Công thức tính gia tốc hướng tâm thông qua vận tốc góc. Gia tốc hướng tâm

Một vật chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính r với tốc độ tiếp tuyến đều bạn là vectơ vận tốc v, độ lớn của nó không đổi nhưng hướng của nó luôn thay đổi. Theo đó, một vật phải có gia tốc, vì (vectơ) là tốc độ thay đổi của tốc độ (vectơ) và tốc độ (vectơ) thực sự khác nhau theo thời gian.

Giả sử một vật đang chuyển động từ một điểm Pđến điểm Q giữa thời gian t Và, t + δ t như thể hiện trong hình trên. Chúng ta hãy giả sử thêm rằng vật được quay bởi δθ radian trong khoảng thời gian này. Vector, như thể hiện trong sơ đồ, giống hệt với vector. Ngoài ra, góc giữa các vectơ và điều này δθ . Vectơ biểu thị sự thay đổi của vectơ vận tốc, δ v, giữa thời gian t Và t + δ t. Từ đó rõ ràng là vectơ này hướng về tâm của đường tròn. Từ lượng giác tiêu chuẩn, độ dài của vectơ là:

Tuy nhiên, ở những góc nhỏ tội θ ≃ θ , với điều kiện là θ đo bằng radian. Kể từ đây,

δv ≃ v δθ.

Ở đâu là vận tốc góc của vật, tính bằng radian trên giây. Do đó, một vật chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính r, với tốc độ tiếp tuyến đều v và vận tốc góc đều, có gia tốc hướng vào tâm của vòng tròn - nghĩa là, gia tốc hướng tâm- kích cỡ:

Giả sử một vật có khối lượng tôi, gắn vào đầu cáp, chiều dài r, và quay sao cho vật thể mô tả một đường tròn bán kính nằm ngang r, với tốc độ tiếp tuyến đều v. Như chúng ta vừa học, vật có gia tốc hướng tâm có độ lớn . Do đó, vật chịu một lực hướng tâm

Điều gì mang lại sức mạnh này? Được rồi, trên trong ví dụ này, lực được tạo ra bởi lực căng của dây cáp. Kể từ đây, .

Giả sử cáp bị đứt khi điện áp trong cáp vượt quá một giá trị tới hạn nhất định. Suy ra rằng có một tốc độ tối đa mà vật có thể chuyển động được, cụ thể là:

Nếu như v vượt quá v tối đa, cáp sẽ đứt. Khi dây cáp bị đứt, vật sẽ không còn chịu lực hướng tâm nữa nên sẽ chuyển động với tốc độ v tối đa dọc theo một đường thẳng tiếp xúc với quỹ đạo tròn đã tồn tại trước đó.

Cho phép chúng ta tồn tại trên hành tinh này. Làm thế nào chúng ta có thể hiểu gia tốc hướng tâm là gì? Định nghĩa về điều này đại lượng vật lý trình bày bên dưới.

Quan sát

Ví dụ đơn giản nhất về gia tốc của một vật chuyển động theo đường tròn có thể được quan sát bằng cách quay một hòn đá trên một sợi dây. Bạn kéo sợi dây và sợi dây sẽ kéo hòn đá về phía tâm. Tại mỗi thời điểm, sợi dây truyền cho hòn đá một lượng chuyển động nhất định và mỗi lần lại theo một hướng mới. Bạn có thể tưởng tượng chuyển động của sợi dây như một chuỗi những cú giật yếu. Một cú giật - và sợi dây đổi hướng, một cú giật khác - một sự thay đổi khác, v.v. theo một vòng tròn. Nếu bạn đột ngột thả dây ra, hiện tượng giật sẽ dừng lại và cùng với đó là sự thay đổi hướng của tốc độ cũng sẽ dừng lại. Hòn đá sẽ chuyển động theo hướng tiếp tuyến với đường tròn. Câu hỏi đặt ra là: “Lúc này vật sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu?”

Công thức tính gia tốc hướng tâm

Trước hết, cần lưu ý rằng chuyển động của vật thể theo vòng tròn rất phức tạp. Hòn đá tham gia đồng thời vào hai loại chuyển động: dưới tác dụng của lực, nó di chuyển về phía tâm quay, đồng thời dọc theo đường tiếp tuyến với đường tròn, di chuyển ra xa tâm này. Theo Định luật thứ hai của Newton, lực giữ một hòn đá trên một sợi dây hướng vào tâm quay dọc theo sợi dây. Vectơ gia tốc cũng sẽ hướng vào đó.

Giả sử sau một thời gian hòn đá của chúng ta chuyển động đều với vận tốc V, đi từ điểm A đến điểm B. Giả sử rằng tại thời điểm vật đi qua điểm B, lực hướng tâm không còn tác dụng lên nó. Sau đó, sau một thời gian nó sẽ đi đến điểm K. Nó nằm trên tiếp tuyến. Nếu tại cùng một thời điểm chỉ có lực hướng tâm tác dụng lên vật thì trong thời gian t, chuyển động với cùng gia tốc, vật sẽ đến điểm O, điểm này nằm trên đường thẳng biểu thị đường kính của một đường tròn. Cả hai đoạn đều là vectơ và tuân theo quy tắc cộng vectơ. Bằng cách tổng hợp hai chuyển động này trong khoảng thời gian t, chúng ta thu được chuyển động thu được dọc theo cung AB.

Nếu khoảng thời gian t được lấy nhỏ không đáng kể thì cung AB sẽ khác rất ít so với dây AB. Vì vậy, có thể thay thế chuyển động dọc theo cung bằng chuyển động dọc theo dây cung. Trong trường hợp này, chuyển động của hòn đá dọc theo dây cung sẽ tuân theo quy luật chuyển động thẳng, nghĩa là quãng đường AB đi được sẽ bằng tích của tốc độ của hòn đá và thời gian chuyển động của nó. AB = Vxt.

Chúng ta hãy biểu thị gia tốc hướng tâm mong muốn bằng chữ a. Khi đó, đường đi chỉ dưới tác dụng của gia tốc hướng tâm có thể được tính bằng công thức cho chuyển động có gia tốc đều:

Quãng đường AB bằng tích của tốc độ và thời gian, nghĩa là AB = V x t,

AO - được tính trước đó bằng công thức chuyển động có gia tốc đều khi chuyển động thẳng: AO = 2/2.

Thay thế dữ liệu này vào công thức và biến đổi nó, chúng ta có được một công thức đơn giản và tinh tế về gia tốc hướng tâm:

Nói cách khác, điều này có thể được biểu diễn như sau: gia tốc hướng tâm của một vật chuyển động theo đường tròn bằng thương số của vận tốc tuyến tính bình phương với bán kính của đường tròn mà vật đó quay dọc theo. Lực hướng tâm trong trường hợp này sẽ có dạng như hình dưới đây.

Vận tốc góc

Vận tốc góc bằng vận tốc tuyến tính chia cho bán kính của đường tròn. Phát biểu ngược lại cũng đúng: V = ωR, trong đó ω là vận tốc góc

Nếu thay giá trị này vào công thức, chúng ta có thể thu được biểu thức tính gia tốc ly tâm cho vận tốc góc. Nó sẽ trông giống thế này:

Tăng tốc mà không thay đổi tốc độ

Chưa hết, tại sao một vật có gia tốc hướng về tâm lại không chuyển động nhanh hơn mà lại gần tâm quay hơn? Câu trả lời nằm ở chính công thức của gia tốc. Thực tế cho thấy chuyển động tròn là có thật, nhưng để duy trì nó cần có gia tốc hướng vào tâm. Dưới tác dụng của lực do gia tốc này gây ra, xảy ra sự thay đổi về lượng chuyển động, do đó quỹ đạo của chuyển động bị cong liên tục, luôn thay đổi hướng của vectơ vận tốc nhưng không thay đổi giá trị tuyệt đối của nó. . Di chuyển theo một vòng tròn, hòn đá nhịn nhục của chúng ta lao vào trong, nếu không nó sẽ tiếp tục chuyển động tiếp tuyến. Mỗi khoảnh khắc thời gian, đi theo phương tiếp tuyến, hòn đá bị thu hút vào trung tâm nhưng không rơi vào đó. Một ví dụ khác về gia tốc hướng tâm là việc một vận động viên trượt nước thực hiện những vòng tròn nhỏ trên mặt nước. Thân hình của vận động viên bị nghiêng; anh ta dường như ngã, tiếp tục di chuyển và nghiêng về phía trước.

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng gia tốc không làm tăng tốc độ của vật, vì vectơ vận tốc và vectơ gia tốc vuông góc với nhau. Được thêm vào vectơ vận tốc, gia tốc chỉ làm thay đổi hướng chuyển động và giữ cho vật thể ở trong quỹ đạo.

Vượt hệ số an toàn

Trong thí nghiệm trước, chúng ta đang xử lý một sợi dây hoàn hảo không bị đứt. Nhưng giả sử sợi dây của chúng ta là sợi dây bình thường nhất và bạn thậm chí có thể tính được lực mà sau đó nó sẽ đứt. Để tính được lực này, chỉ cần so sánh độ bền của sợi dây với tải trọng mà nó chịu trong quá trình quay của hòn đá là đủ. Bằng cách xoay hòn đá ở tốc độ cao hơn, bạn truyền cho nó một lượng chuyển động lớn hơn và do đó gia tốc lớn hơn.

Với đường kính dây đay khoảng 20 mm thì độ bền kéo của nó khoảng 26 kN. Điều đáng chú ý là chiều dài của sợi dây không xuất hiện ở đâu cả. Bằng cách quay một vật nặng 1 kg trên một sợi dây có bán kính 1 m, chúng ta có thể tính được vận tốc tuyến tính cần thiết để làm đứt nó là 26 x 10 3 = 1 kg x V 2/1 m. vượt quá sẽ bằng √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Trọng lực

Khi xem xét thí nghiệm, chúng ta đã bỏ qua tác dụng của trọng lực, vì ở tốc độ cao như vậy ảnh hưởng của nó là không đáng kể. Nhưng bạn có thể nhận thấy rằng khi tháo một sợi dây dài, cơ thể sẽ mô tả một quỹ đạo phức tạp hơn và dần dần tiếp cận mặt đất.

Thiên thể

Nếu chúng ta chuyển các định luật chuyển động tròn vào không gian và áp dụng chúng vào chuyển động của các thiên thể, chúng ta có thể khám phá lại một số công thức quen thuộc từ lâu. Ví dụ, lực mà một vật bị hút vào Trái đất được biết theo công thức:

Trong trường hợp của chúng ta, hệ số g là gia tốc hướng tâm tương tự được rút ra từ công thức trước đó. Chỉ trong trường hợp này, vai trò của hòn đá sẽ do thiên thể bị Trái đất hút và vai trò của sợi dây sẽ do lực hấp dẫn đảm nhận. Hệ số g sẽ được biểu thị dưới dạng bán kính của hành tinh chúng ta và tốc độ quay của nó.

Kết quả

Bản chất của gia tốc hướng tâm là công việc vất vả và bạc bẽo để giữ một vật chuyển động trên quỹ đạo. Một trường hợp nghịch lý được quan sát thấy khi với gia tốc không đổi, một vật không thay đổi giá trị tốc độ của nó. Đối với tâm trí chưa được đào tạo, một tuyên bố như vậy là khá nghịch lý. Tuy nhiên, cả khi tính chuyển động của một electron quanh hạt nhân và khi tính tốc độ quay của một ngôi sao quanh lỗ đen, gia tốc hướng tâm đóng một vai trò quan trọng.

Vì tốc độ tuyến tính thay đổi hướng đều nên chuyển động tròn không thể gọi là chuyển động đều mà được gia tốc đều.

Vận tốc góc

Hãy chọn một điểm trên đường tròn 1 . Hãy xây dựng một bán kính. Trong một đơn vị thời gian, điểm sẽ chuyển động tới điểm 2 . Trong trường hợp này, bán kính mô tả góc. Vận tốc góc bằng số với góc quay của bán kính trên một đơn vị thời gian.

Chu kỳ và tần suất

Chu kỳ quay T- đây là thời gian cơ thể thực hiện một cuộc cách mạng.

Tần số quay là số vòng quay trong một giây.

Tần số và chu kỳ có mối liên hệ với nhau bởi mối quan hệ

Mối quan hệ với vận tốc góc

Tốc độ tuyến tính

Mỗi điểm trên vòng tròn di chuyển với một tốc độ nhất định. Tốc độ này được gọi là tuyến tính. Hướng của vectơ vận tốc tuyến tính luôn trùng với tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ, tia lửa từ dưới máy nghiền di chuyển, lặp lại hướng của tốc độ tức thời.

Xét một điểm trên đường tròn quay được một vòng thì thời gian đó là khoảng thời gian T. Đường đi của một điểm là đường tròn.

Gia tốc hướng tâm

Khi chuyển động theo đường tròn, vectơ gia tốc luôn vuông góc với vectơ vận tốc, hướng vào tâm đường tròn.

Sử dụng các công thức trước đó, chúng ta có thể rút ra các mối quan hệ sau

Các điểm nằm trên cùng một đường thẳng xuất phát từ tâm vòng tròn (ví dụ, đây có thể là những điểm nằm trên nan hoa của bánh xe) sẽ có cùng vận tốc góc, chu kỳ và tần số. Tức là chúng sẽ quay theo cùng một cách nhưng với tốc độ tuyến tính khác nhau. Một điểm càng xa trung tâm thì nó sẽ di chuyển càng nhanh.

Định luật cộng vận tốc cũng đúng cho chuyển động quay. Nếu chuyển động của một vật hoặc hệ quy chiếu không đều thì định luật áp dụng cho vận tốc tức thời. Ví dụ, tốc độ của một người đi dọc theo mép của băng chuyền đang quay bằng tổng vectơ của tốc độ quay tuyến tính của mép băng chuyền và tốc độ của người đó.

Trái đất bao gồm hai phần chính chuyển động quay: hàng ngày (quanh trục của nó) và quỹ đạo (quanh Mặt trời). Chu kỳ Trái Đất quay quanh Mặt Trời là 1 năm hay 365 ngày. Trái đất tự quay quanh trục của nó từ Tây sang Đông, chu kỳ quay này là 1 ngày hoặc 24 giờ. Vĩ độ là góc giữa mặt phẳng xích đạo và hướng từ tâm Trái đất đến một điểm trên bề mặt của nó.

Theo định luật thứ hai của Newton, nguyên nhân của bất kỳ gia tốc nào là lực. Nếu một vật chuyển động chịu gia tốc hướng tâm thì bản chất của lực gây ra gia tốc này có thể khác. Ví dụ, nếu một vật chuyển động theo một vòng tròn trên một sợi dây buộc vào nó thì lực tác dụng là lực đàn hồi.

Nếu một vật nằm trên một đĩa quay với đĩa quanh trục của nó thì lực đó là lực ma sát. Nếu lực dừng tác dụng thì vật tiếp tục chuyển động thẳng

Hãy xem xét việc di chuyển một điểm trên đường tròn từ A đến B. Tốc độ tuyến tính tương đương với v A Và v B tương ứng. Gia tốc là sự thay đổi vận tốc trong một đơn vị thời gian. Hãy tìm sự khác biệt giữa các vectơ.

Sự định nghĩa

Gia tốc hướng tâm gọi là thành phần gia tốc toàn phần của một điểm vật chất chuyển động dọc theo một đường cong, xác định tốc độ thay đổi theo hướng của vectơ vận tốc.

Một thành phần khác của gia tốc toàn phần là gia tốc tiếp tuyến, nguyên nhân gây ra sự thay đổi vận tốc. Biểu thị gia tốc hướng tâm, thường là $(\overline(a))_n$. Gia tốc hướng tâm còn được gọi là gia tốc bình thường.

Gia tốc hướng tâm bằng:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\phải),\]

trong đó $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ là vectơ đơn vị, được hướng từ tâm cong của quỹ đạo đến điểm đang xét; $r$ là bán kính cong của quỹ đạo tại vị trí của điểm vật chất tại thời điểm đang xem xét.

H. Huygens là người đầu tiên có được công thức chính xác để tính gia tốc hướng tâm.

Đơn vị của hệ đơn vị quốc tế của gia tốc hướng tâm là mét chia cho giây bình phương:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Công thức tính gia tốc hướng tâm cho chuyển động tròn đều của một điểm

Chúng ta hãy xem xét chuyển động đều của một điểm vật chất dọc theo một vòng tròn. Với chuyển động như vậy, vận tốc của điểm vật chất không đổi ($v=const$). Nhưng điều này không có nghĩa là tổng gia tốc của một điểm vật chất với loại chuyển động này bằng không. Vectơ vận tốc tức thời có hướng tiếp tuyến với đường tròn mà điểm đang chuyển động. Do đó, trong chuyển động này, tốc độ liên tục thay đổi hướng của nó. Theo sau đó điểm có gia tốc.

Xét các điểm A và B nằm trên quỹ đạo của hạt. Ta tìm vectơ thay đổi vận tốc cho các điểm A và B là:

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Nếu thời gian di chuyển từ điểm A đến điểm B có xu hướng bằng 0 thì cung AB không khác nhiều so với dây AB. Tam giác AOB và BMN đồng dạng, ta có:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

Độ lớn của mô đun gia tốc trung bình được xác định như sau:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

Hãy di chuyển đến giới hạn ở mức $\Delta t\to 0\ $ từ $\left\langle a\right\rangle \ \ $trong công thức (4):

Vectơ gia tốc trung bình tạo một góc bằng vectơ vận tốc:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

Tại $\Delta t\to 0\ $ góc $\alpha \to 0.$ Hóa ra vectơ gia tốc tức thời tạo một góc $\frac(\pi )(2)$ với vectơ vận tốc.

Và để một điểm vật chất chuyển động đều quanh một vòng tròn có gia tốc hướng về tâm của vòng tròn ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), giá trị của nó bằng tốc độ bình phương chia cho bán kính hình tròn:

trong đó $\omega $ là vận tốc góc chuyển động của một điểm vật chất ($v=\omega \cdot R$). Ở dạng vectơ, công thức tính gia tốc hướng tâm có thể được viết dựa trên (7) là:

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

trong đó $\overline(R)$ là vectơ bán kính, có chiều dài bằng bán kính của cung tròn, hướng từ tâm cong đến vị trí của điểm vật chất đang xét.

Ví dụ về các vấn đề với giải pháp

ví dụ 1

Bài tập. Phương trình vectơ $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, trong đó $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ mô tả chuyển động của một điểm vật chất. Điểm này đang di chuyển theo quỹ đạo nào? Độ lớn gia tốc hướng tâm của nó là bao nhiêu? Xét tất cả các đại lượng trong hệ SI.

Giải pháp. Xét phương trình chuyển động của một điểm:

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \left(1.1\right).\]

Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình này tương đương với hệ phương trình:

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(mảng) \left(1.2\right).\right.\]

Để hiểu điểm đang chuyển động theo quỹ đạo nào, chúng ta nên loại trừ thời gian khỏi các phương trình của hệ (1.2). Để làm điều này, chúng ta bình phương cả hai phương trình và cộng chúng:

Từ phương trình (1.3) chúng ta thấy quỹ đạo của điểm là một đường tròn (Hình 2) có bán kính $R=1$ m.

Để tìm gia tốc hướng tâm ta sử dụng công thức:

Hãy xác định mô đun vận tốc bằng hệ phương trình (1.2). Hãy tìm các thành phần vận tốc bằng:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Bình phương của mô đun vận tốc sẽ bằng:

Từ mô đun vận tốc (1.6) thu được, ta thấy điểm của chúng ta chuyển động đều quanh đường tròn nên gia tốc hướng tâm sẽ trùng với gia tốc toàn phần.

Thay $v^2$ từ (1.6) vào công thức (1.4), ta có:

Hãy tính $a_n$:

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(s^2)\right).$

Trả lời. 1) Vòng tròn; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

Ví dụ 2

Bài tập. Gia tốc hướng tâm của các điểm trên vành đĩa tại thời điểm bằng $t=2$c là bao nhiêu, nếu đĩa quay theo phương trình: $\varphi (t)=3+2t^3$? Bán kính của đĩa là $R=0,(\rm 1)$ m.

Giải pháp. Chúng ta sẽ tìm gia tốc hướng tâm của các điểm trên đĩa bằng công thức:

Chúng ta tìm vận tốc góc bằng phương trình $\varphi (t)=3+2t^3$ như sau:

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

Tại $t=2\ $c vận tốc góc bằng:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Bạn có thể tính gia tốc hướng tâm bằng công thức (2.1):

Trả lời.$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$

Khi chuyển động theo đường tròn có vận tốc tuyến tính không đổi υ, vật có gia tốc hướng tâm không đổi hướng vào tâm đường tròn

a c = υ 2 /R, (18)

trong đó R là bán kính của đường tròn.

Dẫn xuất công thức tính gia tốc hướng tâm

A-tu viện.

Hình 6 Dẫn xuất công thức tính gia tốc hướng tâm

Trong hình, các tam giác được hình thành bởi vectơ chuyển vị và vận tốc là tương tự nhau. Xem xét rằng == R và == υ, từ sự đồng dạng của các tam giác ta tìm được:

(20)

(21)

Đặt gốc tọa độ vào tâm đường tròn và chọn mặt phẳng chứa đường tròn là mặt phẳng (x, y). Vị trí của một điểm trên đường tròn tại bất kỳ thời điểm nào được xác định duy nhất bởi góc cực φ, được đo bằng radian (rad) và

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

trong đó φ 0 xác định pha ban đầu (vị trí ban đầu của một điểm trên đường tròn tại thời điểm 0).

Trong trường hợp quay đều, góc φ, được đo bằng radian, tăng tuyến tính theo thời gian:

φ = ωt, (23)

trong đó ω được gọi là tần số tuần hoàn (tròn). Thứ nguyên của tần số tuần hoàn: [ω] = c –1 = Hz.

Tần số tuần hoàn bằng lượng góc quay (tính bằng rad) trên một đơn vị thời gian nên còn gọi là vận tốc góc.

Sự phụ thuộc tọa độ của một điểm vào đường tròn theo thời gian trong trường hợp quay đều với tần số cho trước có thể được viết là:

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Thời gian để quay hết một vòng gọi là chu kỳ T.

Tần số ν = 1/T. (25)

Kích thước tần số: [ν] = s –1 = Hz.

Mối liên hệ giữa tần số tuần hoàn với chu kỳ và tần số: 2π = ωT, từ đó

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Mối quan hệ giữa tốc độ tuyến tính và tốc độ góc được tìm thấy từ đẳng thức:

2πR = υT, từ đó

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Biểu thức gia tốc hướng tâm có thể được viết những cách khác, sử dụng các kết nối giữa tốc độ, tần số và chu kỳ:

Một q = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Mối quan hệ giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Các đặc tính động học cơ bản của chuyển động thẳng đều với gia tốc không đổi: độ dời s, tốc độ υ và gia tốc Một. Các đặc tính tương ứng khi chuyển động trong đường tròn bán kính R: chuyển vị góc φ, vận tốc góc ω và gia tốc góc ε (trong trường hợp vật quay với tốc độ thay đổi).

Từ những cân nhắc về mặt hình học, các mối liên hệ sau đây giữa các đặc điểm này phát sinh:

chuyển vị s → chuyển vị góc φ = s/R;

tốc độ υ → tốc độ góc ω = υ /R;

sự tăng tốc Một→ gia tốc góc ε = Một/R.

Tất cả các công thức động học của chuyển động có gia tốc đều theo đường thẳng có thể được chuyển đổi thành công thức động học của chuyển động quay trong đường tròn nếu thực hiện các thay thế đã chỉ định. Ví dụ:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + Một t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Mối liên hệ giữa vận tốc tuyến tính và vận tốc góc của một điểm khi quay trong một đường tròn có thể được viết dưới dạng vectơ. Thật vậy, giả sử đường tròn có tâm ở gốc tọa độ trong mặt phẳng (x, y). Tại bất kỳ thời điểm nào vectơ kéo từ điểm gốc đến điểm trên đường tròn nơi vật nằm và vuông góc với vectơ vận tốc của vật , hướng tiếp tuyến với đường tròn tại điểm này. Hãy xác định vectơ , có giá trị tuyệt đối bằng vận tốc góc ω và hướng dọc theo trục quay theo hướng được xác định theo quy tắc vít bên phải: nếu bạn vặn vít sao cho hướng quay của nó trùng với hướng quay của điểm dọc theo đường tròn thì hướng chuyển động của con vít chỉ hướng của vectơ . Khi đó mối liên hệ giữa ba vectơ vuông góc với nhau ,Và có thể được viết bằng cách sử dụng tích chéo của vectơ.