m - набор, составленный из всех чисел полной системы вычетов по модулю m , взаимно простых с m . Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m ) чисел, где φ(m ) - функция Эйлера . В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 0 до m - 1 .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Drag-and-drop
• 2С25 «Спрут-СД»

Смотреть что такое "Приведённая система вычетов" в других словарях:

Приведённая система вычетов - часть полной системы вычетов (См. Полная система вычетов), состоящая из чисел взаимно простых с модулем m. П. с. в. содержит φ(m) чисел [φ(m) число чисел, взаимно простых с m и меньших m]. Всякие φ(m) чисел, не сравнимые по модулю m и… … Большая советская энциклопедия

Приведенная система вычетов - Приведённая система вычетов по модулю m набор, составленный из всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(m) функция Эйлера. В качестве приведённой… … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов - Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Функция Эйлера - Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная … Википедия

Сравнение по модулю - Сравнение по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия

Конечная группа - Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия

Четверная группа Клейна - Четверная группа Клейна группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 … Википедия

В частности, будем иметь (p a) = p a - p a-1 , (p) = p-1.

Примеры. (60) = 60

(81) = 81-27 = 54

Мультипликативная функция

Функция (а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

Эта функция определена для всех целых положительных a и не равна нулю по меньшей мере при одном таком a.

Для любых положительных взаимно простых a 1 и a 2 имеем:

(а 1 a 2) = (а 1) (а 2) .

Основные понятия теории сравнений

Свойства сравнений

Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое положительное m, которое назовём модулем.

Каждому целому числу отвечает определённый остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m.

Сравнимость чисел a и b по модулю m записывается:

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

Возможности представить a в виде a = b + mt, где t - целое.

Делимости a b на m.

Действительно, из a b (mod m) следует

a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r

откуда a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1 .

Обратно, из a = b + mt, представляя b в виде

b = mq 1 + r , 0 <=r

выводим a = mq + r, q = q 1 + t , т.е. a b (mod m).

Оба утверждения доказаны.

Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собой.

Сравнения можно почленно складывать.

Действительно, пусть

A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1).

Тогда a 1 = b 1 + mt 1 , a 2 = b 2 + mt 2 , …, a k = b k + mt k (2),

Откуда a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), или

a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m).

Сравнения можно почленно перемножать.

Рассмотрим (1) и (2). Перемножая почленно равенства (2), получим:

a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN,

где N - целое.

Отсюда: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m).

Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число.

Действительно, перемножив сравнение a b (mod m) с очевидным сравнением k k (mod m), получим ak bk (mod m).

Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.

Действительно, из a b (mod m), a = a 1 d , b = b 1 d , (d, m) = 1 следует, что разность a - b, равная (a 1 - b 1)d, делится на m, т. е. a 1 b 1 (mod m) .

Вычеты. Полная и приведенная системы вычетов

Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.

Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq + r заставим q пробегать все целые числа.

Соответственно m различным значениям r имеем m классов чисел по модулю m.

Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q = 0, равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, ..., m-1 или также абсолютно наименьшие вычеты. Последние, как это следует из вышеизложенного, в случае нечетного m представляются рядом

1, 0, 1, ...,

а в случае чётного m каким-либо из двух рядов

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, а так как их m, т.е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу.

Если (a, m) = 1 и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax + b, где b - любое целое, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Действительно, чисел ax +b будет столько же, сколько и чисел x, т.е. m. Согласно предыдущему утверждению остаётся, следовательно, только показать, что любые два числа ax 1 + b и ax 2 + b, отвечающие несравнимым x 1 и x 2 , будут сами несравнимы по модулю m.

Но допустив, что ax 1 + b ax 2 + b (mod m), мы придём к сравнению ax 1 = ax 2 (mod m), откуда, вследствие (a, m) = 1, получим

x 1 x 2 (mod m),

что противоречит предположению о несравнимости чисел x 1 и x 2 .

Числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем один и тот же общий наибольший делитель. Особенно важны классы, для которых этот делитель равен единице, т.е. классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем.

Взяв от каждого такого класса по одному вычету, получим приведённую систему вычетов по модулю m. Приведённую систему вычетов, следовательно, можно составить из чисел полной системы, взаимно простых с модулем. Обыкновенно приведённую систему вычетов выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, ..., m-1. Так как среди этих чисел число взаимно простых с m есть (m), то число чисел приведённой системы, равно как и число классов, содержащих числа, взаимно простые с модулем, есть (m).

Пример. Приведённая система вычетов по модулю 42 будет 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Любые (m) чисел, попарно несравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведённую систему вычетов по модулю m.

Действительно, будучи несравнимыми и взаимно простыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, содержащим числа, взаимно простые с модулем, а так как их (m), т.е. столько же, сколько и классов указанного вида, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу.

Если (a, m) = 1 и x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то ax тоже пробегает приведённую систему вычетов по модулю m.

Действительно, чисел ax будет столько же, сколько и чисел x, т.е. (m). Согласно предыдущему свойству остаётся, следовательно, только показать, что числа ax по модулю m несравнимы и взаимно просты с модулем. Первое следует из свойства сравнений (если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m) для чисел более общего вида ax + b, второе же следует из (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Теоремы Эйлера и Ферма

Теорема Эйлера (2. 5. 3. 1).

При m>1 и (a, m) = 1 имеем a (m) 1 (mod m).

Доказательство. Действительно, если x пробегает приведённую систему вычетов

x = r 1 , r 2 , ..., r c ; c = (m),

составленную из наименьших неотрицательных вычетов, то наименьшие неотрицательные вычеты 1 , 2 , ..., с чисел ax будут пробегать ту же систему, но расположенную, вообще говоря, в ином порядке (1).

Перемножая почленно сравнения

ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m),

получим а с 1 (mod m).

Теорема Ферма (2. 5. 3. 2).

При p простом и а, не делящимся на p, имеем

a p-1 1 (mod p). (2)

Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Эйлера при m = p. Теореме Ферма можно придать более удобную форму, умножая обе части сравнения (2) на а, получим сравнение a p a (mod p), справедливое уже при всех целых а, так как оно верно и при а, кратном p. Теорема доказана.

Теорема (2. 5. 3. 3). Если n = pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то (n) = (p-1)(q-1).

Теорема (2. 5. 3. 4). Если n = pq, (p и q отличные друг от друга простые числа) и x простое относительно p и q, то x (n) = 1 (mod n).

Пункт 17. Полная и приведенная системы вычетов.

В предыдущем пункте было отмечено, что отношение є m сравнимости по произвольному модулю m есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Это отношение эквивалентности индуцирует разбиение множества целых чисел на классы эквивалентных между собой элементов, т.е. в один класс объединяются числа, дающие при делении на m одинаковые остатки. Число классов эквивалентности є m (знатоки скажут - "индекс эквивалентности є m ") в точности равно m .

Определение. Любое число из класса эквивалентности є m будем называть вычетом по модулю m . Совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности є m , называется полной системой вычетов по модулю m (в полной системе вычетов, таким образом, всего m штук чисел). Непосредственно сами остатки при делении на m называются наименьшими неотрицательными вычетами и, конечно, образуют полную систему вычетов по модулю m . Вычет r называется абсолютно наименьшим, если пrп наименьший среди модулей вычетов данного класса.

Пример : Пусть m = 5 . Тогда:

0, 1, 2, 3, 4 - наименьшие неотрицательные вычеты;

2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно наименьшие вычеты.

Обе приведенные совокупности чисел образуют полные системы вычетов по модулю 5 .

Лемма 1. 1) Любые m штук попарно не сравнимых по модулю m чисел образуют полную систему вычетов по модулю m .

2) Если а и m взаимно просты, а x m , то значения линейной формы аx+b , где b - любое целое число, тоже пробегают полную систему вычетов по модулю m .

Доказательство. Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2). Чисел аx+b ровно m штук. Покажем, что они между собой не сравнимы по модулю m . Ну пусть для некоторых различных x 1 и x 2 из полной системы вычетов оказалось, что ax 1 +b є ax 2 +b(mod m) . Тогда, по свойствам сравнений из предыдущего пункта, получаем:

ax 1 є ax 2 (mod m)

x 1 є x 2 (mod m)

– противоречие с тем, что x 1 и x 2 различны и взяты из полной системы вычетов.

Поскольку все числа из данного класса эквивалентности є получаются из одного числа данного класса прибавлением числа, кратного m , то все числа из данного класса имеют с модулем m один и тот же наибольший общий делитель. По некоторым соображениям, повышенный интерес представляют те вычеты, которые имеют с модулем m наибольший общий делитель, равный единице, т.е. вычеты, которые взаимно просты с модулем.

Определение. Приведенной системой вычетов по модулю m называется совокупность всех вычетов из полной системы, взаимно простых с модулем m .

Приведенную систему обычно выбирают из наименьших неотрицательных вычетов. Ясно, что приведенная система вычетов по модулю m содержит j (m ) штук вычетов, где j (m )– функция Эйлера – число чисел, меньших m и взаимно простых с m . Если к этому моменту вы уже забыли функцию Эйлера, загляните в пункт 14 и убедитесь, что про нее там кое-что говорилось.

Пример. Пусть m = 42. Тогда приведенная система вычетов суть:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Лемма 2. 1) Любые j (m ) чисел, попарно не сравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведенную систему вычетов по модулю m .

2) Если (a,m) = 1 и x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m , то аx так же пробегает приведенную систему вычетов по модулю m .

Доказательство. Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2). Числа аx попарно несравнимы (это доказывается так же, как в лемме 1 этого пункта), их ровно j (m ) штук. Ясно также, что все они взаимно просты с модулем, ибо (a,m)=1, (x,m)=1 Ю (ax.m)=1 . Значит, числа аx образуют приведенную систему вычетов.

Таковы определения и основные свойства полной и приведенной систем вычетов, однако в багаже математических знаний существует еще целый ряд очень интересных и полезных фактов, касающихся систем вычетов. Если умолчать про них в этом пункте, то это, боюсь, будет прямым нарушением Закона Российской Федерации об Информации, злонамеренное утаивание которой является, согласно этому закону, административно и, даже, уголовно наказуемым деянием. Кроме того, без знакомства с дальнейшими важными свойствами систем вычетов пункт 17 получится весьма куцым. Продолжим.

Лемма 3. Пусть m 1 , m 2 , ..., m k – попарно взаимно просты и m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , где

1) Если x 1 , x 2 , ..., x k пробегают полные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m k соответственно, то значения линейной формы M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k пробегают полную систему вычетов по модулю m=m 1 m 2 ...m k .

2) Если x 1 , x 2 , ..., x k пробегают приведенные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m k соответственно, то значения линейной формы M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k пробегают приведенную систему вычетов по модулю m=m 1 m 2 ...m k .

Доказательство.

1) Форма M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k принимает, очевидно, m 1 m 2 ...m k =m значений. Покажем, что эти значения попарно несравнимы. Ну пусть

M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k є M 1 x 1 С +M 2 x 2 С + ...+M k x k С (mod m)

Всякое M j , отличное от M s , кратно m s . Убирая слева и справа в последнем сравнении слагаемые, кратные m s , получим:

M s x s є M s x s С (mod m s) Ю x s є x s С (mod m s)

– противоречие с тем, что x s пробегает полную систему вычетов по модулю m s .

2). Форма M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k принимает, очевидно, j (m 1 ) j (m 2 ) Ч ... Ч j (m k ) = j (m 1 m 2 Ч ... Ч m k )= j (m ) (функция Эйлера мультипликативна!) различных значений, которые между собой по модулю m=m 1 m 2 ...m k попарно несравнимы. Последнее легко доказывается рассуждениями, аналогичными рассуждениям, проведенным при доказательстве утверждения 1) этой леммы. Так как (M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=(M s x s ,m s)=1 для каждого 1 Ј s Ј k , то (M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=1 , следовательно множество значений формы M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k образует приведенную систему вычетов по модулю m .

Лемма 4. Пусть x 1 , x 2 , ..., x k ,x пробегают полные, а x 1 , x 2 ,..., x k , x – пробегают приведенные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m k и m=m 1 m 2 ...m k соответственно, где (m i m j)=1 при i № j . Тогда дроби {x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } совпадают с дробями {x/m} , а дроби { x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k } совпадают с дробями { x /m} .

Доказательство. Доказательство обоих утверждений леммы 4 легко получается применением предыдущей леммы 3 после того, как вы приведете каждую сумму {x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } и { x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k } к общему знаменателю:

{x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k }={(M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m} ;

{ x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k }={(M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m} ,

где M j =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k .

Если теперь принять во внимание, что дробные части чисел, получающихся при делении на модуль m любых двух чисел, сравнимых по модулю m , одинаковы (они равны r/m , где r – наименьший неотрицательный вычет из данного класса), то утверждения настоящей леммы становятся очевидными.

В оставшейся части этого пункта произойдет самое интересное – мы будем суммировать комплексные корни m -ой степени из единицы, при этом нам откроются поразительные связи между суммами корней, системами вычетов и уже знакомой мультипликативной функцией Мебиуса m (m ) .

Обозначим через e k k -ый корень m- ой степени из единицы:

Эти формы записи комплексных чисел мы хорошо помним с первого курса. Здесь k=0,1,...,m-1 – пробегает полную систему вычетов по модулю m .

Напомню, что сумма e 0 + e 1 +...+ e m-1 всех корней m -ой степени из единицы равна нулю для любого m . Действительно, пусть e 0 + e 1 +...+ e m-1 =a . Умножим эту сумму на ненулевое число e 1 . Такое умножение геометрически в комплексной плоскости означает поворот правильного m -угольника, в вершинах которого расположены корни e 0 , e 1 ,..., e m-1 , на ненулевой угол 2 p /m . Ясно, что при этом корень e 0 перейдет в корень e 1 , корень e 1 перейдет в корень e 2 , и т.д., а корень e m-1 перейдет в корень e 0 , т.е. сумма e 0 + e 1 +...+ e m-1 не изменится. Имеем e 1 a=a , откуда a=0 .

Теорема 1. Пусть m>0 - целое число, a О Z , x пробегает полную систему вычетов по модулю m . Тогда, если а кратно m , то

в противном случае, при а не кратном m ,

.

Доказательство. При а кратном m имеем: a=md и

При а не делящемся на m , разделим числитель и знаменатель дроби a/m на d – наибольший общий делитель а и m , получим несократимую дробь a 1 /m 1 . Тогда, по лемме 1, a 1 x будет пробегать полную систему вычетов по модулю m . Имеем:

ибо сумма всех корней степени m 1 из единицы равна нулю.

Напомню, что корень e k m -ой степени из единицы называется первообразным, если его индекс k взаимно прост с m . В этом случае, как доказывалось на первом курсе, последовательные степени e k 1 , e k 2 ,..., e k m-1 корня e k образуют всю совокупность корней m -ой степени из единицы или, другими словами, e k является порождающим элементом циклической группы всех корней m -ой степени из единицы.

Очевидно, что число различных первообразных корней m -ой степени из единицы равно j (m ), где j – функция Эйлера, так как индексы у первообразных корней образуют приведенную систему вычетов по модулю m .

Теорема 2. Пусть m>0 – целое число, x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m . Тогда (сумма первообразных корней степени m ):

где m (m ) – функция Мебиуса.

Доказательство. Пусть m=p 1 a 1 p 2 a 2 ...p k a k – каноническое разложение числа m ; m 1 =p 1 a 1 , m 2 =p 2 a 2 , m 3 =p 3 a 3 ; x i пробегает приведенную систему вычетов по модулю m i . Имеем:

При a s =1 получается, что только корень e 0 =1 не является первообразным, поэтому сумма всех первообразных корней есть сумма всех корней минус единица:

стало быть, если m свободно от квадратов (т.е. не делится на r 2 , при r >1 ), то

Если же какой-нибудь показатель a s больше единицы (т.е. m делится на r 2 , при r>1 ), то сумма всех первообразных корней степени m s есть сумма всех корней степени m s минус сумма всех не первообразных корней, т.е. всех корней некоторой степени, меньшей m s . Именно, если m s =p s m s * , то:

Вот теперь, дорогие читатели, когда я представил на ваше рассмотрение довольно весьма значительное количество сведений про полные и приведенные системы вычетов, никто не сможет обвинить меня в злонамеренном нарушении Закона Российской Федерации об Информации посредством ее утаивания, поэтому я заканчиваю этот пункт с удовлетворением.

Задачки

1 . Выпишите на листочке все наименьшие неотрицательные вычеты и все абсолютно наименьшие вычеты а) по модулю 6 , б) по модулю 8 . Чуть ниже выпишите приведенные системы вычетов по этим модулям. Нарисуйте отдельно на комплексной плоскости корни шестой и корни восьмой степени из единицы, на обоих рисунках обведите кружочком первообразные корни и найдите в каждом случае их сумму. 2 . Пусть e – первообразный корень степени 2n из единицы. Найдите сумму: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 . 3 . Найдите сумму всех первообразных корней: а) 15-й; б) 24-й; в) 30-й степени из единицы. 4 . Найдите сумму всевозможных произведений первообразных корней n -ой степени из единицы, взятых по два. 5 . Найдите сумму k -х степеней всех корней n -ой степени из единицы. 6 . Пусть m>1 , (a, m)=1 , b – целое число, х пробегает полную, а x – приведенную систему вычетов по модулю m . Докажите, что: а) б) 7 . Докажите, что: , где р пробегает все простые делители числа а .

или же любые последовательные p числа.

Данная система называется полною системою чисел, не сравнимых по модулю p или же полною системою вычетов по модулю p . Очевидно, что всякие p последовательных чисел образуют такую систему.

Все числа, принадлежащих к одному классу, имеют много общих свойств, следовательно по отношению к модулю их можно рассматривать как одно число. Каждое число, входящее в сравнение как слагаемое или множитель, может быть заменено, без нарушения сравнения, числом, сравнимым с ним, т.е. с числом, принадлежащим к одному и тому же классу.

Другой элемент, который является общим для всех чисел данного класса, является наибольший общий делитель каждого элемента этого класса и модуля p .

Пусть a и b сравнимы по модулю p , тогда

Теорема 1. Если в ax+b вместо x подставим последовательно все p членов полной системы чисел

Поэтому все числа ax+b , где x =1,2,...p -1 не сравнимы по модулю p (в противном случае, числа 1,2,...p -1 были бы сравнимы по модулю p .

Примечания

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Литература

• 1. К.Айрленд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.− М:Мир, 1987.
• 2. Г.Дэвенпорт. Высшая арифметика.− М:Наука, 1965.
• 3. П.Г. Лежен Дирихле. Лекции по теории чисел. − Москва, 1936.

дипломная работа

2.5.2 Вычеты. Полная и приведенная системы вычетов

Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.

Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq + r заставим q пробегать все целые числа.

Соответственно m различным значениям r имеем m классов чисел по модулю m.

Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q = 0, равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, ..., m-1 или также абсолютно наименьшие вычеты. Последние, как это следует из вышеизложенного, в случае нечетного m представляются рядом

1, 0, 1, ...,

а в случае чётного m каким-либо из двух рядов

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, а так как их m, т.е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу.

Если (a, m) = 1 и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ax + b, где b - любое целое, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Действительно, чисел ax +b будет столько же, сколько и чисел x, т.е. m. Согласно предыдущему утверждению остаётся, следовательно, только показать, что любые два числа ax 1 + b и ax 2 + b, отвечающие несравнимым x 1 и x 2 , будут сами несравнимы по модулю m.

Но допустив, что ax 1 + b ax 2 + b (mod m), мы придём к сравнению ax 1 = ax 2 (mod m), откуда, вследствие (a, m) = 1, получим

x 1 x 2 (mod m),

что противоречит предположению о несравнимости чисел x 1 и x 2 .

Числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем один и тот же общий наибольший делитель. Особенно важны классы, для которых этот делитель равен единице, т.е. классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем.

Взяв от каждого такого класса по одному вычету, получим приведённую систему вычетов по модулю m. Приведённую систему вычетов, следовательно, можно составить из чисел полной системы, взаимно простых с модулем. Обыкновенно приведённую систему вычетов выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, ..., m-1. Так как среди этих чисел число взаимно простых с m есть (m), то число чисел приведённой системы, равно как и число классов, содержащих числа, взаимно простые с модулем, есть (m).

Пример. Приведённая система вычетов по модулю 42 будет 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Любые (m) чисел, попарно несравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведённую систему вычетов по модулю m.

Действительно, будучи несравнимыми и взаимно простыми с модулем, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, содержащим числа, взаимно простые с модулем, а так как их (m), т.е. столько же, сколько и классов указанного вида, то в каждый класс наверно попадёт по одному числу.

Если (a, m) = 1 и x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то ax тоже пробегает приведённую систему вычетов по модулю m.

Действительно, чисел ax будет столько же, сколько и чисел x, т.е. (m). Согласно предыдущему свойству остаётся, следовательно, только показать, что числа ax по модулю m несравнимы и взаимно просты с модулем. Первое следует из свойства сравнений (если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m) для чисел более общего вида ax + b, второе же следует из (a, m) = 1, (x, m) = 1.

Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение

При постановке проблемы собственных значений для матриц, элементы которых заданы приближенно, естественно возникает вопрос об устойчивости полученного решения, иными словами, вопрос о том...

База данных MS Access

Программное обеспечение для работы с базами данных используется на персональных компьютерах уже довольно давно. К сожалению, эти программы либо были элементарными диспетчерами хранения данных и не имели средств разработки приложений...

Дефрагментатор файловой системы

Метод полной дефрагментации или дефрагментации свободного места использовался одним из первых. Данный способ дефрагментирует все файлы и помещает их в начала раздела, что позволяет освободить максимально возможную свободную область диска...

Компьютерное моделирование устройств робототехники

В данной курсовой работе необходимо изучить моделирование устройств робототехники следующими методами: 1. С использованием системы MathCAD -- исследовать поведение одного звена робота...

Методы и средства защиты компьютерной информации

Зашифрование по алгоритму Rijndael реализуется в виде следующего псевдокода. Аргументы обрабатываются как указатели на поля байтов или четырехбайтовых слов. Интерпретация полей, переменных и функций дана в таблицах 11-13...

Описание реализации базовой модели электрической цепи

В данной курсовой работе необходимо выполнить: 1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции емкости конденсатора и функции заряда. 2...

Приложения Windows: графический редактор Paint

Двойным щелчком на ячейке палитры можно выбрать для неё цвет из полной палитры цветов...

Применение систем компьютерного моделирования для исследования математической модели RLC-цепи

Применение системы Mathcad и Matlab для исследования математической модели электрической, включающей в себя источник ЭДС, сопротивления R, емкость С и катушку индуктивности L. Полная постановка задачи: 1. С использванием системы Mathcad 1...

Применение системы MathCAD для исследования модели электрической цепи с переменной индуктивностью

Применение системы MathCAD для исследования модели электрической цепи с переменной индуктивностью, заданной графически. Постановка задачи: 1...

Применение системы MathCAD для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие

Применение системы Mathcad для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие Постановка задачи 1. С использованием системы Mathcad рассчитать значения функции реакции u(t) на воздействие e(t). Построить графики функций u(t) и e(t). 2...

Программа для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Разработка алгоритма и Паскаль-программы по вычислению заданной функции

Запишем полную Паскаль-программу в соответствии с разработанным алгоритмом, который приведён в Приложении A. Program n_33; var m, n, j: integer; b, an, mult, h: real; x: array of real; y: array of real; c: array of real; gd,gm,n,m,i,j:integer; s,b,srk,min,max,y1:real; Begin clrscr; writeln (vvedite kol-vo chlenov c,x); readln (n...

Синтез алгоритмов согласованного управления пространственным движением беспилотным летательным аппаратом

Известно, что одним из основных моментов в составлении или разработке математической модели ЛА является принятие различных допущений, упрощающих, схематизирующих реальный процесс. Принятие допущений это инженерная задача, от правильности...

Управление проектом внедрения автоматизированной информационной системы для ООО "Рим"

АСУП как система состоит из большого количества элементов различных уровней и различного назначения. К ним относятся подсистемы, модули, блоки управления, задачи, управленческие процедуры, функции, операции и т. п. Базовые системы типа ERP...