Grafische vergelijking x y. Vergelijkingen, ongelijkheden en systemen oplossen met behulp van functiegrafieken

Kwadratische vergelijkingen ben je al tegengekomen in de algebracursus van groep 7. Bedenk dat een kwadratische vergelijking een vergelijking is van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a, b, c willekeurige getallen (coëfficiënten) en a zijn. Met behulp van onze kennis over sommige functies en hun grafieken zijn we nu in staat, zonder te wachten op een systematische studie van het onderwerp ‘Kwadratische vergelijkingen’, enkele kwadratische vergelijkingen op te lossen, en op verschillende manieren; We zullen deze methoden bekijken aan de hand van één voorbeeld kwadratische vergelijking.

Voorbeeld. Los de vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 op.
Oplossing.
Methode I . Laten we een grafiek construeren van de functie y = x 2 - 2x - 3, met behulp van het algoritme uit § 13:

1) We hebben: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Dit betekent dat het hoekpunt van de parabool het punt (1; -4) is, en de as van de parabool de rechte lijn x = 1.

2) Neem twee punten op de x-as die symmetrisch zijn rond de as van de parabool, bijvoorbeeld de punten x = -1 en x = 3.

We hebben f(-1) = f(3) = 0. Laten we de punten (-1; 0) en (3; 0) construeren op het coördinatenvlak.

3) Door de punten (-1; 0), (1; -4), (3; 0) tekenen we een parabool (Fig. 68).

De wortels van de vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de x-as; Dit betekent dat de wortels van de vergelijking zijn: x 1 = - 1, x 2 - 3.

II-methode. Laten we de vergelijking transformeren naar de vorm x 2 = 2x + 3. Laten we grafieken construeren van de functies y - x 2 en y = 2x + 3 in één coördinatensysteem (Fig. 69). Ze snijden elkaar op twee punten A(- 1; 1) en B(3; 9). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, wat betekent x 1 = - 1, x 2 - 3.

III-methode . Laten we de vergelijking transformeren naar de vorm x 2 - 3 = 2x. Laten we grafieken construeren van de functies y = x 2 - 3 en y = 2x in één coördinatensysteem (Fig. 70). Ze snijden elkaar op twee punten A (-1; - 2) en B (3; 6). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = - 1, x 2 = 3.

IV-methode. Laten we de vergelijking transformeren naar de vorm x 2 -2x 4-1-4 = 0
en verder
x 2 - 2x + 1 = 4, d.w.z. (x - IJ = 4.
Laten we een parabool y = (x - 1) 2 en een rechte lijn y = 4 construeren in één coördinatensysteem (Fig. 71). Ze snijden elkaar op twee punten A(-1; 4) en B(3; 4). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = -1, x 2 = 3.

V-methode. Als we beide zijden van de vergelijking term voor term door x delen, krijgen we

Laten we een hyperbool en een rechte lijn y = x - 2 construeren in één coördinatensysteem (Fig. 72).

Ze snijden elkaar op twee punten A (-1; -3) en B (3; 1). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = - 1, x 2 = 3.

We hebben de kwadratische vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 dus op vijf manieren grafisch opgelost. Laten we de essentie van deze methoden analyseren.

Methode I Construeer een grafiek van de functie op het snijpunt met de x-as.

II-methode. Transformeer de vergelijking in de vorm ax 2 = -bx - c, construeer een parabool y = ax 2 en een rechte lijn y = -bx - c, vind hun snijpunten (de wortels van de vergelijking zijn de abscis van de snijpunten , als die er zijn natuurlijk).

III-methode. Transformeer de vergelijking in de vorm ax 2 + c = - bx, construeer een parabool y - ax 2 + c en een rechte lijn y = -bx (deze gaat door de oorsprong); hun snijpunten vinden.

IV-methode. Gebruik de methode om een ​​compleet vierkant te isoleren en transformeer de vergelijking naar de vorm

Construeer een parabool y = a (x + I) 2 en een rechte lijn y = - m, evenwijdig aan de x-as; vind de snijpunten van een parabool en een rechte lijn.

V-methode. Converteer de vergelijking naar de vorm

Construeer een hyperbool (dit is een hyperbool, op voorwaarde dat) en de rechte lijn y = - ax - b; hun snijpunten vinden.

Merk op dat de eerste vier methoden van toepassing zijn op alle vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx + c = 0, en de vijfde - alleen op die met c. In de praktijk kun je de methode kiezen die het meest geschikt lijkt voor een bepaalde vergelijking of die je leuker vindt (of begrijpt).

Opmerking . Ondanks de overvloed aan manieren grafische oplossing kwadratische vergelijkingen, het vertrouwen dat elke kwadratische vergelijking we
We kunnen het grafisch oplossen, nee. Stel dat u bijvoorbeeld de vergelijking x 2 - x - 3 = 0 moet oplossen (laten we specifiek een vergelijking nemen die lijkt op wat in
beschouwd voorbeeld). Laten we het bijvoorbeeld op de tweede manier proberen op te lossen: transformeer de vergelijking naar de vorm x 2 = x + 3, construeer een parabool y = x 2 en
rechte lijn y = x + 3, ze snijden elkaar in de punten A en B (Fig. 73), wat betekent dat de vergelijking twee wortels heeft. Maar waar zijn deze wortels gelijk aan, wij, met behulp van een tekening,
We kunnen niet zeggen: de punten A en B hebben niet zulke “goede” coördinaten als in het bovenstaande voorbeeld. Beschouw nu de vergelijking
x 2 - 16x - 95 = 0. Laten we proberen het bijvoorbeeld op de derde manier op te lossen. Laten we de vergelijking transformeren naar de vorm x 2 - 95 = 16x. Hier moeten we een parabool construeren
y = x 2 - 95 en rechte lijn y = 16x. Maar de beperkte omvang van het notitieboekblad laat dit niet toe, omdat de parabool y = x 2 95 cellen naar beneden moet worden verlaagd.

Grafische methoden voor het oplossen van een kwadratische vergelijking zijn dus mooi en prettig, maar bieden geen honderd procent garantie voor het oplossen van welke kwadratische vergelijking dan ook. Wij zullen hier in de toekomst rekening mee houden.

Presentatie en les over het onderwerp: "Grafische oplossing van kwadratische vergelijkingen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 8
Machten en wortels Functies en grafieken

Grafieken van kwadratische functies

In de laatste les hebben we geleerd hoe we van elk een grafiek kunnen maken kwadratische functie. Met behulp van dergelijke functies kunnen we de zogenaamde kwadratische vergelijkingen oplossen, die in algemeen beeld worden als volgt geschreven: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ zijn willekeurige getallen, maar $a≠0$.
Jongens, vergelijk de bovenstaande vergelijking met deze: $y=ax^2+bx+c$.
Ze zijn vrijwel identiek. Het verschil is dat we in plaats van $y$ $0$ hebben geschreven, d.w.z. $j=0$. Hoe kun je kwadratische vergelijkingen dan oplossen? Het eerste dat in je opkomt is het construeren van een grafiek van de parabool $ax^2+bx+c$ en het vinden van de snijpunten van deze grafiek met de rechte lijn $y=0$. Er zijn andere oplossingen. Laten we ze bekijken aan de hand van een specifiek voorbeeld.

Methoden voor het oplossen van kwadratische functies

Voorbeeld.
Los de vergelijking op: $x^2+2x-8=0$.

Oplossing.
Methode 1. Laten we de functie $y=x^2+2x-8$ plotten en de snijpunten vinden met de rechte lijn $y=0$. De coëfficiënt van de hoogste graad is positief, wat betekent dat de takken van de parabool naar boven wijzen. Laten we de coördinaten van het hoekpunt vinden:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

We nemen het punt met de coördinaten $(-1;-9)$ als beginpunt nieuw systeem coördinaten en construeer daarin een grafiek van de parabool $y=x^2$.

We zien twee snijpunten. Ze zijn gemarkeerd met zwarte stippen in de grafiek. We zijn de vergelijking voor x aan het oplossen, dus we moeten de abscis van deze punten kiezen. Ze zijn gelijk aan $-4$ en $2$.
De oplossing van de kwadratische vergelijking $x^2+2x-8=0$ is dus twee wortels: $ x_1=-4$ en $x_2=2$.

Methode 2. Transformeer de oorspronkelijke vergelijking naar de vorm: $x^2=8-2x$.
We kunnen deze vergelijking dus op de gebruikelijke grafische manier oplossen door de abscis van de snijpunten van de twee grafieken $y=x^2$ en $y=8-2x$ te vinden.
We hebben twee snijpunten verkregen waarvan de abscis samenvalt met de oplossingen verkregen in de eerste methode, namelijk: $x_1=-4$ en $x_2=2$.

Methode 3.
Laten we de oorspronkelijke vergelijking naar deze vorm transformeren: $x^2-8=-2x$.
Laten we twee grafieken $y=x^2-8$ en $y=-2x$ bouwen en hun snijpunten vinden.
De grafiek van $y=x^2-8$ is een parabool die 8 eenheden naar beneden is verschoven.
We hebben twee snijpunten verkregen en de abscis van deze punten is hetzelfde als bij de twee voorgaande methoden, namelijk: $x_1=-4$ en $x_2=2$.

Methode 4.
Laten we benadrukken perfecte vierkant in de oorspronkelijke vergelijking: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Laten we twee grafieken maken van de functies $y=(x+1)^2$ en $y=9$. De grafiek van de eerste functie is een parabool die één eenheid naar links is verschoven. De grafiek van de tweede functie is een rechte lijn evenwijdig aan de abscis-as en door de ordinaat gelijk aan $9$.
Opnieuw hebben we twee snijpunten van de grafieken verkregen, en de abscis van deze punten vallen samen met die verkregen in de vorige methoden $x_1=-4$ en $x_2=2$.

Methode 5.
Deel de oorspronkelijke vergelijking door x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Laten we deze vergelijking grafisch oplossen, twee grafieken $y=x+2$ en $y=\frac(8)(x)$ construeren.
Opnieuw hebben we twee snijpunten, en de abscis van deze punten vallen samen met die verkregen boven $x_1=-4$ en $x_2=2$.

Algoritme voor grafische oplossing van kwadratische functies

Jongens, we hebben vijf manieren bekeken om kwadratische vergelijkingen grafisch op te lossen. Bij elk van deze methoden bleken de wortels van de vergelijkingen hetzelfde te zijn, wat betekent dat de oplossing correct werd verkregen.

Basismethoden voor het grafisch oplossen van kwadratische vergelijkingen $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - alle getallen, maar $a≠0$:
1. Construeer een grafiek van de functie $y=ax^2+bx+c$, zoek de snijpunten met de abscis-as, die de oplossing voor de vergelijking zullen zijn.
2. Construeer twee grafieken $y=ax^2$ en $y=-bx-c$, zoek de abscis van de snijpunten van deze grafieken.
3. Construeer twee grafieken $y=ax^2+c$ en $y=-bx$, zoek de abscis van de snijpunten van deze grafieken. De grafiek van de eerste functie zal een parabool zijn, naar beneden of naar boven verschoven, afhankelijk van het teken van het getal c. De tweede grafiek is een rechte lijn die door de oorsprong gaat.
4. Selecteer een compleet vierkant, dat wil zeggen, breng de oorspronkelijke vergelijking in de vorm: $a(x+l)^2+m=0$.
Construeer twee grafieken van de functie $y=a(x+l)^2$ en $y=-m$, zoek hun snijpunten. De grafiek van de eerste functie zal een parabool zijn die naar links of naar rechts is verschoven, afhankelijk van het teken van het getal $l$. De grafiek van de tweede functie zal een rechte lijn zijn, evenwijdig aan de abscis-as en de ordinaat-as snijdend in een punt gelijk aan $-m$.
5. Deel de oorspronkelijke vergelijking door x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Converteren naar de vorm: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Construeer opnieuw twee grafieken en vind hun snijpunten. De eerste grafiek is een hyperbool, de tweede grafiek is een rechte lijn. Helaas is de grafische methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen niet altijd hetzelfde op een goede manier oplossingen. De snijpunten van verschillende grafieken zijn niet altijd gehele getallen of kunnen zeer grote getallen op de abscis (ordinaat) hebben. grote cijfers, die niet op een gewoon vel papier kan worden gebouwd.

Laten we al deze methoden duidelijker demonstreren met een voorbeeld.

Voorbeeld.
Los de vergelijking op: $x^2+3x-12=0$,

Oplossing.
Laten we de parabool uitzetten en de coördinaten van de hoekpunten vinden: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1.5$.
$y_(в)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
Bij het construeren van een dergelijke parabool ontstaan ​​er direct problemen, bijvoorbeeld bij het correct markeren van de top van de parabool. Om de ordinaat van het hoekpunt nauwkeurig te markeren, moet u één cel selecteren die gelijk is aan 0,25 schaaleenheden. Op deze schaal moet je 35 eenheden omlaag gaan, wat lastig is. Hoe dan ook, laten we ons schema opstellen.
Het tweede probleem dat we tegenkomen is dat de grafiek van onze functie de x-as snijdt op een punt met coördinaten die niet nauwkeurig kunnen worden bepaald. Een benaderende oplossing is mogelijk, maar wiskunde is een exacte wetenschap.
De grafische methode is dus niet de handigste. Daarom vereist het oplossen van kwadratische vergelijkingen een meer universele methode, die we in de volgende lessen zullen bestuderen.

Problemen om zelfstandig op te lossen

1. Los de vergelijking grafisch op (op alle vijf manieren): $x^2+4x-12=0$.
2. Los de vergelijking op met behulp van een grafische methode: $-x^2+6x+16=0$.

>>Wiskunde: grafische oplossing van vergelijkingen

Grafische oplossing van vergelijkingen

Laten we onze kennis over samenvatten grafieken functies. We hebben geleerd hoe we grafieken van de volgende functies kunnen maken:

y =b (rechte lijn evenwijdig aan de x-as);

y = kx (lijn die door de oorsprong gaat);

y - kx + m (rechte lijn);

y = x 2 (parabool).

Kennis van deze grafieken zal ons in staat stellen om, indien nodig, de analytische te vervangen model geometrisch (grafisch), bijvoorbeeld, in plaats van het model y = x 2 (dat een gelijkheid vertegenwoordigt met twee variabelen x en y), beschouw een parabool in het coördinatenvlak. In het bijzonder is het soms nuttig voor het oplossen van vergelijkingen. Laten we bespreken hoe dit wordt gedaan aan de hand van verschillende voorbeelden.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor groep 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Inhoud van de les lesaantekeningen ondersteunende frameleinteractieve technologieën Oefening taken en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, diagrammen, humor, anekdotes, grappen, strips, gelijkenissen, gezegden, kruiswoordraadsels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen trucs voor nieuwsgierigen kribben leerboeken basis- en aanvullend woordenboek met termen overige Verbetering van leerboeken en lessenhet corrigeren van fouten in het leerboek het bijwerken van een fragment in een leerboek, elementen van innovatie in de les, het vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar methodologische aanbevelingen discussie programma's Geïntegreerde lessen

In deze videoles wordt het onderwerp “Functie y=x 2” ter studie aangeboden. Grafische oplossing van vergelijkingen." Tijdens deze les kunnen leerlingen kennis maken met een nieuwe manier om vergelijkingen op te lossen - grafisch, die gebaseerd is op kennis van de eigenschappen van grafieken van functies. De docent laat zien hoe je de functie y=x 2 grafisch oplost.

Onderwerp:Functie

Les:Functie. Grafische oplossing van vergelijkingen

Grafische oplossing van vergelijkingen is gebaseerd op kennis van functiegrafieken en hun eigenschappen. Laten we de functies opsommen waarvan we de grafieken kennen:

1), is de grafiek een rechte lijn evenwijdig aan de abscis-as, die door een punt op de ordinaat-as gaat. Laten we een voorbeeld bekijken: y=1:

Bij verschillende betekenissen we krijgen een familie van rechte lijnen evenwijdig aan de x-as.

2) Functie van directe evenredigheid, de grafiek van deze functie is een rechte lijn die door de oorsprong van coördinaten gaat. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

We hebben deze grafieken al in eerdere lessen gemaakt; onthoud dat om elke lijn te construeren, je een punt moet selecteren dat eraan voldoet, en de oorsprong van de coördinaten als tweede punt neemt.

Laten we ons de rol van de coëfficiënt k herinneren: naarmate de functie toeneemt, wordt de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. Bovendien bestaat de volgende relatie tussen twee parameters k met hetzelfde teken: voor positieve k geldt: hoe groter deze is, hoe sneller de functie toeneemt, en voor negatieve k neemt de functie sneller af bij grote waarden k module.

3) Lineaire functie. Wanneer - we het snijpunt met de ordinaat verkrijgen en alle rechte lijnen van dit type door het punt (0; m) gaan. Naarmate de functie toeneemt, wordt bovendien de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. En natuurlijk beïnvloedt de waarde van k de snelheid waarmee de functiewaarde verandert.

4). De grafiek van deze functie is een parabool.

Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeeld 1 - los de vergelijking grafisch op:

We kennen dit soort functies niet, dus moeten we de gegeven vergelijking transformeren om met bekende functies te kunnen werken:

We krijgen bekende functies aan beide kanten van de vergelijking:

Laten we grafieken van functies maken:

De grafieken hebben twee snijpunten: (-1; 1); (2; 4)

Laten we controleren of de oplossing correct is gevonden en de coördinaten in de vergelijking vervangen:

Het eerste punt werd correct gevonden.

, , , , , ,

Ook het tweede punt werd correct gevonden.

De oplossingen voor de vergelijking zijn dus en

We gaan op dezelfde manier te werk als in het vorige voorbeeld: we transformeren de gegeven vergelijking in ons bekende functies, construeren hun grafieken, vinden de snijstromen en geven van hieruit de oplossingen aan.

We krijgen twee functies:

Laten we grafieken maken:

Deze grafieken hebben geen snijpunten, wat betekent dat de gegeven vergelijking geen oplossingen heeft

Conclusie: in deze les hebben we de ons bekende functies en hun grafieken beoordeeld, hun eigenschappen onthouden en gekeken naar de grafische methode voor het oplossen van vergelijkingen.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. en anderen. M.: Verlichting. 2010

2. Merzlyak AG, Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. en anderen. 2006

Taak 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. en anderen.

Taak 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. en anderen.

Taak 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. en anderen.

Stel dat er een volledige kwadratische vergelijking is: A*x2+B*x+C=0, waarbij A, B en C willekeurige getallen zijn, en A niet gelijk is aan nul. Dit is een algemeen geval van een kwadratische vergelijking. Er bestaat ook een gereduceerde vorm waarin A=1. Om een ​​vergelijking grafisch op te lossen, moet je de term met de hoogste graad naar een ander deel verplaatsen en beide delen gelijkstellen aan een variabele.

Hierna blijft A*x2 aan de linkerkant van de vergelijking, en B*x-C aan de rechterkant (we kunnen aannemen dat B negatief getal, dit verandert niets aan de essentie). De resulterende vergelijking is A*x2=B*x-C=y. Voor de duidelijkheid worden in dit geval beide delen gelijkgesteld aan de variabele y.

Grafieken maken en resultaten verwerken

Nu kunnen we twee vergelijkingen schrijven: y=A*x2 en y=B*x-C. Vervolgens moet u van elk van deze functies een grafiek tekenen. De grafiek y=A*x2 is een parabool met een hoekpunt in de oorsprong, waarvan de takken naar boven of naar beneden gericht zijn, afhankelijk van het teken van het getal A. Als het negatief is, zijn de takken naar beneden gericht, als het positief is, de takken zijn naar boven gericht.

De grafiek y=B*x-C is een regelmatige rechte lijn. Als C=0, gaat de lijn door de oorsprong. In het algemene geval wordt een segment gelijk aan C afgesneden van de ordinaatas van deze lijn ten opzichte van de abscis-as. Deze is gelijk aan de raaklijn van de helling van deze hoek.

Nadat de grafieken zijn uitgezet, blijkt dat ze elkaar op twee punten snijden. De coördinaten van deze punten langs de x-as bepalen de wortels van de kwadratische vergelijking. Om ze nauwkeurig te bepalen, moet je duidelijk grafieken maken en de juiste schaal kiezen.

Nog een grafische oplossing

Er is een andere manier om een ​​kwadratische vergelijking grafisch op te lossen. Het is niet nodig om B*x+C naar een andere kant van de vergelijking te verplaatsen. U kunt onmiddellijk de functie y=A*x2+B*x+C plotten. Zo'n grafiek is een parabool met een hoekpunt op een willekeurig punt. Deze methode is ingewikkelder dan de vorige, maar je kunt slechts één grafiek maken, zodat...

Eerst moet je het hoekpunt van de parabool bepalen met de coördinaten x0 en y0. De abscis wordt berekend met de formule x0=-B/2*a. Om de ordinaat te bepalen, moet u de resulterende absciswaarde vervangen door de oorspronkelijke functie. Wiskundig gezien wordt deze verklaring als volgt geschreven: y0=y(x0).

Vervolgens moet je twee punten vinden die symmetrisch zijn ten opzichte van de as van de parabool. Daarin moet de oorspronkelijke functie verdwijnen. Hierna kun je een parabool bouwen. De snijpunten met de X-as geven twee wortels van de kwadratische vergelijking.