Compleet en verlaagd systeem van aftrekposten. Volledig aftreksysteem
Wikimedia Stichting. 2010.
- Slepen en neerzetten
- 2S25 "Sprut-SD"
Zie wat “Verlaagd aftreksysteem” is in andere woordenboeken:
Verlaagd aftreksysteem- een deel van het complete systeem van residuen (zie Compleet systeem van residuen), bestaande uit getallen die relatief priem zijn met modulus m. P.S. V. bevat φ(m) getallen [φ(m) het aantal getallen coprime tot m en kleiner dan m]. Alle φ(m)-getallen die niet vergelijkbaar zijn modulo m en... ... Grote Sovjet-encyclopedie
Verlaagd aftreksysteem- Het gereduceerde systeem van residuen modulo m is een verzameling die is samengesteld uit alle getallen van het volledige systeem van residuen modulo m die coprime tot m zijn. Het gegeven systeem van residuen modulo m bestaat uit φ(m) getallen, waarbij φ(m) de Euler-functie is. Zoals gegeven... ... Wikipedia
Multiplicatieve groep van de residuring- Gereduceerd systeem van residuen modulo m is de verzameling van alle getallen van het volledige systeem van residuen modulo m die coprime tot m zijn. Het gereduceerde systeem van residuen modulo m bestaat uit φ(m) getallen, waarbij φ(·) de Euler-functie is. Als een verminderd aftreksysteem... ...Wikipedia
Euler-functie- Niet te verwarren met de priemgetalverdelingsfunctie. De eerste duizend waarden van de functie van Euler φ(n) is multiplicatief ... Wikipedia
Modulo-vergelijking- Vergelijking modulo een natuurlijk getal n in de getaltheorie, een equivalentierelatie op de ring van gehele getallen geassocieerd met deelbaarheid door n. Een factorring in deze relatie wordt een residuring genoemd. De reeks corresponderende identiteiten en... ... Wikipedia
Einde groep- De symmetrie van een sneeuwvlok wordt geassocieerd met een groep rotaties over een hoek die een veelvoud is van 60°. Een eindige groep is een algebraïsche groep die een eindig aantal elementen bevat (dit aantal wordt de orde genoemd). Verder wordt aangenomen dat de groep multiplicatief is, dat wil zeggen de bewerking in ... ... Wikipedia
Viervoudige groep van Klein- De kleine quaternaire groep is een groep van de vierde orde en speelt een belangrijke rol in de hogere algebra. Inhoud 1 Definitie 2 Benaming 3 ... Wikipedia
In het bijzonder zullen we hebben: (p a) = p a - p a-1, (p) = p-1.
Voorbeelden. (60) = 60
(81) = 81-27 = 54
Multiplicatieve functie
Functie (a) wordt multiplicatief genoemd als deze aan de volgende twee voorwaarden voldoet:
Deze functie is gedefinieerd voor alle positieve gehele getallen a en is voor minstens één zo'n a niet gelijk aan nul.
Voor elke positieve coprime een 1 en een 2 hebben we:
(een 1 een 2) = (een 1) (een 2) .
Basisconcepten van de theorie van vergelijkingen
Vergelijkingseigenschappen
We zullen gehele getallen beschouwen in verband met de resten wanneer we ze delen door een gegeven positief geheel getal m, dat we de module zullen noemen.
Elk geheel getal komt overeen met een bepaalde rest als het wordt gedeeld door m. Als twee gehele getallen a en b overeenkomen met dezelfde rest r, dan worden ze equiremainder modulo m genoemd.
De vergelijkbaarheid van de getallen a en b modulo m wordt geschreven:
De vergelijkbaarheid van getallen a en b modulo m is gelijk aan:
Mogelijkheid om a voor te stellen als a = b + mt, waarbij t een geheel getal is.
Deelbaarheid van a b door m.
Uit a b (mod m) volgt inderdaad het volgende
a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r vandaar a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1. Omgekeerd, van a = b + mt, wat b vertegenwoordigt als b = mq 1 + r , 0<=r we leiden a = mq + r af, q = q 1 + t, d.w.z. a b (mod m). Beide uitspraken zijn bewezen. Twee getallen vergelijkbaar met een derde zijn vergelijkbaar met elkaar. Vergelijkingen kunnen per term worden toegevoegd. Inderdaad, laat A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1). Dan a 1 = b 1 + mt 1, a 2 = b 2 + mt 2, ..., a k = b k + mt k (2), Van waar a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), of a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m). Vergelijkingen kunnen term voor term worden vermenigvuldigd. Laten we (1) en (2) eens bekijken. Door gelijkheden (2) term voor term te vermenigvuldigen, verkrijgen we: a 1 een 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN, waarbij N een geheel getal is. Dus: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m). Beide delen van de vergelijking kunnen tot dezelfde macht worden verheven. Beide kanten van de vergelijking kunnen met hetzelfde gehele getal worden vermenigvuldigd. Als we de vergelijking a b (mod m) vermenigvuldigen met de voor de hand liggende vergelijking k k (mod m), verkrijgen we ak bk (mod m). Beide zijden van een vergelijking kunnen worden gedeeld door hun gemeenschappelijke deler als deze laatste coprime is ten opzichte van de modulus. Uit a b (mod m), a = a 1 d, b = b 1 d, (d, m) = 1 volgt inderdaad dat het verschil a - b, gelijk aan (a 1 - b 1)d, deelbaar is door m, d.w.z. a 1 b 1 (mod m) . Gelijke restgetallen, of, wat hetzelfde is, vergelijkbare modulo m, vormen een klasse van getallen modulo m. Uit deze definitie volgt dat alle getallen in de klasse overeenkomen met dezelfde rest r, en we krijgen alle getallen in de klasse als we, in de vorm mq + r, q door alle gehele getallen laten lopen. Overeenkomend met m verschillende waarden van r, hebben we m klassen van getallen modulo m. Elk getal van een klasse wordt een residu modulo m genoemd met betrekking tot alle getallen van dezelfde klasse. Het residu verkregen bij q = 0, gelijk aan de rest r zelf, wordt het kleinste niet-negatieve residu genoemd. Door één aftrek uit elke klasse te nemen, verkrijgen we een compleet aftreksysteem modulo m. Meestal worden de kleinste niet-negatieve residuen 0, 1, ..., m-1 of ook de absoluut kleinste residuen gebruikt als een compleet systeem van residuen. Deze laatste worden, zoals uit het bovenstaande blijkt, in het geval van oneven m weergegeven door de reeks 1, 0, 1, ..., en in het geval van zelfs m, door een van de twee reeksen 1, 0, 1, ..., 1, 0, 1, ..., . Alle m getallen die paarsgewijze onvergelijkbaar zijn modulo m vormen een compleet systeem van residuen modulo m. Omdat ze onvergelijkbaar zijn, behoren deze getallen daardoor tot verschillende klassen, en aangezien er m van zijn, d.w.z. Zoveel als er klassen zijn, zal elke klasse waarschijnlijk één getal bevatten. Als (a, m) = 1 en x door het volledige residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax + b, waarbij b een geheel getal is, ook door het volledige residusysteem modulo m. Er zullen inderdaad evenveel getallen ax + b zijn als er getallen x zijn, d.w.z. M. Volgens de vorige bewering rest ons dus alleen nog maar om aan te tonen dat twee willekeurige getallen ax 1 + b en ax 2 + b, die overeenkomen met de onvergelijkbare x 1 en x 2, zelf onvergelijkbaar zullen zijn modulo m. Maar aangenomen dat ax 1 + b ax 2 + b (mod m), komen we tot de vergelijking ax 1 = ax 2 (mod m), waaruit we, als gevolg van (a, m) = 1, krijgen x 1 x 2 (mod m), wat in tegenspraak is met de veronderstelling dat de getallen x 1 en x 2 onvergelijkbaar zijn. Getallen van dezelfde klasse modulo m hebben dezelfde grootste gemene deler. Bijzonder belangrijk zijn de klassen waarvoor deze deler gelijk is aan één, d.w.z. klassen die getallen bevatten die coprime tot modulus bevatten. Door één residu uit elke klasse te nemen, verkrijgen we het gereduceerde systeem van residuen modulo m. Het gegeven systeem van residuen kan daarom worden samengesteld uit getallen van het volledige systeem die coprime zijn ten opzichte van de modulus. Typisch wordt het gegeven systeem van residuen geïsoleerd uit het systeem van de minst niet-negatieve residuen: 0, 1, ..., m-1. Aangezien onder deze getallen het getal coprime tot m (m) is, is het aantal getallen in het gereduceerde systeem, evenals het aantal klassen dat getallen coprime tot modulus bevat, (m). Voorbeeld. Het gegeven aftreksysteem modulo 42 is 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Alle (m) getallen die paarsgewijze onvergelijkbaar zijn modulo m en relatief priem zijn voor modulus vormen een gereduceerd systeem van residuen modulo m. Omdat ze onvergelijkbaar zijn en vergelijkbaar zijn met de modulus, behoren deze getallen daardoor tot verschillende klassen die getallen bevatten die vergelijkbaar zijn met de modulus, en aangezien er (m) van zijn, d.w.z. Zoveel als er klassen zijn van het opgegeven type, zal elke klasse waarschijnlijk één getal bevatten. Als (a, m) = 1 en x door het gereduceerde residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax ook door het gereduceerde residusysteem modulo m. Er zullen inderdaad evenveel getallen ax zijn als er getallen x zijn, d.w.z. (M). Volgens de vorige eigenschap blijft het daarom alleen maar om aan te tonen dat de getallen ax modulo m onvergelijkbaar zijn en coprime modulo. De eerste volgt uit de eigenschap van vergelijkingen (als een vergelijking plaatsvindt modulo m, dan vindt deze ook plaats modulo d, gelijk aan een willekeurige deler van het getal m) voor getallen van de meer algemene vorm ax + b, terwijl de tweede volgt uit (a, m) = 1, (x, m) = 1. Stelling van Euler (2. 5. 3. 1). Voor m>1 en (a, m) = 1 hebben we een (m) 1 (mod m). Bewijs. Ja, als x door het gereduceerde systeem van residuen loopt x = r 1, r 2, ..., rc; c = (m), samengesteld uit de kleinste niet-negatieve residuen, dan zullen de kleinste niet-negatieve residuen 1, 2, ..., uit de getallen ax, door hetzelfde systeem lopen, maar zich in het algemeen in een andere volgorde bevinden (1). Vergelijkingen term voor term vermenigvuldigen ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m), we krijgen een c 1 (mod m). Stelling van Fermat (2. 5. 3. 2). Voor p priemgetallen en a die niet deelbaar zijn door p geldt: een p-1 1 (mod p). (2) Bewijs. Deze stelling is een gevolg van de stelling van Euler voor m = p. De stelling van Fermat kan een handiger vorm worden gegeven door beide zijden van de vergelijking (2) te vermenigvuldigen met a. We verkrijgen de vergelijking a p a (mod p), die geldig is voor alle gehele getallen a, aangezien deze ook geldt voor een veelvoud van p . De stelling is bewezen. Stelling (2. 5. 3. 3). Als n = pq, (p en q zijn verschillende priemgetallen), dan is (n) = (p-1)(q-1). Stelling (2. 5. 3. 4). Als n = pq, (p en q zijn verschillende priemgetallen) en x een priemgetal is met betrekking tot p en q, dan is x (n) = 1 (mod n). In de vorige paragraaf werd opgemerkt dat de relatie є m vergelijkbaarheid modulo willekeurig M is een equivalentierelatie op de verzameling gehele getallen. Deze equivalentierelatie induceert een verdeling van de verzameling gehele getallen in klassen van elementen die gelijkwaardig zijn aan elkaar, d.w.z. getallen die wanneer gedeeld door M identieke saldi. Aantal gelijkwaardigheidsklassen є m(experts zullen zeggen - "equivalentie-index є m") is precies gelijk M . Definitie. Elk getal uit de equivalentieklasse є m we zullen het modulo-residu noemen M. Een reeks aftrekkingen, waarvan er één uit elke gelijkwaardigheidsklasse wordt genomen є m, wordt een compleet systeem van modulo-residuen genoemd M(dus alleen in het volledige systeem van aftrekposten). M stukjes cijfer). De resten zelf wanneer gedeeld door M worden de kleinste niet-negatieve residuen genoemd en vormen uiteraard een compleet systeem van modulo-residuen M. Een residu r wordt absoluut de kleinste genoemd als het de kleinste is onder de modules van residuen van een bepaalde klasse. Voorbeeld: Laten M= 5 . Dan: 0, 1, 2, 3, 4 - de kleinste niet-negatieve residuen; 2, -1, 0, 1, 2 zijn de absoluut kleinste aftrekposten. Beide gegeven reeksen getallen vormen complete systemen van modulo-residuen 5
. Lemma 1. 1) Elke M stukken die qua modulus niet vergelijkbaar zijn M getallen vormen een compleet systeem van modulo-residuen M . 2) Als A En M zijn relatief eenvoudig, en X M, dan de waarden van de lineaire vorm bijl+b, Waar B- elk geheel getal, ook door het volledige systeem van modulo-residuen doorlopen M . Bewijs. Bewering 1) ligt voor de hand. Laten we bewering 2) bewijzen. Nummers bijl+b zacht M dingen. Laten we aantonen dat ze qua modulus niet vergelijkbaar zijn M. Nou, laat het voor wat anders zijn x 1 En x 2 uit het volledige systeem van aftrek bleek dat bijl 1 +b є bijl 2 +b(mod m). Dan krijgen we, volgens de eigenschappen van vergelijkingen uit de vorige paragraaf: bijl 1 є bijl 2 (mod m) x 1 є x 2 (mod m) - een tegenspraak met het feit dat x 1 En x 2 zijn verschillend en ontleend aan het volledige systeem van aftrekposten. Aangezien alle getallen uit een gegeven equivalentieklasse є worden verkregen uit één getal van een bepaalde klasse door een getal toe te voegen dat een veelvoud is M, dan hebben alle getallen uit deze klasse modulus M dezelfde grootste gemene deler. Om bepaalde redenen zijn de inhoudingen die bij de module horen van groter belang M grootste gemene deler gelijk aan één, d.w.z. residuen die coprime zijn voor de modulus. Definitie. Het verlaagde systeem van modulo-aftrek M is de verzameling van alle residuen uit het volledige systeem die coprime zijn volgens de modulus M . Het gereduceerde systeem wordt gewoonlijk gekozen uit de kleinste niet-negatieve residuen. Het is duidelijk dat het gegeven systeem van modulo-residuen is M bevat j( M) aftrekposten, waarbij j ( M) – Euler-functie – het aantal getallen kleiner dan M en onderling primen M. Als je op dit punt de Euler-functie al bent vergeten, kijk dan naar paragraaf 14 en zorg ervoor dat daar iets over is gezegd. Voorbeeld. Laten M= 42. Dan is het gegeven systeem van residuen: 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Lemma 2. 1) Elke j ( M) getallen die paarsgewijze onvergelijkbaar zijn in modulus M en coprime met de modulus, vormen een gereduceerd systeem van modulo-residuen M
. 2) Als (een, m) = 1 En X loopt door het gereduceerde systeem van modulo-residuen M, Dat bijl loopt ook door het gereduceerde systeem van modulo-residuen M . Bewijs. Bewering 1) ligt voor de hand. Laten we bewering 2) bewijzen. Nummers bijl paarsgewijs onvergelijkbaar zijn (dit wordt op dezelfde manier bewezen als in Lemma 1 van deze paragraaf), er zijn er precies j ( M) dingen. Het is ook duidelijk dat ze allemaal relatief primair zijn voor de modulus, omdat (a,m)=1, (x,m)=1 Yu (ax.m)=1. Dus de cijfers bijl vormen een gereduceerd systeem van residuen. Dit zijn de definities en basiseigenschappen van de volledige en gereduceerde systemen van residuen, maar in de bagage van wiskundige kennis bevindt zich een hele reeks zeer interessante en nuttige feiten over systemen van residuen. Als u er in deze paragraaf over zwijgt, dan is dit, vrees ik, een directe schending van de wet van de Russische Federatie inzake informatie, waarvan het kwaadwillig verzwijgen volgens deze wet een administratief en zelfs strafrechtelijk misdrijf is. . Bovendien zal paragraaf 17, zonder bekendheid met verdere belangrijke eigenschappen van aftreksystemen, zeer schaars blijken te zijn. Laten we doorgaan. Lemma 3. Laten m 1, m 2, ..., mk– zijn paarsgewijs relatief priem en m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k, Waar 1) Als x 1 , x 2 , ..., x k complete systemen van residuen modulo doorlopen m 1, m 2, ..., m k dienovereenkomstig, dan de waarden van de lineaire vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k het volledige systeem van modulo-aftrek doorlopen m=m 1 m 2 ...m·k . 2) Als x 1 , x 2 , ..., x k modulo de systemen met gereduceerd residu doorlopen m 1, m 2, ..., mk dienovereenkomstig, dan de waarden van de lineaire vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k door het gereduceerde systeem van modulo-residuen lopen m=m 1 m 2 ...m·k . Bewijs. 1) Vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k uiteraard aanvaardt m 1 m 2 ...mk =m waarden. Laten we laten zien dat deze waarden paarsgewijze onvergelijkbaar zijn. Nou, laat het zo zijn M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k є M 1 x 1 С +M 2 x 2 С + ...+M k x k С (mod m) Allerlei dingen Mj, anders dan Mevr, meerdere Mevr. Het verwijderen van termen links en rechts in de laatste vergelijking die veelvouden zijn Mevr, we krijgen: M s x s є M s x s С (mod m s) У x s є x s С (mod m s) - een tegenspraak met het feit dat xs loopt door het volledige systeem van modulo-residuen Mevr . 2). Formulier M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k uiteraard duurt j ( m 1) J ( m2) Ch ... Ch j ( m k) = j( m 1 m 2 H ... H m k)= j ( M) (De functie van Euler is multiplicatief!) van verschillende waarden, die elkaar moduleren m=m 1 m 2 ...m·k paarsgewijs onvergelijkbaar. Dit laatste kan eenvoudig worden bewezen door te redeneren die vergelijkbaar is met de redenering die wordt uitgevoerd in het bewijs van bewering 1) van dit lemma. Omdat ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=(M s x s ,m s)=1 voor elk 1 Ј s Ј k, Dat ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=1, vandaar de reeks waarden van het formulier M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k vormt een gereduceerd systeem van modulo-residuen M . Lemma 4. Laten x 1 , x 2 , ..., xk ,x vol lopen, en x 1 , x 2 ,..., x k , x– doorloop de gegeven systemen van residuen modulo m 1, m 2, ..., mk En m=m 1 m 2 ...m·k respectievelijk, waar (m ik m j)=1 bij i Nee. j. Dan breuken (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k) samenvallen met breuken (x/m), en breuken ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) samenvallen met breuken (x/m) . Bewijs. Het bewijs van beide uitspraken van Lemma 4 kun je eenvoudig verkrijgen door het voorgaande Lemma 3 toe te passen nadat je elke som hebt gegeven (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k) En ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) naar een gemeenschappelijke noemer: (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) ; ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) , Waar Mj =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k . Als we er nu rekening mee houden dat de fractionele delen van de getallen worden verkregen wanneer ze worden gedeeld door de modulus M twee willekeurige getallen die qua modulus vergelijkbaar zijn M, zijn hetzelfde (ze zijn gelijk r/m, Waar R is het kleinste niet-negatieve residu van een gegeven klasse), dan worden de uitspraken van dit lemma duidelijk. In de rest van dit gedeelte zal het meest interessante gebeuren: we zullen de complexe wortels opsommen M-de kracht van eenheid, en we zullen verbazingwekkende verbanden ontdekken tussen de sommen van wortels, systemen van residuen en de reeds bekende multiplicatieve Möbius-functie m ( M) . Laten we dit aangeven met e k k de wortel M- oh kracht van eenheid: Deze vormen van het schrijven van complexe getallen herinneren we ons nog goed vanaf ons eerste jaar. Hier k=0,1,...,m-1– doorloopt het volledige systeem van modulo-aftrek M . Ik wil u eraan herinneren dat het bedrag e 0 + e 1 +...+ e m-1 alle wortels M de e macht van één is voor iedereen gelijk aan nul M. Inderdaad, laat e 0 + e 1 +...+ e m-1 =a. Laten we deze som vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is, e 1. Een dergelijke vermenigvuldiging betekent geometrisch in het complexe vlak het juiste roteren M-een driehoek met wortels op de hoekpunten e 0 , e 1 ,..., e m-1, naar een hoek die niet nul is 2 p/m. Het is duidelijk dat in dit geval de root e 0 zal naar de wortel gaan e 1, wortel e 1 zal naar de wortel gaan e 2, enz., en de wortel e m-1 zal naar de wortel gaan e 0, d.w.z. som e 0 + e 1 +...+ e m-1 Zal niet veranderen. We hebben e 1 een=een, waar een=0 . Stelling 1. Laten m>0- geheel getal, een O Z , X loopt door het volledige systeem van modulo-residuen M. Dan als A meerdere M, Dat anders, wanneer A geen veelvoud M , Bewijs. Bij A meerdere M we hebben: een=md En Bij A niet deelbaar door M, deel de teller en de noemer van de breuk ben op D- grootste gemene deler A En M, krijgen we een irreducibele breuk a 1 /m 1. Vervolgens, volgens Lemma 1, een 1 x zal het volledige systeem van modulo-aftrek doorlopen M. We hebben: omdat de som van alle wortels van de graad m 1 van één is gelijk aan nul. Laat me je eraan herinneren dat de wortel e k M de e-macht van eenheid wordt antiderivatief genoemd als zijn index k coprimeren met M. In dit geval, zoals in het eerste jaar werd bewezen, opeenvolgende graden e k 1 , e k 2 ,..., e k m-1 wortel e k vormen de hele reeks wortels M-de macht van één of, met andere woorden, e k is het genererende element van de cyclische groep van alle wortels M-de kracht van eenheid. Uiteraard het aantal verschillende primitieve wortels M de e macht van eenheid is gelijk aan j ( M), waarbij j de Euler-functie is, aangezien de indices van de primitieve wortels een gereduceerd systeem van modulo-residuen vormen M . Stelling 2. Laten m>0– een geheel getal, x loopt door het modulo gereduceerde systeem van residuen M. Dan (som van primitieve wortels van graad M): waar m ( M) – Möbius-functie. Bewijs. Laten m=p 1 een 1 p 2 een 2 ...p k een k– canonieke uitbreiding van een getal M ;
m 1 = p 1 een 1 , m 2 = p 2 een 2 , m 3 = p 3 een 3; x i loopt door het gereduceerde systeem van modulo-residuen ik ik. We hebben: Bij een s=1 het blijkt dat alleen de wortel e0 =1 is niet primitief, daarom is de som van alle primitieve wortels de som van alle wortels min één: daarom, als M vrij van vierkanten (d.w.z. niet deelbaar door r2, bij r >1), Dat Indien enige indicator als groter dan één (d.w.z. M gedeeld door r2, bij r>1), dan de som van alle primitieve wortels van de graad Mevr is de som van alle wortels van de graad Mevr minus de som van alle niet-primaire wortels, d.w.z. alle wortels van een bepaalde graad minder Mevr. Precies als m s = p s m s *, Dat: Nu, beste lezers, nu ik een aanzienlijke hoeveelheid informatie over de volledige en gegeven aftreksystemen ter overweging heb gepresenteerd, kan niemand mij ervan beschuldigen de wet van de Russische Federatie inzake informatie kwaadwillig te overtreden door deze te verbergen, dus ik rond af deze paragraaf met tevredenheid. 1
. Schrijf op een stuk papier alle kleinste niet-negatieve residuen en alle absoluut kleinste residuen a) module 6, b) module 8. Noteer hieronder de gegeven aftreksystemen voor deze modules. Teken de zesde en achtste eenheidswortels afzonderlijk op het complexe vlak, omcirkel de primitieve wortels in beide tekeningen en vind telkens hun som. 2
. Laten e– primitieve wortel van de graad 2n van één. Vind het bedrag: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 . 3
. Vind de som van alle primitieve wortels: a) 15e; b) 24e; c) de 30e macht van één. 4
. Vind de som van alle mogelijke producten van primitieve wortels N-de macht van één, in tweeën genomen. 5
. Zoek het bedrag k-x machten van alle wortels N-de kracht van eenheid. 6
. Laten m>1 , (een,m)=1 , B– geheel getal, X loopt door het volledige, en x – gereduceerde systeem van modulo-residuen M. Bewijs dat: A) B) 7
. Bewijs dat: Waar R loopt door alle priemfactoren van een getal A . of welke opeenvolgende dan ook P cijfers. Dit systeem heet een compleet systeem van getallen die qua modulus onvergelijkbaar zijn P of een compleet systeem van modulo-aftrek P. Uiteraard allerlei soorten P opeenvolgende nummers vormen zo'n systeem. Alle getallen die tot dezelfde klasse behoren, hebben veel gemeenschappelijke eigenschappen, daarom kunnen ze, in relatie tot de modulus, als één getal worden beschouwd. Elk getal dat in een vergelijking is opgenomen als sommatie of factor, kan, zonder de vergelijking te schenden, worden vervangen door een getal dat daarmee vergelijkbaar is, d.w.z. met een nummer dat tot dezelfde klasse behoort. Een ander element dat gemeenschappelijk is voor alle getallen van een bepaalde klasse is de grootste gemene deler van elk element van die klasse en module P. Laten A En B vergelijkbaar in modulus P, Dan Stelling 1.
Als binnen bijl+b in plaats van X laten we alles opeenvolgend vervangen P leden van het volledige nummersysteem Daarom allemaal cijfers bijl+b, Waar X=1,2,...P-1 zijn qua modulus niet vergelijkbaar P(anders nummers 1,2,... P-1 zou qua modulus vergelijkbaar zijn P. 1) In dit artikel wordt het woordnummer opgevat als een geheel getal. afgestudeerd werk Gelijke restgetallen, of, wat hetzelfde is, vergelijkbare modulo m, vormen een klasse van getallen modulo m. Uit deze definitie volgt dat alle getallen in de klasse overeenkomen met dezelfde rest r, en we krijgen alle getallen in de klasse als we, in de vorm mq + r, q door alle gehele getallen laten lopen. Overeenkomend met m verschillende waarden van r, hebben we m klassen van getallen modulo m. Elk getal van een klasse wordt een residu modulo m genoemd met betrekking tot alle getallen van dezelfde klasse. Het residu verkregen bij q = 0, gelijk aan de rest r zelf, wordt het kleinste niet-negatieve residu genoemd. Door één aftrek uit elke klasse te nemen, verkrijgen we een compleet aftreksysteem modulo m. Meestal worden de kleinste niet-negatieve residuen 0, 1, ..., m-1 of ook de absoluut kleinste residuen gebruikt als een compleet systeem van residuen. Deze laatste worden, zoals uit het bovenstaande blijkt, in het geval van oneven m weergegeven door de reeks 1, 0, 1, ..., en in het geval van zelfs m, door een van de twee reeksen 1, 0, 1, ..., 1, 0, 1, ..., . Alle m getallen die paarsgewijze onvergelijkbaar zijn modulo m vormen een compleet systeem van residuen modulo m. Omdat ze onvergelijkbaar zijn, behoren deze getallen daardoor tot verschillende klassen, en aangezien er m van zijn, d.w.z. Zoveel als er klassen zijn, zal elke klasse waarschijnlijk één getal bevatten. Als (a, m) = 1 en x door het volledige residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax + b, waarbij b een geheel getal is, ook door het volledige residusysteem modulo m. Er zullen inderdaad evenveel getallen ax + b zijn als er getallen x zijn, d.w.z. M. Volgens de vorige bewering rest ons dus alleen nog maar om aan te tonen dat twee willekeurige getallen ax 1 + b en ax 2 + b, die overeenkomen met de onvergelijkbare x 1 en x 2, zelf onvergelijkbaar zullen zijn modulo m. Maar aangenomen dat ax 1 + b ax 2 + b (mod m), komen we tot de vergelijking ax 1 = ax 2 (mod m), waaruit we, als gevolg van (a, m) = 1, krijgen x 1 x 2 (mod m), wat in tegenspraak is met de veronderstelling dat de getallen x 1 en x 2 onvergelijkbaar zijn. Getallen van dezelfde klasse modulo m hebben dezelfde grootste gemene deler. Bijzonder belangrijk zijn de klassen waarvoor deze deler gelijk is aan één, d.w.z. klassen die getallen bevatten die coprime tot modulus bevatten. Door één residu uit elke klasse te nemen, verkrijgen we het gereduceerde systeem van residuen modulo m. Het gegeven systeem van residuen kan daarom worden samengesteld uit getallen van het volledige systeem die coprime zijn ten opzichte van de modulus. Typisch wordt het gegeven systeem van residuen geïsoleerd uit het systeem van de minst niet-negatieve residuen: 0, 1, ..., m-1. Aangezien onder deze getallen het getal coprime tot m (m) is, is het aantal getallen in het gereduceerde systeem, evenals het aantal klassen dat getallen coprime tot modulus bevat, (m). Voorbeeld. Het gegeven aftreksysteem modulo 42 is 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Alle (m) getallen die paarsgewijze onvergelijkbaar zijn modulo m en relatief priem zijn voor modulus vormen een gereduceerd systeem van residuen modulo m. Omdat ze onvergelijkbaar zijn en vergelijkbaar zijn met de modulus, behoren deze getallen daardoor tot verschillende klassen die getallen bevatten die vergelijkbaar zijn met de modulus, en aangezien er (m) van zijn, d.w.z. Zoveel als er klassen zijn van het opgegeven type, zal elke klasse waarschijnlijk één getal bevatten. Als (a, m) = 1 en x door het gereduceerde residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax ook door het gereduceerde residusysteem modulo m. Er zullen inderdaad evenveel getallen ax zijn als er getallen x zijn, d.w.z. (M). Volgens de vorige eigenschap blijft het daarom alleen maar om aan te tonen dat de getallen ax modulo m onvergelijkbaar zijn en coprime modulo. De eerste volgt uit de eigenschap van vergelijkingen (als een vergelijking plaatsvindt modulo m, dan vindt deze ook plaats modulo d, gelijk aan een willekeurige deler van het getal m) voor getallen van de meer algemene vorm ax + b, terwijl de tweede volgt uit (a, m) = 1, (x, m) = 1. Algebraïsch eigenwaardeprobleem voor matrices met een speciale vorm en de bijbehorende software Bij het stellen van het probleem van eigenwaarden voor matrices waarvan de elementen bij benadering zijn gegeven, rijst uiteraard de vraag over de stabiliteit van de resulterende oplossing, met andere woorden, de vraag over... MS Access-database Databasesoftware wordt al geruime tijd op personal computers gebruikt. Helaas waren deze programma's rudimentaire opslagbeheerders en hadden ze geen tools voor applicatieontwikkeling... Defragmentatie van bestandssysteem Volledige defragmentatie of defragmentatie van vrije ruimte was een van de eerste gebruikte methoden. Deze methode defragmenteert alle bestanden en plaatst ze aan het begin van de partitie, waardoor u de maximaal mogelijke vrije schijfruimte kunt vrijmaken... Computermodellering van robotica-apparaten In dit cursuswerk is het noodzakelijk om de modellering van robotica-apparaten te bestuderen met behulp van de volgende methoden: 1. Het MathCAD-systeem gebruiken - om het gedrag van één schakel van de robot te bestuderen... Methoden en middelen om computerinformatie te beschermen Versleuteling met behulp van het Rijndael-algoritme wordt geïmplementeerd in de vorm van de volgende pseudocode. Argumenten worden behandeld als verwijzingen naar woordvelden van bytes of vier bytes. De interpretatie van velden, variabelen en functies wordt gegeven in tabellen 11-13... Beschrijving van de implementatie van het basismodel van een elektrisch circuit In deze cursus moet je het volgende voltooien: 1. Bereken met behulp van het MathCAD-systeem de waarden van de laadfunctie op een condensator in een bepaald elektrisch circuit. Construeer grafieken van de capaciteitsfunctie van de condensator en de laadfunctie. 2... Windows-toepassingen: grafische editor voor Paint Door te dubbelklikken op een paletcel kunt u er een kleur voor selecteren uit het volledige kleurenpalet... Toepassing van computermodelleringssystemen om het wiskundige model van het RLC-circuit te bestuderen Toepassing van de Mathcad- en Matlab-systemen om een wiskundig model van een elektrisch model te bestuderen, inclusief een EMF-bron, weerstand R, capaciteit C en inductor L. Volledige beschrijving van het probleem: 1. Het Mathcad 1-systeem gebruiken... Toepassing van het MathCAD-systeem om een model van een elektrisch circuit met variabele inductie te bestuderen Toepassing van het MathCAD-systeem om een model van een elektrisch circuit te bestuderen met variabele inductantie grafisch gespecificeerd. Probleemstelling: 1... Toepassing van het MathCAD-systeem om de reactie van een elektrisch circuit op externe invloeden te bestuderen Toepassing van het Mathcad-systeem om de reactie van een elektrisch circuit op een externe invloed te bestuderen Probleemstelling 1. Bereken met behulp van het Mathcad-systeem de waarden van de reactiefunctie u(t) op de invloed e(t). Teken grafieken van de functies u(t) en e(t). 2... Programma voor het oplossen van een stelsel gewone differentiaalvergelijkingen Ontwikkeling van een algoritme en Pascal-programma voor het berekenen van een bepaalde functie Laten we een compleet Pascal-programma schrijven in overeenstemming met het ontwikkelde algoritme, dat wordt gegeven in bijlage A. Programma n_33; var m, n, j: geheel getal; b, an, mult, h: echt; x: reeks echte; y: reeks echte; c: reeks echte; gd,gm,n,m,i,j:geheel getal; s,b,srk,min,max,y1:reëel; Begin clrscr; writeln (vvedite kol-vo chlenov c,x); leesln(n... Synthese van algoritmen voor gecoördineerde controle van ruimtelijke beweging van een onbemand luchtvaartuig Het is bekend dat een van de belangrijkste punten bij het opstellen of ontwikkelen van een wiskundig model van een vliegtuig het aannemen van verschillende aannames is die het werkelijke proces vereenvoudigen en schematiseren. Het maken van aannames is een technische taak, van correct... Projectmanagement voor de implementatie van een geautomatiseerd informatiesysteem voor Rome LLC Het automatische besturingssysteem bestaat als systeem uit een groot aantal elementen van verschillende niveaus en voor verschillende doeleinden. Deze omvatten subsystemen, modules, besturingseenheden, taken, beheerprocedures, functies, bewerkingen, enz. Basissystemen zoals ERP...Inhoudingen. Volledige en verminderde aftreksystemen
De stellingen van Euler en Fermat
Artikel 17. Volledige en verminderde aftreksystemen.
.
Problemen
,Opmerkingen
Literatuur
2.5.2 Inhoudingen. Volledige en verminderde aftreksystemen
