ruimte construeren met behulp van een punt en een lijn.

Instructies

Om het algoritme voor het construeren van vlakken in de ruimte te begrijpen, moet je letten op enkele axioma's die de eigenschappen van een vlak of vlakken beschrijven. Ten eerste: door drie punten die niet op dezelfde lijn liggen, passeert een vlak, maar slechts één. Om een ​​vlak te construeren heb je dus slechts drie punten nodig die voldoen aan het axioma in positie.

Ten tweede: door twee willekeurige punten loopt een rechte lijn, maar slechts één. Dienovereenkomstig kan een vlak worden geconstrueerd door een rechte lijn en een punt dat er niet op ligt. Als vanuit het tegenovergestelde: elke lijn minstens twee punten bevat waar hij doorheen gaat, en als er nog een punt bekend is, niet op deze lijn, kan een lijn door deze drie punten worden geconstrueerd, zoals in punt één. Elk punt van deze lijn behoort tot het vlak.

Ten derde: een vlak gaat door twee snijdende lijnen, maar slechts één. Snijlijnen kunnen slechts één gemeenschappelijk punt vormen. Als ze zich in de ruimte bevinden, zullen ze een oneindig aantal gemeenschappelijke punten hebben en daarom één rechte lijn vormen. Als je twee lijnen kent die een snijpunt hebben, kun je maximaal één vlak construeren dat door deze lijnen gaat.

Ten vierde: door twee parallelle lijnen kun je een vlak tekenen, maar slechts één. Als u dus weet dat de lijnen evenwijdig zijn, kunt u er een vlak doorheen tekenen.

Ten vijfde: door een rechte lijn kunnen oneindig veel vlakken worden getekend. Al deze vlakken kunnen worden beschouwd als een rotatie van één vlak rond een gegeven lijn, of als een oneindig aantal vlakken met één snijlijn.

Je kunt dus een vlak construeren als je alle elementen hebt gevonden die de positie ervan in de ruimte bepalen: drie punten die niet op een lijn liggen, een lijn en een punt dat niet bij een lijn hoort, twee elkaar snijdende of twee evenwijdige lijnen .

Video over het onderwerp

Wist je dat het menselijk lichaam een ​​mini-energiecentrale is? Ieder van ons produceert een kleine hoeveelheid elektriciteit. Dit gebeurt zowel in beweging als in rust - vervolgens vindt de opwekking van elektriciteit plaats in de interne organen, waarvan er één het hart is.

Een van de medische tests die de toestand van het hart kan bepalen, is een ECG. Met een elektrocardiogram onderzoekt de cardioloog waar de boezems, kleppen en ventrikels zich in de borstkas bevinden, hoe ze werken, wat hun vorm is en of er sprake is van functionele veranderingen. Een van de belangrijkste indicatoren van het ECG is de richting van de elektrische as van het hart.

Wat is de hartas en hoe vind je deze?

De hartas (zoals de as van de aarde) kan niet worden gezien of aangeraakt. Het wordt alleen bepaald met behulp van een elektrocardiograaf, omdat deze de elektrische activiteit van het hart registreert. Wanneer de cellen van de hartspier zich spannen en ontspannen en gehoorzamen aan impulsen die van het zenuwstelsel komen, vormen ze een elektrisch veld, waarvan het centrum de EOS is (elektrische as van het hart).

Maar als je naar de anatomische atlas kijkt, kun je een verticale lijn tekenen die het hart in twee gelijke delen verdeelt - dit is ongeveer hoe de as van het hart zich bevindt. Hieruit kunnen we concluderen dat de EOS samenvalt met de zogenaamde anatomische as. Natuurlijk is elke persoon individueel, daarom kan de elektrische as zich bij verschillende mensen anders bevinden (als we bijvoorbeeld uitgaan van de statistische waarde, dan bevindt de EOS zich bij een dun persoon verticaal en bij een zwaarlijvig persoon horizontaal ).

Wanneer verandert de hartas van positie?

Nadat hij een ECG heeft gemaakt en heeft geleerd hoe de EOS zich bevindt, kan de cardioloog u vertellen hoe deze zich in de borstkas bevindt, of het myocard (hart) gezond is en hoe zenuwimpulsen naar verschillende delen van het hart reizen.

Als uit het elektrocardiogram blijkt dat de elektrische as zich naar rechts of naar links bevindt, zal dit voor de arts een pathologisch proces aangeven. Afwijking naar rechts kan leiden tot vermoedens over de onjuiste positie van het hart (de verplaatsing ervan kan aangeboren zijn of optreden als gevolg van uitzetting van de aorta, het optreden van tumoren en andere pathologieën). Bovendien is de afwijking van EOS een teken van levensbedreigende aandoeningen: dextrocardie, His-bundelblok, myocardinfarct (de voorwand ervan).

Als de EOS aanzienlijk naar links afwijkt, kan dit een teken zijn van cardiomyopathie, hypertrofie van bepaalde delen van het hart, apicaal infarct of een aangeboren afwijking.

Een aantal hartziekten kan voorlopig asymptomatisch verlopen. Daarom is het zo belangrijk om periodiek een medisch onderzoek te ondergaan, waarvan een van de componenten een ECG is. De ziekte is immers gemakkelijker te voorkomen. Maar hartziekten zijn een must, omdat ze een directe bedreiging voor het leven vormen.

3.2. Positie van het punt ten opzichte van de projectievlakken

De positie van een punt in de ruimte ten opzichte van de projectievlakken wordt bepaald door zijn coördinaten. De X-coördinaat bepaalt de afstand van een punt tot het P 3-vlak (projectie op P 2 of P 1), de Y-coördinaat bepaalt de afstand tot het P 2-vlak (projectie op P 3 of P 1), de Z-coördinaat bepaalt de afstand tot het P 1-vlak (projectie op P 3 of P 2). Afhankelijk van de waarde van deze coördinaten kan een punt zowel een algemene als een specifieke positie in de ruimte innemen ten opzichte van de projectievlakken (Fig. 3.1).

Rijst. 3.1. Puntenclassificatie

Tpuntenalgemeenbepalingen. De coördinaten van een generiek punt zijn niet gelijk aan nul ( X≠0, j≠0, z≠0 ), en afhankelijk van het teken van de coördinaat kan het punt zich in een van de acht octanten bevinden (Tabel 2.1).

In afb. 3.2 biedt tekeningen van punten in de algemene positie. Analyse van hun afbeeldingen stelt ons in staat te concluderen dat ze zich in de volgende octanten van de ruimte bevinden: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  Octant.

Punten van speciale positie. Een van de coördinaten op een punt met een bepaalde positie is gelijk aan nul, dus de projectie van het punt ligt op het overeenkomstige projectieveld, de andere twee - op de projectie-assen. In afb. 3.3 Dergelijke punten zijn de punten A, B, C, D, G.A  P 3, dan punt X A = 0; IN  P 3, dan punt X B = 0; MET  П 2, dan puntY C =0;D  P 1, dan punt Z D = 0.

Een punt kan tot twee projectievlakken tegelijk behoren als het op de snijlijn van deze vlakken ligt: ​​de projectie-as. Voor dergelijke punten is alleen de coördinaat op deze as niet nul. In afb. 3.3 zo'n punt is het punt G(G  OZ, dan punt X G =0,Y G =0).

3.3. Relatieve positie van punten in de ruimte

Laten we drie opties bekijken voor de relatieve rangschikking van punten, afhankelijk van de verhouding van coördinaten die hun positie in de ruimte bepalen.

In afb. 3.4 punten A en B hebben verschillende coördinaten.

Hun relatieve positie kan worden beoordeeld aan de hand van hun afstand tot de projectievlakken: Y A >Y B, dan bevindt punt A zich verder van het P 2-vlak en dichter bij de waarnemer dan punt B; Z A >Z B, dan ligt punt A verder van vlak P 1 en dichter bij de waarnemer dan punt B;

X A

In afb. 3.5 toont de punten A, B, C, D, waarvan één van de coördinaten hetzelfde is en de andere twee verschillend zijn.

Hun relatieve positie kan als volgt worden beoordeeld aan de hand van hun afstand tot de projectievlakken:

Y A =Y B =Y D, dan liggen de punten A, B en D op gelijke afstand van het vlak P 2, en bevinden hun horizontale en profielprojecties zich respectievelijk op de rechte lijnen [A 1 B 1 ]llОХ en [A 3 B 3 ] llOZ. De geometrische locatie van dergelijke punten is een vlak evenwijdig aan P2;

Z A =Z B =Z C, dan liggen de punten A, B en C op gelijke afstand van het vlak P 1, en bevinden hun frontale en profielprojecties zich respectievelijk op de rechte lijnen [A 2 B 2 ]llОХ en [A 3 C 3 ] llOY. De geometrische locatie van dergelijke punten is een vlak evenwijdig aan P 1;

X A =X C =X D, dan liggen de punten A, C en D op gelijke afstand van het vlak P 3 en bevinden hun horizontale en frontale projecties zich respectievelijk op de rechte lijnen [A 1 C 1 ]llOY en [A 2 D 2 ]llOZ . De geometrische locatie van dergelijke punten is een vlak evenwijdig aan P3. 3. Als punten gelijk zijn aan twee coördinaten met dezelfde naam, worden ze genoemd concurreren

. Concurrerende punten bevinden zich op dezelfde projectielijn. In afb. 3.3 Er zijn drie paren van dergelijke punten waarvoor: X A = X D ; YA = YD; ZD > ZA;

XA = XC; ZA = ZC; YC > YA;

1. Een punt is een lineair geometrisch beeld, een van de basisconcepten van de beschrijvende meetkunde. De positie van een punt in de ruimte kan worden bepaald door zijn coördinaten. Elk van de drie projecties van een punt wordt gekenmerkt door twee coördinaten; hun namen komen overeen met de namen van de assen die het overeenkomstige projectievlak vormen: horizontaal - A 1 (XA; YA); frontaal – A 2 (XA; ZA); profiel – A 3 (YA; ZA). De vertaling van coördinaten tussen projecties wordt uitgevoerd met behulp van communicatielijnen. Met behulp van twee projecties kunt u projecties van een punt construeren, hetzij met behulp van coördinaten, hetzij grafisch.

3. Een punt ten opzichte van de projectievlakken kan zowel een algemene als een bijzondere positie in de ruimte innemen.

4. Een punt in de algemene positie is een punt dat niet tot een van de projectievlakken behoort, d.w.z. dat in de ruimte tussen de projectievlakken ligt. De coördinaten van een generiek punt zijn niet gelijk aan nul (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Een punt met een bepaalde positie is een punt dat behoort tot een of twee projectievlakken. Een van de coördinaten op een punt met een bepaalde positie is gelijk aan nul, dus de projectie van het punt ligt op het overeenkomstige veld van het projectievlak, de andere twee - op de projectie-assen.

6. Concurrerende punten – punten waarvan de coördinaten met dezelfde naam samenvallen. Er zijn horizontaal concurrerende punten, frontaal concurrerende punten, profielconcurrerende punten.

Trefwoorden

Puntcoördinaten

Algemeen punt

Privé punt

Concurrerende punten

Methoden van activiteit die nodig zijn om problemen op te lossen

– constructie van een punt volgens gegeven coördinaten in een systeem van drie projectievlakken in de ruimte;

– constructie van een punt volgens gegeven coördinaten in een systeem van drie projectievlakken op een complexe tekening.

Zelftestvragen

1. Hoe wordt het verband gelegd tussen de locatie van coördinaten op een complexe tekening in het systeem van drie projectievlakken P 1 P 2 P 3 met de coördinaten van de projecties van punten?

2. Welke coördinaten bepalen de afstand van punten tot de horizontale, frontale, profielprojectievlakken?

3. Welke coördinaten en projecties van het punt zullen veranderen als het punt beweegt in de richting loodrecht op het profielvlak van de projecties P 3?

4. Welke coördinaten en projecties van een punt zullen veranderen als het punt in een richting parallel aan de OZ-as beweegt?

5. Welke coördinaten bepalen de horizontale (frontale, profiel) projectie van een punt?

7. In welk geval valt de projectie van een punt samen met het punt in de ruimte zelf en waar bevinden zich de andere twee projecties van dit punt?

8. Kan een punt tegelijkertijd tot drie projectievlakken behoren, en in welk geval?

9. Wat zijn de namen van punten waarvan de projecties met dezelfde naam samenvallen?

10. Hoe kun je bepalen welk van de twee punten het dichtst bij de waarnemer ligt als hun frontale projecties samenvallen?

Taken voor onafhankelijke oplossing

2. Construeer projecties van de punten A en B volgens hun coördinaten op een visueel beeld en een complexe tekening: A(13,5; 20), B(6,5; –20). Construeer een projectie van punt C, symmetrisch gelegen ten opzichte van punt A ten opzichte van het frontale vlak van projecties P 2.

3. Construeer projecties van de punten A, B, C volgens hun coördinaten op een visueel beeld en een complexe tekening: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0). Construeer punt D, symmetrisch gelegen ten opzichte van punt C ten opzichte van de OX-as.

Een voorbeeld van het oplossen van een typisch probleem

Taak 1. De X-, Y-, Z-coördinaten van de punten A, B, C, D, E, F zijn gegeven (Tabel 3.3)

Complexe tekeningen van punten maken: A(15,30,0), IN(30,25,15), MET(30,10,15), D(15,30,20)

We zullen de oplossing van het probleem in vier fasen verdelen.

1. A(15,30,0); xA= 15 mm ; y A= 30 mm ; zA= 0.

Wat denk je, als het op dit punt aankomt A coördineren z A=0, welke positie neemt het dan in de ruimte in?

Zo ziet een complexe tekening van een punt eruit A gebouwd volgens gegeven coördinaten

Als een punt één coördinaat gelijk aan nul heeft, behoort het punt tot een van de projectievlakken. In dit geval heeft het punt geen hoogte: z= 0, dus punt A ligt in een vliegtuig P1.

In de complexe tekening is het origineel (d.w.z. het punt zelf A) is niet afgebeeld, er zijn alleen projecties.

2. IN(30,25,15) en MET(30,10,15).

In de tweede fase zullen we de constructie van twee punten combineren.

x B= 30 mm; x C= 30 mm

y B= 35 mm; y C= 10 mm

z B= 15 mm; z C= 15 mm

Bij de punten IN En MET: x B = x C= 30mm, z B = z C= 15 mm

A) Coördinaten X punten zijn hetzelfde, daarom liggen in het P 1 – P 2-systeem de projecties van de punten op dezelfde communicatielijn (Fig. 1.2),

B) Coördinaten z punten vallen samen (beide punten liggen op gelijke afstand van P1 met 15 mm, d.w.z. ze bevinden zich op dezelfde hoogte, dus op P2 de projecties van de punten vallen samen: B2=(C2).

V) Om de zichtbaarheid ten opzichte van te bepalen P2 kijk naar afb. 1.3. De waarnemer ziet het punt IN, dat het punt dekt MET, d.w.z. punt IN dus dichter bij de waarnemer P2 ze is zichtbaar. (Zie M1 - 13 en 16).

In het systeem P2P3 de projecties van de punten liggen eveneens op dezelfde verbindingslijn en de zichtbaarheid wordt bepaald door de pijl (Fig. 1.2).

Punten IN En MET- worden frontaal concurreren genoemd.

3. D(15,30,20); x D= 15 mm; y D= 30 mm; z D= 20 mm.

A) In deze complexe tekening (Fig. 1.4) zijn drie projecties van het punt geconstrueerd D (D1,D2,D3).

Alle drie de coördinaten hebben numerieke waarden die verschillen van nul, dus het punt behoort tot geen enkel projectievlak.

B) Laten we het ruimtelijke beeld matchen A En D(Afb. 1.5). In het systeem P1 - P2 puntprojecties A En D liggen op dezelfde communicatielijn, slechts een punt D boven het punt A, vandaar D- zichtbaar, en A- onzichtbaar (zichtbaar op P1 het punt dat zich hierboven bevindt)

In de vierde en laatste fase zullen we alle drie de fragmenten van complexe punttekeningen met elkaar verbinden EEN, B, C,D tot één gemeenschappelijke.

Punten A En D- worden horizontaal concurreren genoemd.