tôi- một tập hợp bao gồm tất cả các số của hệ dư lượng modulo hoàn chỉnh tôi, nguyên tố cùng nhau với tôi. Giảm hệ thống khấu trừ modulo tôi bao gồm φ( tôi) số, trong đó φ( tôi) là hàm Euler. Là một hệ thống khấu trừ modulo giảm tôi Thông thường chúng tôi lấy những cái đồng nguyên tố với tôi các số từ 0 đến tôi - 1 .

Quỹ Wikimedia. 2010.

• Kéo và thả
• 2S25 "Sprut-SD"

Xem “Hệ thống khấu trừ giảm” là gì trong các từ điển khác:

Giảm hệ thống khấu trừ- một phần của hệ dư lượng hoàn chỉnh (Xem Hệ dư lượng hoàn chỉnh), bao gồm các số nguyên tố cùng nhau với mô đun m. tái bút V. chứa φ(m) số [φ(m) số các số nguyên tố cùng nhau với m và nhỏ hơn m]. Bất kỳ số φ(m) nào không thể so sánh được theo modulo m và... ... Bách khoa toàn thư vĩ đại của Liên Xô

Giảm hệ thống khấu trừ- Hệ thặng dư modulo m rút gọn là tập hợp gồm tất cả các số của hệ dư lượng modulo m hoàn chỉnh cùng nguyên tố với m. Hệ thặng dư modulo m đã cho bao gồm các số φ(m), trong đó φ(m) là hàm Euler. Như đã cho... ... Wikipedia

Nhóm nhân của vòng dư- Hệ lũy thừa modulo m rút gọn là tập hợp tất cả các số của hệ thặng dư modulo m hoàn chỉnh cùng nguyên tố với m. Hệ thặng dư rút gọn modulo m bao gồm các số φ(m), trong đó φ(·) là hàm Euler. Là một hệ thống khấu trừ giảm... ... Wikipedia

Hàm Euler- Đừng nhầm lẫn với hàm phân bố số nguyên tố. Ngàn giá trị đầu tiên Hàm Euler φ(n) có tính nhân ... Wikipedia

So sánh mô-đun- So sánh modulo số tự nhiên n trong lý thuyết số, quan hệ tương đương trên vành các số nguyên chia hết cho n. Vành thừa số trong quan hệ này được gọi là vành dư. Tập hợp các danh tính tương ứng và... ... Wikipedia

Nhóm cuối- Tính đối xứng của bông tuyết gắn liền với một nhóm phép quay qua một góc là bội số của 60°. Nhóm hữu hạn là một nhóm đại số chứa hữu hạn các phần tử (số này gọi là cấp của nó). Hơn nữa, nhóm được coi là có tính nhân, nghĩa là phép toán trong ... ... Wikipedia

Nhóm bốn người Klein- Nhóm bậc bốn Klein là nhóm bậc bốn, có vai trò quan trọng trong đại số cao cấp. Nội dung 1 Định nghĩa 2 Ký hiệu 3 ... Wikipedia

Cụ thể ta sẽ có (p a) = p a - p a-1, (p) = p-1.

Ví dụ. (60) = 60

(81) = 81-27 = 54

hàm nhân

Hàm (a) được gọi là hàm nhân nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

Hàm này được xác định cho tất cả các số nguyên dương a và không bằng 0 với ít nhất một số nguyên a như vậy.

Với mọi số nguyên tố dương a1 và a2 ta có:

(a 1 a 2) = (a 1) (a 2) .

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết so sánh

Thuộc tính so sánh

Chúng ta sẽ xem xét các số nguyên liên quan đến số dư khi chia chúng cho một số nguyên dương m cho trước, mà chúng ta sẽ gọi là môđun.

Mỗi số nguyên tương ứng với một số dư nhất định khi chia cho m. Nếu hai số nguyên a và b tương ứng với cùng phần dư r thì chúng được gọi là đẳng thức theo modulo m.

So sánh được hai số a và b modulo m được viết:

So sánh được hai số a và b modulo m tương đương với:

Có thể biểu diễn a dưới dạng a = b + mt, trong đó t là số nguyên.

Tính chia hết của a b cho m.

Thật vậy, từ a b (mod m) suy ra

a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r

từ đó a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1.

Ngược lại, từ a = b + mt, biểu diễn b là

b = mq 1 + r , 0<=r

chúng ta suy ra a = mq + r, q = q 1 + t, tức là ab (mod m).

Cả hai tuyên bố đã được chứng minh.

Hai số bằng số thứ ba thì có thể so sánh được với nhau.

So sánh có thể được thêm vào theo thuật ngữ.

Thật vậy, hãy

A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1).

Khi đó a 1 = b 1 + mt 1, a 2 = b 2 + mt 2, ..., a k = b k + mt k (2),

Từ đó a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), hoặc

a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m).

So sánh có thể được nhân với thuật ngữ.

Hãy xem xét (1) và (2). Nhân các đẳng thức (2) theo số hạng, ta thu được:

a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN,

trong đó N là số nguyên.

Do đó: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m).

Cả hai phần của so sánh có thể được nâng lên cùng một lũy thừa.

Cả hai vế của phép so sánh có thể được nhân với cùng một số nguyên.

Thật vậy, nhân phép so sánh a b (mod m) với phép so sánh hiển nhiên k k (mod m), chúng ta thu được ak bk (mod m).

Cả hai vế của phép so sánh có thể được chia cho ước số chung của chúng nếu ước số chung nguyên tố cùng nhau với môđun.

Thật vậy, từ a b (mod m), a = a 1 d, b = b 1 d, (d, m) = 1 suy ra hiệu a - b, bằng (a 1 - b 1)d, là chia hết bởi m, tức là a 1 b 1 (mod m) .

Các khoản khấu trừ. Hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh và giảm bớt

Các số còn lại bằng nhau, hoặc, giống nhau, có thể so sánh được theo modulo m, tạo thành một lớp các số theo modulo m.

Từ định nghĩa này, suy ra rằng tất cả các số trong lớp tương ứng với cùng phần dư r, và chúng ta nhận được tất cả các số trong lớp nếu, ở dạng mq + r, chúng ta cho q chạy qua tất cả các số nguyên.

Tương ứng với m giá trị khác nhau của r, ta có m lớp số modulo m.

Bất kỳ số nào của một lớp được gọi là phần dư modulo m đối với tất cả các số thuộc cùng một lớp. Phần dư thu được tại q = 0, bằng phần dư r của chính nó, được gọi là phần dư không âm nhỏ nhất.

Lấy một khoản khấu trừ từ mỗi lớp, chúng ta thu được một hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh theo modulo m. Thông thường, các dư lượng không âm nhỏ nhất 0, 1, ..., m-1 hoặc cũng là các dư lượng nhỏ nhất tuyệt đối được sử dụng như một hệ dư lượng hoàn chỉnh. Cái sau, như sau ở trên, trong trường hợp m lẻ được biểu thị bằng chuỗi

1, 0, 1, ...,

và trong trường hợp m chẵn, theo bất kỳ chuỗi nào trong hai chuỗi

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Bất kỳ m số nào là cặp không thể so sánh được theo modulo m tạo thành một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo m.

Thật vậy, vì không thể so sánh được nên những con số này thuộc về các lớp khác nhau, và vì có m trong số chúng, tức là có bao nhiêu lớp thì chắc mỗi lớp sẽ có một số.

Nếu (a, m) = 1 và x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m, thì ax + b, trong đó b là số nguyên bất kỳ, cũng chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m.

Thật vậy, sẽ có bao nhiêu số ax + b bằng số x, tức là m. Theo phát biểu trước, do đó, vẫn chỉ chứng minh rằng hai số bất kỳ ax 1 + b và ax 2 + b, tương ứng với x 1 và x 2 không thể so sánh được, bản thân chúng sẽ là modulo m không thể so sánh được.

Nhưng giả sử ax 1 + b ax 2 + b (mod m) ta đi đến phép so sánh ax 1 = ax 2 (mod m), từ đó do (a, m) = 1 nên ta được

x 1 x 2 (mod m),

mâu thuẫn với giả định rằng các số x 1 và x 2 không thể so sánh được.

Các số cùng lớp modulo m có cùng ước số chung lớn nhất. Đặc biệt quan trọng là các lớp mà ước số này bằng 1, tức là. các lớp chứa các số nguyên tố cùng nhau với mô đun.

Lấy một dư lượng từ mỗi lớp như vậy, chúng ta thu được hệ dư lượng rút gọn modulo m. Do đó, hệ thặng dư đã cho có thể bao gồm các số của hệ hoàn chỉnh nguyên tố cùng nhau với môđun. Thông thường, hệ dư lượng đã cho được tách biệt khỏi hệ dư lượng không âm nhỏ nhất: 0, 1, ..., m-1. Vì trong số các số này, số nguyên tố cùng nhau với m là (m), nên số lượng các số trong hệ rút gọn, cũng như số lớp chứa các số nguyên tố cùng nhau với môđun, là (m).

Ví dụ. Hệ thống khấu trừ modulo 42 đã cho sẽ là 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Bất kỳ (m) số nào là cặp số không thể so sánh được theo cặp modulo m và tương đối nguyên tố với mô đun tạo thành một hệ rút gọn các dư lượng modulo m.

Thật vậy, không thể so sánh được và cùng nguyên tố với môđun, nên những số này do đó thuộc về các lớp khác nhau chứa các số nguyên tố cùng nhau với môđun, và vì có (m) trong số chúng, tức là miễn là có các lớp thuộc loại được chỉ định thì mỗi lớp có thể sẽ chứa một số.

Nếu (a, m) = 1 và x chạy qua hệ rút gọn các thặng dư modulo m thì ax cũng chạy qua hệ rút gọn các thặng dư modulo m.

Thật vậy, sẽ có bao nhiêu số ax cũng như số x, tức là (m). Theo tính chất trước đó, do đó, nó chỉ còn chứng tỏ rằng các số ax modulo m là không thể so sánh được và là số nguyên tố cùng nhau modulo. Mệnh đề đầu tiên xuất phát từ tính chất của phép so sánh (nếu phép so sánh diễn ra theo modulo m thì nó cũng diễn ra theo modulo d, bằng bất kỳ ước số nào của số m) đối với các số có dạng tổng quát hơn ax + b, trong khi mệnh đề thứ hai theo sau từ (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Định lý Euler và Fermat

Định lý Euler (2. 5. 3. 1).

Với m>1 và (a, m) = 1 ta có a (m) 1 (mod m).

Bằng chứng. Thật vậy, nếu x chạy qua hệ cặn đã khử

x = r 1, r 2, ..., r c; c = (m),

bao gồm các số dư không âm nhỏ nhất, sau đó các số dư không âm nhỏ nhất 1, 2, ..., từ các số ax sẽ chạy qua cùng một hệ thống, nhưng nói chung, nằm ở một thứ tự khác (1).

Nhân các số hạng so sánh với số hạng

ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., arc c c (mod m),

chúng ta nhận được a c 1 (mod m).

Định lý Fermat (2. 5. 3. 2).

Với p nguyên tố và a không chia hết cho p, ta có

a p-1 1 (mod p). (2)

Bằng chứng. Định lý này là hệ quả của định lý Euler cho m = p. Định lý Fermat có thể đưa ra một dạng thuận tiện hơn bằng cách nhân cả hai vế của phép so sánh (2) với a, chúng ta thu được phép so sánh a p a (mod p), giá trị này đúng với mọi số nguyên a, vì nó cũng đúng với bội số của p . Định lý đã được chứng minh.

Định lý (2. 5. 3. 3). Nếu n = pq, (p và q là các số nguyên tố khác nhau), thì (n) = (p-1)(q-1).

Định lý (2. 5. 3. 4). Nếu n = pq, (p và q là các số nguyên tố riêng biệt) và x là số nguyên tố đối với p và q thì x (n) = 1 (mod n).

Điều 17. Hoàn thiện và rút gọn hệ thống khấu trừ.

Trong đoạn trước đã lưu ý rằng mối quan hệ є tôi so sánh modulo tùy ý tôi là quan hệ tương đương trên tập số nguyên. Mối quan hệ tương đương này tạo ra sự phân chia tập hợp các số nguyên thành các lớp phần tử tương đương với nhau, tức là những số mà khi chia cho tôi số dư giống hệt nhau. Số lớp tương đương є tôi(các chuyên gia sẽ nói - "chỉ số tương đương є tôi") hoàn toàn bằng nhau tôi .

Sự định nghĩa. Bất kỳ số nào từ lớp tương đương є tôi chúng ta sẽ gọi nó là dư lượng modulo tôi. Một tập hợp các khoản khấu trừ được lấy từ mỗi lớp tương đương є tôi, được gọi là hệ đầy đủ các dư lượng modulo tôi(do đó, trong hệ thống khấu trừ đầy đủ, chỉ tôi các mảnh số). Bản thân số dư khi chia cho tôiđược gọi là các phần dư không âm nhỏ nhất và tất nhiên tạo thành một hệ các phần dư modulo hoàn chỉnh tôi. Một dư lượng r được gọi là nhỏ nhất tuyệt đối nếu nó nhỏ nhất trong số các môđun dư lượng của một lớp cho trước.

Ví dụ: Cho phép tôi= 5 . Sau đó:

0, 1, 2, 3, 4 - số dư không âm nhỏ nhất;

2, -1, 0, 1, 2 là số trừ nhỏ nhất tuyệt đối.

Cả hai bộ số đã cho tạo thành hệ thống dư lượng modulo hoàn chỉnh 5 .

Bổ đề 1. 1) Bất kỳ tôi những phần không thể so sánh được về mô-đun tôi các số tạo thành một hệ thống hoàn chỉnh của dư lượng modulo tôi .

2) Nếu MỘT Và tôi tương đối đơn giản và x tôi, khi đó các giá trị có dạng tuyến tính rìu+b, Ở đâu b- bất kỳ số nguyên nào, cũng chạy qua hệ dư lượng modulo hoàn chỉnh tôi .

Bằng chứng. Tuyên bố 1) là hiển nhiên. Hãy chứng minh khẳng định 2). số rìu+b trơn tru tôiđồ đạc. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng không thể so sánh được về mô đun tôi. Vâng, hãy để nó dành cho một số khác x 1 Và x 2 từ hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh hóa ra là ax 1 +b є ax 2 +b(mod m). Sau đó, theo tính chất so sánh ở đoạn trước, chúng ta nhận được:

ax 1 є ax 2 (mod m)

x 1 є x 2 (mod m)

- mâu thuẫn với thực tế là x 1 Và x 2 là khác nhau và được lấy từ hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh.

Vì tất cả các số từ một lớp tương đương cho trước є ​​có được từ một số của một lớp nhất định bằng cách cộng một số là bội số tôi, thì tất cả các số từ lớp này đều có mô đun tôi cùng ước chung lớn nhất. Vì một số lý do, lãi suất tăng lên là những khoản khấu trừ có trong mô-đun tôiước chung lớn nhất bằng một, tức là phần dư nguyên tố cùng nhau với môđun.

Sự định nghĩa. Hệ thống khấu trừ modulo giảm tôi là tập hợp tất cả các phần dư từ hệ thống hoàn chỉnh nguyên tố cùng nhau đến môđun tôi .

Hệ thống rút gọn thường được chọn từ các dư lượng không âm nhỏ nhất. Rõ ràng là hệ dư lượng modulo đã cho tôi chứa j( tôi) phần khấu trừ, trong đó j ( tôi) – Hàm Euler – số số nhỏ hơn tôi và nguyên tố cùng nhau với tôi. Nếu đến thời điểm này bạn đã quên hàm Euler, hãy xem đoạn 14 và đảm bảo rằng ở đó đã nói điều gì đó về nó.

Ví dụ. Cho phép tôi= 42. Khi đó hệ số dư đã cho là:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Bổ đề 2. 1) Mọi j ( tôi) các số không thể so sánh được theo cặp trong mô đun tôi và nguyên tố cùng nhau với mô đun, tạo thành một hệ đơn giản gồm các dư lượng mô đun tôi .

2) Nếu (a,m) = 1 Và x chạy qua hệ thống khử dư lượng modulo tôi, Cái đó cây rìu cũng chạy qua hệ thống khử dư lượng modulo tôi .

Bằng chứng. Tuyên bố 1) là hiển nhiên. Hãy chứng minh khẳng định 2). số cây rìu là không thể so sánh từng cặp (điều này được chứng minh theo cách tương tự như trong Bổ đề 1 của đoạn này), có chính xác j trong số chúng ( tôi) đồ đạc. Cũng rõ ràng là tất cả chúng đều nguyên tố cùng nhau với môđun, bởi vì (a,m)=1, (x,m)=1 Yu (ax.m)=1. Vậy những con số cây rìu tạo thành một hệ thống khử dư lượng.

Đây là những định nghĩa và tính chất cơ bản của các hệ dư lượng đầy đủ và rút gọn, tuy nhiên, trong hành trang kiến ​​thức toán học có cả một loạt các sự kiện rất thú vị và hữu ích liên quan đến hệ dư lượng. Nếu bạn giữ im lặng về họ trong đoạn này, thì tôi e rằng điều này sẽ vi phạm trực tiếp Luật Thông tin của Liên bang Nga, việc che giấu có ác ý, theo luật này, là vi phạm hành chính và thậm chí là hình sự . Ngoài ra, nếu không nắm rõ các đặc tính quan trọng hơn nữa của hệ thống suy luận, đoạn 17 sẽ trở nên rất ít ỏi. Tiếp tục đi.

Bổ đề 3. Cho phép m 1, m 2, ..., m k– là cặp nguyên tố cùng nhau và m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k, Ở đâu

1) Nếu x 1 , x 2 , ..., x k chạy qua hệ thống dư lượng modulo hoàn chỉnh m 1, m 2, ..., m k tương ứng thì các giá trị có dạng tuyến tính M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k chạy qua hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh m=m 1 m 2 ...m k .

2) Nếu x 1 , x 2 , ..., x k chạy qua hệ thống giảm dư lượng modulo m 1, m 2, ..., mk tương ứng thì các giá trị có dạng tuyến tính M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k chạy qua hệ thống khử dư lượng modulo m=m 1 m 2 ...m k .

Bằng chứng.

1) Hình dạng M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k rõ ràng là chấp nhận m 1 m 2 ...m k =m các giá trị. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng những giá trị này là không thể so sánh được theo cặp. Thôi cứ để vậy đi

M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k є M 1 x 1 С +M 2 x 2 С + ...+M k x k С (mod m)

Đủ mọi thứ Mj, khác với Bệnh đa xơ cứng, nhiều bệnh đa xơ cứng. Loại bỏ các số hạng ở bên trái và bên phải trong phép so sánh cuối cùng là bội số bệnh đa xơ cứng, chúng tôi nhận được:

M s x є M s x s С (mod m s) У x s є x s С (mod m s)

- mâu thuẫn với thực tế là xs chạy qua hệ thống dư lượng modulo hoàn chỉnh bệnh đa xơ cứng .

2). Hình thức M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k rõ ràng là mất j ( tôi 1) j ( m 2) Ch ... Ch j ( tôi k) = j ( m 1 m 2 H ... H m k)= j ( tôi) (Hàm Euler có tính nhân!) của các giá trị khác nhau, modulo lẫn nhau m=m 1 m 2 ...m k theo cặp không thể so sánh được. Điều sau có thể dễ dàng được chứng minh bằng cách lập luận tương tự như cách lập luận được thực hiện trong chứng minh mệnh đề 1) của bổ đề này. Bởi vì ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=(M s x s ,m s)=1 cho mỗi 1 Ј s Ј k, Cái đó ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=1, do đó tập hợp các giá trị có dạng M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k tạo thành một hệ thống khử dư lượng modulo tôi .

Bổ đề 4. Cho phép x 1 , x 2 , ..., x k ,x chạy đầy đủ, và x 1 , x 2 ,..., x k , x– chạy qua hệ dư lượng modulo đã cho m 1, m 2, ..., mk Và m=m 1 m 2 ...m k tương ứng, ở đâu (tôi tôi j)=1 Tại tôi không. j. Sau đó phân số (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k) trùng với phân số (x/m), và phân số ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) trùng với phân số (x/m) .

Bằng chứng. Chứng minh cả hai mệnh đề của Bổ đề 4 có thể dễ dàng thu được bằng cách áp dụng Bổ đề 3 trước đó sau khi bạn đã cho mỗi tổng (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k) Và ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) về mẫu số chung:

(x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) ;

( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) ,

Ở đâu M j =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k .

Nếu bây giờ chúng ta tính đến phần phân số của các số thu được khi chia cho môđun tôi bất kỳ hai số nào có thể so sánh được theo mô đun tôi, giống nhau (chúng bằng nhau r/phút, Ở đâu r là phần dư không âm nhỏ nhất từ ​​một lớp cho trước), thì các phát biểu của bổ đề này trở nên hiển nhiên.

Trong phần còn lại của phần này, điều thú vị nhất sẽ xảy ra - chúng ta sẽ tính tổng các nghiệm phức tôi- sức mạnh của sự thống nhất, và chúng ta sẽ khám phá ra những mối liên hệ đáng kinh ngạc giữa tổng các nghiệm, hệ lũy thừa và hàm Möbius nhân m ( tôi) .

Hãy ký hiệu là e k k gốc thứ m-ôi sức mạnh của sự đoàn kết:

Chúng tôi nhớ rất rõ những dạng viết số phức này từ năm đầu tiên. Đây k=0,1,...,m-1– chạy qua hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh tôi .

Hãy để tôi nhắc bạn rằng số tiền e 0 + e 1 +...+ e m-1 tất cả các rễ tôi lũy thừa thứ của một bằng 0 đối với mọi tôi. Thật vậy, hãy e 0 + e 1 +...+ e m-1 =a. Hãy nhân số tiền này với một số khác 0 e 1. Phép nhân như vậy về mặt hình học trong mặt phẳng phức có nghĩa là xoay đúng tôi- một tam giác có gốc tại các đỉnh e 0 , e 1 ,..., e m-1, về một góc khác 0 2p/phút. Rõ ràng là trong trường hợp này gốc e 0 sẽ đi đến gốc e 1, nguồn gốc e 1 sẽ đi đến gốc e 2, v.v., và gốc e m-1 sẽ đi đến gốc e 0, I E. Tổng e 0 + e 1 +...+ e m-1 Sẽ không thay đổi. Chúng ta có e 1 a=a, Ở đâu a=0 .

Định lý 1. Cho phép m>0- số nguyên, một chữ O Z , x chạy qua hệ thống dư lượng modulo hoàn chỉnh tôi. Sau đó nếu MỘT nhiều tôi, Cái đó

nếu không thì khi MỘT không phải là bội số tôi ,

.

Bằng chứng. Tại MỘT nhiều tôi chúng ta có: a=md Và

Tại MỘT không chia hết cho tôi, chia tử số và mẫu số của phân số là TRÊN d- ước chung lớn nhất MỘT Và tôi, ta được một phân số tối giản một 1 /m 1. Khi đó, theo Bổ đề 1, một 1 x sẽ chạy qua hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh tôi. Chúng ta có:

bởi vì tổng tất cả các nghiệm của bậc tôi 1 từ một bằng không.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng gốc ồ tôi sức mạnh của sự thống nhất được gọi là nguyên hàm nếu chỉ số của nó kđồng nguyên tố với tôi. Trong trường hợp này, như đã được chứng minh trong năm đầu tiên, các mức độ liên tiếp e k 1 , e k 2 ,..., e k m-1 nguồn gốc ồ tạo thành toàn bộ bộ rễ tôi-thứ sức mạnh của một hay nói cách khác, ồ là phần tử sinh của nhóm tuần hoàn của tất cả các nghiệm tôi- sức mạnh của sự đoàn kết.

Rõ ràng, số lượng các nghiệm nguyên thủy khác nhau tôi sức mạnh của sự thống nhất thứ bằng j ( tôi), trong đó j là hàm Euler, vì các chỉ số của nghiệm nguyên hàm tạo thành một hệ rút gọn của các dư lượng modulo tôi .

Định lý 2. Cho phép m>0– một số nguyên, x chạy qua hệ dư lượng rút gọn theo modulo tôi. Khi đó (tổng các nghiệm nguyên hàm của bậc tôi):

ở đâu tôi ( tôi) – hàm Mobius.

Bằng chứng. Cho phép m=p 1 a 1 p 2 a 2 ...p k a k– khai triển kinh điển của một số tôi ; m 1 =p 1 a 1 , m 2 =p 2 a 2 , m 3 =p 3 a 3; x i chạy qua hệ khử dư lượng modulo tôi tôi. Chúng ta có:

Tại một s = 1 hóa ra chỉ có root e 0 =1 không phải là nguyên hàm, do đó tổng của tất cả các nghiệm nguyên hàm bằng tổng của tất cả các nghiệm trừ đi một:

do đó, nếu tôi không có hình vuông (tức là không chia hết cho r 2, Tại r >1), Cái đó

Nếu bất kỳ chỉ số nào BẰNG lớn hơn một (tức là tôi chia r 2, Tại r>1), thì tổng của tất cả các nghiệm nguyên hàm của bậc bệnh đa xơ cứng là tổng của tất cả các nghiệm của bậc bệnh đa xơ cứng trừ đi tổng của tất cả các nghiệm không nguyên tố, tức là tất cả các gốc ở một mức độ nào đó ít hơn bệnh đa xơ cứng. Chính xác nếu m s = p s m s *, Cái đó:

Bây giờ, các độc giả thân mến, khi tôi đã trình bày cho các bạn xem xét một lượng thông tin khá lớn về hệ thống khấu trừ đầy đủ và nhất định, không ai có thể buộc tội tôi vi phạm một cách ác ý Luật Thông tin của Liên bang Nga bằng cách che giấu nó, vì vậy tôi kết thúc đoạn này với sự hài lòng.

Các vấn đề

1 . Viết ra một tờ giấy tất cả các dư lượng không âm nhỏ nhất và tất cả các dư lượng tuyệt đối nhỏ nhất a) môđun 6, b) mô đun 8. Ngay bên dưới hãy viết ra các hệ thống khấu trừ nhất định cho các mô-đun này. Vẽ các căn bậc sáu và thứ tám riêng biệt trên mặt phẳng phức, khoanh tròn các căn nguyên nguyên thủy trong cả hai hình vẽ và tìm tổng của chúng trong mỗi trường hợp. 2 . Cho phép e– gốc nguyên thủy của bậc 2n từ một. Tìm số tiền: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 . 3 . Tìm tổng của tất cả các nghiệm nguyên thủy: a) thứ 15; b) Ngày 24; c) lũy thừa thứ 30 của một. 4 . Tìm tổng tất cả các tích có thể có của nghiệm nguyên thủy N- sức mạnh thứ từ một, lấy theo hai. 5 . Tìm số tiền k-x sức mạnh của tất cả các gốc N- sức mạnh của sự đoàn kết. 6 . Cho phép m>1 , (a, m)=1 , b– số nguyên, X chạy qua hệ hoàn chỉnh và x – hệ dư lượng modulo rút gọn tôi. Chứng minh rằng: MỘT) b) 7 . Chứng minh rằng: , Ở đâu R chạy qua tất cả các thừa số nguyên tố của một số MỘT .

hoặc bất kỳ liên tiếp P những con số.

Hệ thống này được gọi là một hệ thống số hoàn chỉnh không thể so sánh được trong mô đun P hoặc một hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh P. Rõ ràng là đủ loại P các số liên tiếp tạo thành một hệ thống như vậy.

Tất cả các số thuộc cùng một lớp đều có nhiều thuộc tính chung nên xét về mô đun, chúng có thể coi là một số. Mỗi số được đưa vào so sánh dưới dạng một triệu chứng hoặc một thừa số có thể được thay thế mà không vi phạm phép so sánh bằng một số có thể so sánh được với nó, tức là. với một số thuộc cùng một lớp.

Một phần tử khác chung cho tất cả các số của một lớp nhất định là ước số chung lớn nhất của từng phần tử của lớp và mô-đun đó P.

Cho phép Một Và b so sánh trong mô-đun P, Sau đó

Định lý 1. Nếu ở rìu+b thay vì x hãy thay thế mọi thứ một cách tuần tự P thành viên của hệ thống số hoàn chỉnh

Vì thế mọi số rìu+b, Ở đâu x=1,2,...P-1 không thể so sánh được về mô đun P(nếu không thì ghi số 1,2,... P-1 sẽ tương đương về mô đun P.

Ghi chú

1) Trong bài này từ number sẽ được hiểu là số nguyên.

Văn học

• 1. K. Ireland, M. Rosen. Lời giới thiệu cổ điển về lý thuyết số hiện đại − M: Mir, 1987.
• 2. G. Davenport. Số học cao hơn − M: Nauka, 1965.
• 3. PG. Lejeune Dirichlet. Bài giảng lý thuyết số. − Matxcơva, 1936.

công việc sau đại học

2.5.2 Các khoản khấu trừ. Hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh và giảm bớt

Các số còn lại bằng nhau, hoặc, giống nhau, có thể so sánh được theo modulo m, tạo thành một lớp các số theo modulo m.

Từ định nghĩa này, suy ra rằng tất cả các số trong lớp tương ứng với cùng phần dư r, và chúng ta nhận được tất cả các số trong lớp nếu, ở dạng mq + r, chúng ta cho q chạy qua tất cả các số nguyên.

Tương ứng với m giá trị khác nhau của r, ta có m lớp số modulo m.

Bất kỳ số nào của một lớp được gọi là phần dư modulo m đối với tất cả các số thuộc cùng một lớp. Phần dư thu được tại q = 0, bằng phần dư r của chính nó, được gọi là phần dư không âm nhỏ nhất.

Lấy một khoản khấu trừ từ mỗi lớp, chúng ta thu được một hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh theo modulo m. Thông thường, các dư lượng không âm nhỏ nhất 0, 1, ..., m-1 hoặc cũng là các dư lượng nhỏ nhất tuyệt đối được sử dụng như một hệ dư lượng hoàn chỉnh. Cái sau, như sau ở trên, trong trường hợp m lẻ được biểu thị bằng chuỗi

1, 0, 1, ...,

và trong trường hợp m chẵn, theo bất kỳ chuỗi nào trong hai chuỗi

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Bất kỳ m số nào là cặp không thể so sánh được theo modulo m tạo thành một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo m.

Thật vậy, vì không thể so sánh được nên những con số này thuộc về các lớp khác nhau, và vì có m trong số chúng, tức là có bao nhiêu lớp thì chắc mỗi lớp sẽ có một số.

Nếu (a, m) = 1 và x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m, thì ax + b, trong đó b là số nguyên bất kỳ, cũng chạy qua hệ thặng dư đầy đủ modulo m.

Thật vậy, sẽ có bao nhiêu số ax + b bằng số x, tức là m. Theo phát biểu trước, do đó, vẫn chỉ chứng minh rằng hai số bất kỳ ax 1 + b và ax 2 + b, tương ứng với x 1 và x 2 không thể so sánh được, bản thân chúng sẽ là modulo m không thể so sánh được.

Nhưng giả sử ax 1 + b ax 2 + b (mod m) ta đi đến phép so sánh ax 1 = ax 2 (mod m), từ đó do (a, m) = 1 nên ta được

x 1 x 2 (mod m),

mâu thuẫn với giả định rằng các số x 1 và x 2 không thể so sánh được.

Các số cùng lớp modulo m có cùng ước số chung lớn nhất. Đặc biệt quan trọng là các lớp mà ước số này bằng 1, tức là. các lớp chứa các số nguyên tố cùng nhau với mô đun.

Lấy một dư lượng từ mỗi lớp như vậy, chúng ta thu được hệ dư lượng rút gọn modulo m. Do đó, hệ thặng dư đã cho có thể bao gồm các số của hệ hoàn chỉnh nguyên tố cùng nhau với môđun. Thông thường, hệ dư lượng đã cho được tách biệt khỏi hệ dư lượng không âm nhỏ nhất: 0, 1, ..., m-1. Vì trong số các số này, số nguyên tố cùng nhau với m là (m), nên số lượng các số trong hệ rút gọn, cũng như số lớp chứa các số nguyên tố cùng nhau với môđun, là (m).

Ví dụ. Hệ thống khấu trừ modulo 42 đã cho sẽ là 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Bất kỳ (m) số nào là cặp số không thể so sánh được theo cặp modulo m và tương đối nguyên tố với mô đun tạo thành một hệ rút gọn các dư lượng modulo m.

Thật vậy, không thể so sánh được và cùng nguyên tố với môđun, nên những số này do đó thuộc về các lớp khác nhau chứa các số nguyên tố cùng nhau với môđun, và vì có (m) trong số chúng, tức là miễn là có các lớp thuộc loại được chỉ định thì mỗi lớp có thể sẽ chứa một số.

Nếu (a, m) = 1 và x chạy qua hệ rút gọn các thặng dư modulo m thì ax cũng chạy qua hệ rút gọn các thặng dư modulo m.

Thật vậy, sẽ có bao nhiêu số ax cũng như số x, tức là (m). Theo tính chất trước đó, do đó, nó chỉ còn chứng tỏ rằng các số ax modulo m là không thể so sánh được và là số nguyên tố cùng nhau modulo. Mệnh đề đầu tiên xuất phát từ tính chất của phép so sánh (nếu phép so sánh diễn ra theo modulo m thì nó cũng diễn ra theo modulo d, bằng bất kỳ ước số nào của số m) đối với các số có dạng tổng quát hơn ax + b, trong khi mệnh đề thứ hai theo sau từ (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Bài toán giá trị riêng đại số cho ma trận dạng đặc biệt và phần mềm của nó

Khi đặt bài toán giá trị riêng của ma trận có các phần tử xấp xỉ, tự nhiên nảy sinh câu hỏi về tính ổn định của nghiệm thu được, hay nói cách khác là câu hỏi về...

Cơ sở dữ liệu MS Access

Phần mềm cơ sở dữ liệu đã được sử dụng trên máy tính cá nhân từ khá lâu. Thật không may, những chương trình này chỉ là những trình quản lý lưu trữ thô sơ và không có công cụ phát triển ứng dụng...

Chống phân mảnh hệ thống tập tin

Chống phân mảnh hoàn toàn hoặc chống phân mảnh không gian trống là một trong những phương pháp đầu tiên được sử dụng. Phương pháp này chống phân mảnh tất cả các tệp và đặt chúng vào đầu phân vùng, cho phép bạn giải phóng vùng đĩa trống tối đa có thể...

Mô hình hóa máy tính của các thiết bị robot

Trong khóa học này, cần nghiên cứu mô hình hóa các thiết bị robot bằng các phương pháp sau: 1. Sử dụng hệ thống MathCAD - để nghiên cứu hành vi của một liên kết của robot...

Phương pháp và phương tiện bảo vệ thông tin máy tính

Mã hóa bằng thuật toán Rijndael được triển khai dưới dạng mã giả sau. Các đối số được coi là con trỏ tới các trường từ byte hoặc bốn byte. Việc giải thích các trường, biến và hàm được đưa ra trong bảng 11-13...

Mô tả việc thực hiện mô hình cơ bản của mạch điện

Trong khóa học này, bạn phải hoàn thành: 1. Sử dụng hệ thống MathCAD, tính các giá trị của hàm điện tích trên một tụ điện trong một mạch điện nhất định. Xây dựng đồ thị hàm điện dung của tụ điện và hàm tích điện. 2...

Ứng dụng Windows: Trình chỉnh sửa đồ họa Paint

Bằng cách nhấp đúp vào ô bảng màu, bạn có thể chọn màu cho ô đó từ bảng màu đầy đủ...

Ứng dụng hệ thống mô hình máy tính để nghiên cứu mô hình toán học của mạch RLC

Ứng dụng hệ thống Mathcad và Matlab nghiên cứu mô hình toán học của mô hình điện, bao gồm nguồn EMF, điện trở R, điện dung C và cuộn cảm L. Phát biểu hoàn chỉnh bài toán: 1. Sử dụng hệ thống Mathcad 1...

Ứng dụng hệ thống MathCAD nghiên cứu mô hình mạch điện có độ tự cảm thay đổi

Ứng dụng hệ thống MathCAD để nghiên cứu mô hình mạch điện có độ tự cảm thay đổi được chỉ định bằng đồ họa. Tuyên bố vấn đề: 1...

Ứng dụng hệ thống MathCAD nghiên cứu phản ứng của mạch điện trước các tác động bên ngoài

Ứng dụng hệ Mathcad nghiên cứu phản ứng của mạch điện trước tác động từ bên ngoài Phát biểu bài toán 1. Sử dụng hệ Mathcad tính các giá trị của hàm phản lực u(t) đến ảnh hưởng của e(t). Vẽ đồ thị của các hàm u(t) và e(t). 2...

Chương trình giải hệ phương trình vi phân thường

Xây dựng thuật toán và chương trình Pascal để tính một hàm số nhất định

Hãy viết một chương trình Pascal hoàn chỉnh theo thuật toán đã xây dựng được cho trong Phụ lục A. Chương trình n_33; var m, n, j: số nguyên; b, an, mult, h: thực; x: mảng thực; y: mảng thực; c: mảng thực; gd,gm,n,m,i,j:số nguyên; s,b,srk,min,max,y1:real; Bắt đầu clrscr; writeln (vvedite kol-vo chlenov c,x); đọcln(n...

Tổng hợp thuật toán điều khiển phối hợp chuyển động không gian của máy bay không người lái

Được biết, một trong những điểm chính trong việc xây dựng hoặc phát triển mô hình toán học của máy bay là việc áp dụng các giả định khác nhau nhằm đơn giản hóa và sơ đồ hóa quy trình thực tế. Đưa ra các giả định là một nhiệm vụ kỹ thuật, từ việc xác định chính xác...

Quản lý dự án triển khai hệ thống thông tin tự động cho Rome LLC

Hệ thống điều khiển tự động như một hệ thống bao gồm một số lượng lớn các phần tử ở các cấp độ khác nhau và cho các mục đích khác nhau. Chúng bao gồm các hệ thống con, mô-đun, đơn vị điều khiển, nhiệm vụ, quy trình quản lý, chức năng, hoạt động, v.v. Các hệ thống cơ bản như ERP...