Aangrenzende en verticale hoeken 1e niveau. Hoek

24.09.2019

HOOFDSTUK I.

BASISCONCEPTEN.

§11. AANGRENZENDE EN VERTICALE HOEKEN.

1. Aangrenzende hoeken.

Als we de zijde van een willekeurige hoek voorbij het hoekpunt verlengen, krijgen we twee hoeken (Fig. 72): / En de zon en / SVD, waarbij één zijde BC gebruikelijk is en de andere twee A en BD een rechte lijn vormen.

Twee hoeken waarvan één zijde gemeenschappelijk is en de andere twee een rechte lijn vormen, worden aangrenzende hoeken genoemd.

Aangrenzende hoeken kunnen ook op deze manier worden verkregen: als we een straal tekenen vanaf een bepaald punt op een lijn (niet liggend op een bepaalde lijn), krijgen we aangrenzende hoeken.
Bijvoorbeeld, / ADF en / FDВ - aangrenzende hoeken (Fig. 73).

Aangrenzende hoeken kunnen een grote verscheidenheid aan posities hebben (Fig. 74).

Aangrenzende hoeken vormen samen een rechte hoek, dus uhm van twee aangrenzende hoeken gelijk aan 2D.

Daarom kan een rechte hoek worden gedefinieerd als een hoek die gelijk is aan de aangrenzende hoek.

Als we de grootte van een van de aangrenzende hoeken kennen, kunnen we de grootte van de andere aangrenzende hoek vinden.

Als een van de aangrenzende hoeken bijvoorbeeld 3/5 is D, dan is de tweede hoek gelijk aan:

2D- 3 / 5 D= l2 / 5 D.

2. Verticale hoeken.

Als we de zijden van de hoek voorbij het hoekpunt verlengen, krijgen we verticale hoeken. In tekening 75 zijn de hoeken EOF en AOC verticaal; hoeken AOE en COF zijn ook verticaal.

Twee hoeken worden verticaal genoemd als de zijden van de ene hoek een voortzetting zijn van de zijden van de andere hoek.

Laten / 1 = 7 / 8 D(Figuur 76). Grenzend eraan / 2 zal gelijk zijn aan 2 D- 7 / 8 D, d.w.z. 1 1/8 D.

Op dezelfde manier kun je berekenen waaraan ze gelijk zijn / 3 en / 4.
/ 3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; / 4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(schema 77).

Wij zien dat / 1 = / 3 en / 2 = / 4.

Je kunt nog een aantal van dezelfde problemen oplossen, en elke keer krijg je hetzelfde resultaat: de verticale hoeken zijn gelijk aan elkaar.

Om er zeker van te zijn dat verticale hoeken altijd gelijk aan elkaar zijn, is het echter niet voldoende om individuele numerieke voorbeelden te beschouwen, aangezien conclusies uit bepaalde voorbeelden soms onjuist kunnen zijn.

Het is noodzakelijk om de geldigheid van de eigenschappen van verticale hoeken te verifiëren door te redeneren, door te bewijzen.

Het bewijs kan als volgt worden uitgevoerd (Afb. 78):

/ een+/ C = 2D;
/ b+/ C = 2D;

(aangezien de som van aangrenzende hoeken 2 is D).

/ een+/ C = / b+/ C

(aangezien de linkerkant van deze gelijkheid ook gelijk is aan 2 D, en de rechterkant is ook gelijk aan 2 D).

Deze gelijkheid omvat dezelfde hoek Met.

Als we van gelijke hoeveelheden gelijke hoeveelheden aftrekken, blijven er gelijke hoeveelheden over. Het resultaat zal zijn: / A = / B, dat wil zeggen dat de verticale hoeken gelijk zijn aan elkaar.

Toen we de kwestie van verticale hoeken bekeken, hebben we eerst uitgelegd welke hoeken verticaal worden genoemd, d.w.z. definitie verticale hoeken.

Vervolgens hebben we een oordeel (verklaring) afgelegd over de gelijkheid van de verticale hoeken en zijn we door middel van bewijs overtuigd van de geldigheid van dit oordeel. Dergelijke oordelen, waarvan de geldigheid moet worden bewezen, worden genoemd stellingen. Daarom gaven we in deze sectie een definitie van verticale hoeken, en stelden en bewezen we ook een stelling over hun eigenschappen.

In de toekomst zullen we bij het bestuderen van de meetkunde voortdurend definities en bewijzen van stellingen tegenkomen.

3. De som van de hoeken die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben.

Op tekening 79 / 1, / 2, / 3 en / 4 bevinden zich aan één kant van een lijn en hebben een gemeenschappelijk hoekpunt op deze lijn. Samenvattend vormen deze hoeken een rechte hoek, d.w.z.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2D.

Op tekening 80 / 1, / 2, / 3, / 4 en / 5 hebben een gemeenschappelijk hoekpunt. Samenvattend vormen deze hoeken een volledige hoek, d.w.z. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.

Oefeningen.

1. Een van de aangrenzende hoeken is 0,72 D. Bereken de hoek gevormd door de deellijnen van deze aangrenzende hoeken.

2. Bewijs dat de deellijnen van twee aangrenzende hoeken een rechte hoek vormen.

3. Bewijs dat als twee hoeken gelijk zijn, hun aangrenzende hoeken ook gelijk zijn.

4. Hoeveel paren aangrenzende hoeken zijn er in tekening 81?

5. Kan een paar aangrenzende hoeken uit twee scherpe hoeken bestaan? vanuit twee stompe hoeken? vanuit rechte en stompe hoeken? vanuit een rechte en scherpe hoek?

6. Als een van de aangrenzende hoeken juist is, wat kan er dan worden gezegd over de grootte van de aangrenzende hoek?

7. Als op het snijpunt van twee rechte lijnen één hoek goed is, wat kan er dan gezegd worden over de grootte van de andere drie hoeken?

In deze les zullen we het concept van aangrenzende hoeken bekijken en begrijpen. Laten we eens een stelling bekijken die hen aangaat. Laten we het concept van “verticale hoeken” introduceren. Laten we eens kijken naar enkele ondersteunende feiten over deze hoeken. Vervolgens formuleren en bewijzen we twee gevolgtrekkingen over de hoek tussen de deellijnen van verticale hoeken. Aan het einde van de les zullen we verschillende problemen over dit onderwerp bekijken.

Laten we onze les beginnen met het concept van "aangrenzende hoeken". Figuur 1 toont de ontwikkelde hoek ∠AOC en de straal OB, die deze hoek in 2 hoeken verdeelt.

Rijst. 1. Hoek ∠AOC

Laten we de hoeken ∠AOB en ∠BOC bekijken. Het is vrij duidelijk dat ze een gemeenschappelijke zijde VO hebben, en dat de zijden AO en OS tegengesteld zijn. Stralen OA en OS vullen elkaar aan, wat betekent dat ze op dezelfde rechte lijn liggen. Hoeken ∠AOB en ∠BOC liggen naast elkaar.

Definitie: Als twee hoeken een gemeenschappelijke zijde hebben, en de andere twee zijden complementaire stralen zijn, dan worden deze hoeken genoemd aangrenzend.

Stelling 1: De som van aangrenzende hoeken is 180 o.

Rijst. 2. Tekening voor Stelling 1

∠MOL + ∠LON = 180 o. Deze bewering is waar, aangezien de straal OL de uitgevouwen hoek ∠MON in twee aangrenzende hoeken verdeelt. Dat wil zeggen, we kennen de graadmaten van geen van de aangrenzende hoeken, maar we kennen alleen hun som: 180 graden.

Beschouw het snijpunt van twee lijnen. De figuur toont het snijpunt van twee lijnen in punt O.

Rijst. 3. Verticale hoeken ∠ВОА en ∠СOD

Definitie: Als de zijden van één hoek een voortzetting zijn van de tweede hoek, worden dergelijke hoeken verticaal genoemd. Daarom toont de figuur twee paar verticale hoeken: ∠AOB en ∠COD, evenals ∠AOD en ∠BOC.

Stelling 2: Verticale hoeken zijn gelijk.

Laten we figuur 3 gebruiken. Beschouw de geroteerde hoek ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Laten we de ontwikkelde hoek ∠BOD bekijken. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

Uit deze overwegingen concluderen we dat ∠AOB = ∠COD = α. Op dezelfde manier geldt ∠AOD = ∠BOS = β.

Gevolg 1: De hoek tussen de deellijnen van aangrenzende hoeken is 90°.

Rijst. 4. Tekening voor gevolg 1

Omdat OL de bissectrice is van de hoek ∠BOA, is de hoek ∠LOB = , vergelijkbaar met ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . De som van de hoeken α + β is gelijk aan 180°, aangezien deze hoeken aangrenzend zijn.

Gevolg 2: De hoek tussen de deellijnen van verticale hoeken is 180°.

Rijst. 5. Tekening voor gevolg 2

KO is de bissectrice ∠AOB, LO is de bissectrice ∠COD. Het is duidelijk dat ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. De som van de hoeken α + β is gelijk aan 180°, aangezien deze hoeken aangrenzend zijn.

Laten we een aantal taken bekijken:

Zoek de hoek grenzend aan ∠AOC als ∠AOC = 111 o.

Laten we een tekening maken voor de taak:

Rijst. 6. Tekening bijvoorbeeld 1

Omdat ∠AOC = β en ∠COD = α aangrenzende hoeken zijn, is α + β = 180 o. Dat wil zeggen, 111 o + β = 180 o.

Dit betekent β = 69 o.

Dit type probleem maakt gebruik van de stelling van de som van aangrenzende hoeken.

Eén van de aangrenzende hoeken is een rechte hoek, wat is de andere hoek (scherp, stomp of rechts)?

Als een van de hoeken goed is en de som van de twee hoeken 180° is, dan is de andere hoek ook goed. Dit probleem test de kennis over de som van aangrenzende hoeken.

Is het waar dat als aangrenzende hoeken gelijk zijn, het dan ook rechte hoeken zijn?

Laten we een vergelijking maken: α + β = 180 o, maar aangezien α = β, dan is β + β = 180 o, wat betekent dat β = 90 o.

Antwoord: Ja, de bewering is waar.

Er zijn twee gelijke hoeken gegeven. Is het waar dat de aangrenzende hoeken ook gelijk zullen zijn?

Rijst. 7. Tekening bijvoorbeeld 4

Als twee hoeken gelijk zijn aan α, dan zijn hun overeenkomstige aangrenzende hoeken 180 o - α. Dat wil zeggen, ze zullen gelijk zijn aan elkaar.

Antwoord: De stelling is juist.

Alexandrov AD, Werner AL, Ryzhik V.I. en anderen. Geometrie 7. - M.: Onderwijs.
Atanasyan LS, Butuzov VF, Kadomtsev SB en anderen. Geometrie 7. 5e ed. - M.: Verlichting.
\Butuzov VF, Kadomtsev SB, Prasolova VV Geometrie 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, onder redactie van V.A. Sadovnichigo. - M.: Onderwijs, 2010.

Meting van segmenten ().
Algemene les over geometrie in het 7e leerjaar ().
Rechte lijn, segment ().

Nr. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, onder redactie van V.A. Sadovnichigo. - M.: Onderwijs, 2010.
Vind twee aangrenzende hoeken als de ene vier keer de andere is.
Gezien de hoek. Construeer er aangrenzende en verticale hoeken voor. Hoeveel van zulke hoeken kunnen er geconstrueerd worden?
* In welk geval worden meer paren verticale hoeken verkregen: wanneer drie rechte lijnen elkaar in één punt of op drie punten snijden?

Meetkunde is een zeer veelzijdige wetenschap. Het ontwikkelt logica, verbeeldingskracht en intelligentie. Vanwege de complexiteit en het enorme aantal stellingen en axioma's vinden schoolkinderen het natuurlijk niet altijd leuk. Daarnaast is het nodig om je conclusies voortdurend te bewijzen aan de hand van algemeen aanvaarde normen en regels.

Aangrenzende en verticale hoeken zijn een integraal onderdeel van de geometrie. Zeker, veel schoolkinderen zijn er gewoon dol op omdat hun eigenschappen duidelijk en gemakkelijk te bewijzen zijn.

Vorming van hoeken

Elke hoek wordt gevormd door het snijden van twee rechte lijnen of het trekken van twee stralen vanuit één punt. Ze kunnen één letter of drie worden genoemd, die opeenvolgend de punten aangeven waarop de hoek is geconstrueerd.

Hoeken worden gemeten in graden en kunnen (afhankelijk van hun waarde) anders worden genoemd. Er is dus een rechte hoek, scherp, stomp en uitgevouwen. Elk van de namen komt overeen met een bepaalde graadmaat of het interval ervan.

Een scherpe hoek is een hoek waarvan de afmeting niet groter is dan 90 graden.

Een stompe hoek is een hoek groter dan 90 graden.

Een hoek wordt rechts genoemd als de graadmaat 90 is.

In het geval dat het wordt gevormd door één ononderbroken rechte lijn en de graadmaat 180 is, wordt dit uitgebreid genoemd.

Hoeken die een gemeenschappelijke zijde hebben, waarvan de tweede zijde elkaar voortzet, worden aangrenzend genoemd. Ze kunnen scherp of bot zijn. Het snijpunt van de lijn vormt aangrenzende hoeken. Hun eigenschappen zijn als volgt:

De som van deze hoeken zal gelijk zijn aan 180 graden (er is een stelling die dit bewijst). Daarom kan men gemakkelijk de ene berekenen als de andere bekend is.
Uit het eerste punt volgt dat aangrenzende hoeken niet kunnen worden gevormd door twee stompe of twee scherpe hoeken.

Dankzij deze eigenschappen is het altijd mogelijk om de graadmaat van een hoek te berekenen, gegeven de waarde van een andere hoek, of op zijn minst de verhouding daartussen.

Verticale hoeken

Hoeken waarvan de zijden een voortzetting van elkaar zijn, worden verticaal genoemd. Elk van hun variëteiten kan als zo'n paar fungeren. Verticale hoeken zijn altijd gelijk aan elkaar.

Ze worden gevormd wanneer rechte lijnen elkaar kruisen. Daarnaast zijn er altijd aangrenzende hoeken aanwezig. Een hoek kan voor de een tegelijkertijd aangrenzend en voor de ander verticaal zijn.

Bij het overschrijden van een willekeurige lijn worden ook verschillende andere soorten hoeken in aanmerking genomen. Zo'n lijn wordt een secanslijn genoemd en vormt overeenkomstige, eenzijdige en kruislings liggende hoeken. Ze zijn gelijk aan elkaar. Ze kunnen worden bekeken in het licht van de eigenschappen die verticale en aangrenzende hoeken hebben.

Het onderwerp hoeken lijkt dus vrij eenvoudig en begrijpelijk. Al hun eigenschappen zijn gemakkelijk te onthouden en te bewijzen. Het oplossen van problemen is niet moeilijk zolang de hoeken een numerieke waarde hebben. Later, wanneer de studie van zonde en cos begint, zul je veel complexe formules, hun conclusies en consequenties uit je hoofd moeten leren. Tot die tijd kun je gewoon genieten van eenvoudige puzzels waarbij je aangrenzende hoeken moet vinden.

Gelijk aan twee rechte hoeken .

Gegeven twee aangrenzende hoeken: AOB En VOS. Er moet worden bewezen dat:

∠AOB+∠BOS=d+ D = 2d

Laten we vanaf het punt herstellen OVER naar een rechte lijn AC loodrecht O.D.. We hebben de hoek AOB in twee delen AOD en DOB verdeeld, zodat we kunnen schrijven:

∠AOB = ∠ AOD+∠ DO.B.

Laten we aan beide zijden van deze gelijkheid dezelfde hoek toevoegen BOC, waarom gelijkheid niet zal worden geschonden:

∠ AOB + ∠ B.O.MET= ∠AOD + ∠ DO.B. + ∠ B.O.MET

Sinds het bedrag DO.B. + BOC bedraagt rechte hoek DOENMET, Dat

∠ AOB+ ∠ B.O.MET= ∠ AOD + ∠ DOENMET= D + D = 2 D,

QED

Gevolgen.

1. Som van hoeken (AOB,BOC, СOD, DOE), gelegen rond een gemeenschappelijk hoekpunt (O) aan één kant van de rechte lijn ( AE) gelijk is aan 2 D= 180 0 , omdat dit bedrag de som is van twee aangrenzende hoeken, bijvoorbeeld deze: AOS + SOE

2. Som van hoeken gelegen rond een gemeenschappelijk pieken (O) aan beide zijden van een rechte lijn is gelijk aan 4 d=360 0,

Omgekeerde stelling.

Als som van twee hoeken, met een gemeenschappelijk hoekpunt en een gemeenschappelijke zijde en die elkaar niet bedekken, is gelijk aan twee rechte hoeken (2d), dan zijn zulke hoeken aangrenzend, d.w.z. hun andere twee kanten zijn rechte lijn.

Als we vanuit een punt (O) van een rechte lijn (AB) de loodlijnen erop herstellen, aan elke kant, dan vormen deze loodlijnen één rechte lijn (CD). Vanaf elk punt buiten een lijn kun je naar deze lijn gaan loodrecht en slechts één daarbij.

Omdat som van hoeken MAÏSKOLF En BOD gelijk aan 2d.

DirectMET waarvan delen OMET En O.D. dienen als loodlijnen op een lijn AB, heet een lijn loodrecht op AB.

Als het recht is METD loodrecht op de lijn AB, en dan omgekeerd: AB loodrecht op METD, omdat onderdelen O.A. En O.B. dienen ook loodrecht op METD. Daarom recht AB En METD worden genoemd onderling loodrecht.

Die twee zijn hetero AB En METD onderling loodrecht, als volgt schriftelijk uitgedrukt AB^ METD.

De twee hoeken worden genoemd verticaal, als de zijkanten van de een een voortzetting zijn van de zijkanten van de ander.

Dus op het snijpunt van twee lijnen AB En METD er worden twee paar verticale hoeken gevormd: AOD En MAÏSKOLF; AOC En DO.B. .

Stelling.

Twee verticale hoek gelijkwaardig .

Laten we twee verticale hoeken geven: AOD En METO.B. die. O.B. er is een vervolg O.A., A OMET voortzetting O.D..

Het is nodig om dat te bewijzen AOD = METO.B.

Op basis van de eigenschap van aangrenzende hoeken kunnen we schrijven:

AOD + DO.B.= 2 D

DOB + BOC = 2d

Middelen: AOD + DOB = DOB + BOC.

Als we beide kanten hiervan aftrekken gelijkwaardigheid per hoek DO.B., wij krijgen:

AOD = BOC, wat bewezen moest worden.

Wij zullen dat op dezelfde manier bewijzen AOC = DO.B..

over het onderwerp: Aangrenzende en verticale hoeken, hun eigenschappen.

(3 lessen)

Als resultaat van het bestuderen van het onderwerp heb je nodig:

KUNNEN:

Begrippen: aangrenzende en verticale hoeken, loodrechte lijnen

Maak onderscheid tussen aangrenzende en verticale hoeken

Aangrenzende en verticale hoekstellingen

Los problemen op met behulp van de eigenschappen van aangrenzende en verticale hoeken

Eigenschappen van aangrenzende en verticale hoeken

Construeer aangrenzende en verticale hoeken loodrecht op rechte lijnen

LITERATUUR:

1. Geometrie. 7e leerjaar. Zh Kaydasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012

2. Geometrie. 7e leerjaar. KOBukubaeva, AT Mirazova. Almaty "Atamura" 2012

3. Geometrie. 7e leerjaar. Methodische handleiding. K.O. Almaty "Atamura" 2012

4. Geometrie. 7e leerjaar. Didactisch materiaal. A.N. Almaty "Atamura" 2012

5. Geometrie. 7e leerjaar. Verzameling van taken en oefeningen. K.O. Bukubaeva, A.T. Almaty "Atamura" 2012

Vergeet niet dat je volgens het algoritme moet werken!

Vergeet niet te controleren, maak aantekeningen in de kantlijn,

Laat alstublieft geen vragen onbeantwoord.

Wees objectief tijdens de wederzijdse verificatie, dit zal zowel u als de persoon helpen

wie controleer je?

IK WENS JE SUCCES!

TAAK nr. 1.

Lees de definitie en leer (2b):

Definitie. Hoeken waarbij één zijde gemeenschappelijk is en de andere twee zijden extra stralen zijn, worden aangrenzend genoemd.

2) Leer en schrijf de stelling in je notitieboekje: (2b)

De som van aangrenzende hoeken is 180.

Gegeven:

∠ ANM en∠ DOV – data aangrenzende hoeken

OD - gemeenschappelijke zijde

Bewijzen:

∠ AOD +∠ DOV = 180

Bewijs:

Gebaseerd op het axiomaIII 4:

∠ AOD +∠ DOV=∠ AOB.

∠ AOB - uitgebreid. Vandaar,

∠ AOD +∠ DOV = 180

De stelling is bewezen.

3) Uit de stelling volgt: (2b)

1) Als twee hoeken gelijk zijn, dan zijn hun aangrenzende hoeken gelijk;

2) als aangrenzende hoeken gelijk zijn, dan is de graadmaat van elk ervan 90°.

Herinneren!

Een hoek gelijk aan 90° wordt een rechte hoek genoemd.

Een hoek kleiner dan 90° wordt een scherpe hoek genoemd.

Een hoek groter dan 90° en kleiner dan 180° wordt een stompe hoek genoemd.

Rechte hoek Scherpe hoek Stompe hoek

Omdat de som van aangrenzende hoeken dus 180° is

1) een hoek grenzend aan een rechte hoek, recht;

2) de hoek grenzend aan de scherpe hoek is stomp;

3) een hoek grenzend aan een stompe hoek is scherp.

4) Overweeg een voorbeeldoplossingadachi:

a) Gegeven:∠ HkEn∠ kl- aangrenzend;∠ Hkmeer∠ klbij 50°.

Vinden:∠ HkEn∠ kl.

Oplossing: laat∠ kl= x, dus∠ Hk= x + 50°. Door de eigenschap van de som van aangrenzende hoeken∠ kl + ∠ Hk= 180°.

x + x + 50° = 180°;

2x = 180° - 50°;

2x = 130°;

x = 65°.

∠ kl= 65°;∠ Hk= 65°+ 50° = 115°.

Antwoord: 115° en 65°.

b) Laat∠ kl= x, dus∠ Hk= 3x

x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.

Antwoord: 135° en 45°.

5) Werken met het bepalen van aangrenzende hoeken: (2 b)

6) Vind fouten in definities: (2b)

Slaag voor test #1

Taak nr. 2

1) Construeer 2 aangrenzende hoeken zodat hun gemeenschappelijke zijde door punt C gaat en de zijde van een van de hoeken samenvalt met straal AB (2b).

2). Praktisch werk om de eigenschappen van aangrenzende hoeken te ontdekken: (5b)

Vooruitgang van het werk

1. Construeer een hoekaangrenzende hoekA , AlsA : scherp, recht, bot.

2. Meet de hoeken.

3. Voer de meetgegevens in de tabel in.

4. Zoek de relatie tussen de hoekenA En.

5. Trek een conclusie over de eigenschap van aangrenzende hoeken.

Slaag voor test #2

Taak nr. 3

Teken het niet-uitgevouwen∠ AOB en noem de stralen die de zijden van deze hoek zijn.

Teken straal O, die een voortzetting is van straal OA, en straal OD, die een voortzetting is van straal OB.

Schrijf in je notitieboekje: hoeken∠ AOB en∠ SOD's worden verticaal genoemd. (3b)

Leer en schrijf in je notitieboekje: (4b)

Definitie: Hoeken waarin de zijden van de ene complementaire stralen van de andere zijn, worden genoemdverticale hoeken.

< 1 en<2, <3 и <4 verticale hoeken

StralenVANEnO.A. , O.C.EnO.E.zijn paarsgewijze complementaire stralen.

Stelling: Verticale hoeken zijn gelijk.

Bewijs.

Verticale hoeken worden gevormd wanneer twee rechte lijnen elkaar kruisen. Laat rechte lijnen a enBsnijden elkaar in punt O.∠ 1 en∠ 2 – verticale hoeken.

∠ AOC-uitgebreid, dat wil zeggen∠ AOC = 180°. Echter∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, d.w.z.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, vanaf hier hebben we:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

Dat hebben wij ook∠ DOV = 180°, vanaf hier∠ 2+ ∠ 3= 180°, of∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)

Omdat in gelijkheden (1) en (2) de rechte delen dus gelijk zijn∠ 1= ∠ 2.

De stelling is bewezen.

5). Werken met het bepalen van verticale hoeken: (2b)

6) Zoek de fout in de definitie: (2b).

Slaag voor test #3

Taak nr. 4

1) Praktisch werk over het ontdekken van de eigenschappen van verticale hoeken: (5b)

Voortgang van het werk:

1. Construeer de hoek β verticale hoekα , Alsα :

scherp, recht, bot.

2. Meet de hoeken.

3. Voer de meetgegevens in de tabel in

4. Zoek het verband tussen de hoeken α en β.

5. Trek een conclusie over de eigenschappen van verticale hoeken.

2) Bewijs van de eigenschappen van aangrenzende en verticale hoeken. (3b)

2) Overweeg een voorbeeldoplossingadachi.

Taak. Lijnen AB en CD snijden elkaar in punt O zodat∠ AOD = 35°. Zoek de hoeken AOC en BOC.

Oplossing:

1) De hoeken AOD en AOS liggen dus naast elkaar∠ BOC= 180° - 35° = 145°.

2) De hoeken AOC en BOC liggen dus ook naast elkaar∠ BOC= 180° - 145° = 35°.

Middelen,∠ BOC = ∠ AOD = 35°, en deze hoeken zijn verticaal. Vraag: Is het waar dat alle verticale hoeken gelijk zijn?

3) Problemen oplossen op voltooide tekeningen: (3b)

1. Zoek de hoeken AOB, AOD, COD.

3) Zoek hoeken BOC, FOA.: (3b)

3. Zoek aangrenzende en verticale hoeken in de figuur. Laat de waarden van de twee in de tekening gemarkeerde hoeken bekend zijn, 28? en 90?. Is het mogelijk om de waarden van de resterende hoeken te vinden zonder metingen uit te voeren (2b)

Slaag voor test nummer 4

Taak nr. 5

Test uw kennis door het invullenproefwerk nr. 1

Taak nr. 6

1) Bewijs zelf de eigenschappen van verticale hoeken en schrijf deze bewijzen in je notitieboekje. (3b)

Studenten moeten onafhankelijk, met behulp van de eigenschappen van verticale en aangrenzende hoeken, het feit rechtvaardigen dat als, wanneer twee rechte lijnen elkaar kruisen, een van de resulterende hoeken een rechte lijn is, de overige hoeken ook rechte hoeken zijn.

2) Los twee problemen op waaruit je kunt kiezen:

1. De graadmaten van aangrenzende hoeken hebben een verhouding van 7:2. Zoek deze hoeken.

2. Een van de hoeken die wordt gevormd wanneer twee rechte lijnen elkaar kruisen, is 11 keer kleiner dan de andere. Zoek elk van de hoeken (3b).

3. Zoek aangrenzende hoeken als hun verschil en hun som in de verhouding 2:9 liggen (3b).

Taak nr. 7

Goed gedaan! U kunt beginnen met testwerk nr. 2.

Proefwerk nr. 1.

Beslissen om een van de opties te kiezen (10b)

Optie 1

<1 и <2,

<3 и <2,

G)<1 и <3. Какие это углы?

Verwant

e) Teken (met het oog) een hoek van 30° en< abc, grenzend aan de gegeven

f) Welke hoeken worden verticaal genoemd?

Twee hoeken worden verticaal genoemd als ze gelijk zijn.

g) Trek vanuit punt A twee lijnen loodrecht op de lijnA

Je kunt maar één rechte lijn tekenen.

Optie 2

1. De leerling beantwoordde de vragen van de leraar en gaf passende antwoorden. Controleer of ze juist zijn door de woorden “JA”, “NEE”, “WEET NIET” in de derde kolom aan te kruisen. Indien “NEE”, noteer dan het juiste antwoord of voeg het ontbrekende antwoord toe.

<1 и <4,

<2 и <4

D)<1 и < 3 смежные?

Nee. Ze zijn verticaal

E) Welke lijnen worden loodrecht genoemd?

Twee lijnen worden loodrecht genoemd als ze elkaar loodrecht snijden

G) Teken verticale hoeken zodat hun zijden loodrecht op rechte lijnen staan.