Статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых не могут быть определены только из уравнений равновесия (уравнений статики).

Статически неопределимые конструкции имеют так называемые лишние связи. Они могут возникать в опорах, стержнях, других элементах. «Лишними» такие связи называются потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, а обусловливаются требованиями к ее прочности и жесткости. Такие лишние связи называются внешними. Кроме того, лишние связи могут возникать вследствие особенностей самой конструкции. Например, замкнутый контур рамы (рис. 46, г) имеет по три неизвестных внутренних усилия в каждом сечении, т.е. всего шесть, и три из них являются «лишними». Такие лишние усилия называются внутренними. По числу внешних или внутренних «лишних» связей устанавливают степень статической неопределимости системы. Она равна разности между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом уравнений статики. При одной «лишней» неизвестной система называется один раз, или однажды статически неопределимой, при двух - дважды статически неопределимой и т.д.

Конструкция, показанная на рис. 46, а , является один раз статически неопределимой, а конструкции, приведенные на рис. 46, б и в, - дважды статически неопределимыми, на рис. 46, г - три раза статически неопределимой конструкцией.

При решении статически неопределимых задач, кроме уравнений статики, используются уравнения, учитывающие деформации элементов конструкций.

Существует несколько методов решения статически неопределимых задач: метод сравнения перемещений, метод сил, метод перемещений.

Метод сил

При расчете статически неопределимых систем в качестве неизвестных принимаются силы.

Расчет по методу сил проводят в такой последовательности:

• 1. Устанавливают степень статической неопределимости.
• 2. Путем удаления «лишних» связей заменяют исходную систему статически определимой, называемой основной системой. Таких систем можно построить несколько, соблюдая при этом условие их гео

метрической неизменяемости.

• 3. Основную систему нагружают заданными внешними силами и «лишними» неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей, в результате чего получают эквивалентную систему.
• 4. Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации основной системы не отличались от деформаций исходной статически неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения «лишних» неизвестных по направлению их действия приравнивают нулю. Из полученных таким образом дополнительных уравнений определяют значения «лишних» неизвестных усилий. Определение перемещений соответствующих точек можно производить любым способом, однако лучше использовать при этом наиболее общий метод Мора.
• 5. После определения значений «лишних» неизвестных усилий выполняют определение реакций и построение эпюр внутренних усилий, подбор сечений и проверку прочности обычным способом.

Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям «лишних» неизвестных, удобно составлять в так называемой канонической форме, т.е. по определенной закономерности. Покажем это на примере решения простейшей статически неопределимой системы (рис. 47, а).

Выберем в качестве основной системы консоль, отбросив шарнирную опору. Эквивалентную систему получим после приложения ее внешней силы Т 7 и «лишней» неизвестной Х (рис. 47, б).

Каноническое уравнение , выражающее равенство нулю перемещения точки В от сил Fи Х, будет

Из уравнения имеем

Для системы, имеющей две «лишние» связи, система канонических уравнений имеет вид:

• 8 11 Х 1 + б 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

Перемещения А[р И б [у, входящие в канонические уравнения, определяются по методу Мора.

Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисления перемещений удобно производить по способу Верещагина.

Например, для задачи, изображенной на рис. 47, перемножая эпюры (рис. 48), получим коэффициенты канонического уравнения:

1 2 I 3 1 I /I 2 1 5 Я1 3

Е]Ь ЛЛ =-/ / -/ = -, Е]А ЛР = -------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 Е]

Получим Хл - - = - Е.

Определив силу Х, мы фактически нашли реакцию опоры Яв. Далее задача определения внутренних силовых факторов может быть решена, как обычно, с помощью метода сечений.

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Казань, 2006 г.

Составитель: Р.А.Каюмов

УДК 539.3

Расчет статически неопределимой стержневой системы, содержащей абсолютно жесткий элемент; Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / КазГАСУ; сост. Р.А. Каюмов. Казань, 2005, 24 с.

В данных методических указаниях кратко излагается методика расчета простейших ферменных конструкций с жестким элементом и приводится пример расчета.

Илл.6.

Рецензент канд.физ.-мат. наук, проф. Кафедры теоретической механики КГАСУ Шигабутдинов Ф.Г.

ã Казанский государственный архитектурно-строительный университет

ЗАДАНИЕ № 3

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ШАРНИРНО-стержневой системы

Для заданной шарнирно-стержневой системы (см.схему), состоящей из абсолютно жесткого бруса и упругих стержней с заданными соотношениями площадей поперечных сечений, требуется:

1. Установить степень статической неопределимости.

2. Найти усилия в стержнях.

3. Записать условия прочности для стержней от силовых воздействий и произвести подбор поперечных сечений стержней с учетом заданных соотношений площадей. Материал Ст-3, предел текучести принять равным 240 МПа = 24 кН/см 2 , коэффициент запаса прочности k = 1,5.

4. Найти напряжения в стержнях от неточности изготовления стержней d 1 = d 2 = d 3 = (см. табл.3). Если имеет знак плюс, то, значит, стержень сделан длиннее; если минус – короче.

5. Найти напряжения в стержнях от изменения температуры в стержнях на Dt° (см. табл.3). Коэффициент линейного расширения для стали 1/град.

6. Сделать проверку прочности системы при различных вариантах силовых и несиловых воздействий: 1) конструкция собрана, еще не нагружена, но произошел перепад температур; 2) случай, когда нет перепада температур, а конструкция собрана и нагружена. 3) случай, когда конструкция собрана, нагружена и произошел перепад температур.

7. Определить предельную грузоподъемность системы и истинный коэффициент запаса прочности, приняв постоянное соотношение между и .

Задание выполняется в полном объеме студентами специальностей ПГС и АД. Студенты других специальностей выполняют расчет системы только на внешнее нагружение по допускаемым напряжениям и по допускаемой нагрузке, исключив стержень 3.

Исходные данные для выполнения расчетно-графической работы выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем.

Схемы к заданию № 3

таблица 3

	А	Б	В	Г	Б	в	В
, кН	, кН/м	, м	, м	, м	, м	, м		, мм
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается шарнирно-стержневая система (рис.1), состоящая из жесткого бруса и деформируемых стержней, изготовленных с заданным соотношением площадей поперечных сечений, которое указывается в задании. Известны проектные нагрузки F , q ; размеры конструкции h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3 ; проектные колебания температуры: Dt 1 - в первом стержне, Dt 2 - во втором, Dt 3 - в третьем; неточности изготовления стержней, а именно d 1 – отличие от проектной длины в первом стержне, d 2 – во втором, d 3 – в третьем. Известны механические характеристики материала: модуль упругости Е = 2×10 4 кн/см 2 , предел текучести s т = 24 кн/см 2 , коэффициент температурного расширения a =125×10 -7 1/Град. Коэффициент запаса прочности k для этой конструкции принимается равным 1,5.

Необходимо решить 3 задачи:

1. Произвести подбор сечений стержней для изготовления этой системы из условия прочности этих стержней по допустимым напряжениям при проектных нагрузках.

2. Сделать заключение о допустимости проектных колебаний температуры и неточностей изготовления стержней.

3. Найти предельную грузоподъемность конструкции, допустимые нагрузки и истинный запас прочности.

Таким образом, работа состоит из проектировочного расчета, поверочного расчета, расчета предельных нагрузок для системы.

В РГР должны быть приведены 3 рисунка (выполненных в масштабе): исходная схема стержневой системы, силовая схема и кинематическая схема деформирования конструкции.

2. Метод сечений.

3. Закон Гука.

4. Удлинение от изменения температуры.

5. Предел прочности, допустимое напряжение, условие прочности.

6. Пластическое течение, предел текучести.

7. Статическая неопределимость.

8. Условие совместности деформаций.

9. Расчет по допускаемым напряжениям.

10. Расчет по теории предельного равновесия.

ОБЩИЙ ПЛАН РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ

Вначале конструкцию освобождают от связей, заменяя их реакциями. Методом сечений вводят в рассмотрение внутренние продольные силы (нормальные силы), возникающие в стержнях. При этом направлять их нужно от сечения, т.е. условно считать стержни растянутыми. Определить реакции и продольные силы из уравнений равновесия не удается, т.к. в плоской задаче статики можно составить 3 независимых уравнения равновесия, число же неизвестных силовых факторов (реакций и продольных сил) больше трех. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, вытекающие из предположения о деформируемости стержней (уравнения совместности деформаций, связывающие удлинения стержней между собой). Вытекают они из геометрических соображений. При этом используется предположение о малости деформаций. Кроме того, необходимо учесть следующее правило знаков. Полную разницу между проектной длиной стержня l и конечной истинной длиной l кон обозначают через Dl . Следовательно, если стержень удлиняется, то , если укорачивается, то .

Как видно из рис.2, изменение длины стержня Dl складывается из удлинения Dl ( N ) , вызванного усилием осевого растяжения N , удлинения Dl (t) , вызванного изменением температуры, и неточности изготовления d .

Если температура понижается, то Dt < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d < 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Поскольку удлинения выражаются через продольные силы по формулам (1), то из уравнений совместности вытекают соотношения, связывающие между собой искомые усилия. Здесь и далее для упрощения записи используются следующие обозначения: продольная сила и напряжение в стержне с номером i .

В рассматриваемой РГР не требуется отыскивать реакции. Поэтому из 3-х уравнений равновесия достаточно оставить одно – условие равенства нулю моментов всех внешних и внутренних сил относительно оси, проходящей через центр шарнира D (рис.1). Решение полученной системы (уравнений равновесия и совместности деформаций) позволяет отыскать усилия в стержнях.

Далее проводятся проектировочный (задача 1) и поверочный (задача 2) расчеты методом допустимых напряжений. За опасное напряжение принимается предел текучести s т . Согласно метода допустимых напряжений конструкция считается вышедшей из строя, если напряжение достигло опасного значения хотя бы в одном стержне, т.е. оказался разрушенным хотя бы один из стержней:

Для обеспечения безопасности конструкции требуется наличие запаса прочности, т.е. должно выполняться условие прочности вида

, (3)

где k - коэффициент запаса, [s ] - допустимое напряжение.

Разрушение одного элемента конструкции не всегда означает потерю ее эксплуатационных свойств (т.е. обрушения). Другие элементы могут взять на себя нагрузку или ее часть, которую должен был нести разрушенный элемент. Это соображение используется в задаче 3, решаемой методом предельного равновесия, называемого еще методом допустимых нагрузок .

В постановке задачи предполагается, что силы Р и Q увеличиваются пропорционально (Р / Q = const), площади сечений стержней известны из решения задачи 1, материал стержней - упруго-идеально-пластический. При увеличении нагрузки сначала "потечет" один стержень, напряжение в нем при дальнейшей деформации не будет увеличиваться и по модулю останется равным пределу текучести s т (см.рис.3). Последующее увеличение нагрузок приведет к тому, что сначала во втором, а затем и в третьем стержнях начнется пластическое течение, т.е. напряжения достигнут предела текучести. Очевидно, что какими бы ни были в начале процесса монтажные или температурные напряжения, наконец наступает момент, когда во всех стержнях напряжения достигнут предела текучести (т.к. они не могут принять больших значений, согласно диаграмме деформирования на рис.3). Достигнутые значения сил F = F пр и Q = Q пр называются предельными, т.к. их увеличение невозможно, а система начнет неограниченно деформироваться. Поскольку усилия N i в предельном состоянии известны (т.к. выражаются через напряжения), то из уравнения равновесия определяется F пр . Из условия безопасности нагружения находятся допустимые нагрузки

Как видно из рассуждений при решении задачи 3, наличие изменений температуры или неточностей изготовления стержней не уменьшает грузоподъемности конструкции, если стержни изготовлены из упруго-идеально-пластического материала.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Преподаватель может конкретизировать задачу подбора стержней, потребовав использовать сортамент прокатной стали, например, подобрать составное сечение из уголков по таблицам сортамента (см. пример расчета).

2. При вычислениях достаточно оставлять 3 значащие цифры.

3. При подборе размеров стержней допускается 5 % перегрузки.

Пример расчета

Пусть дана шарнирно-стержневая система (рис.4). Известно, что

E = 2×10 4 кн/см 2 , s т = 24 кн/см 2 , a = 125×10 -7 1/град. (5)

Общие сведения

Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с вы­явления степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости любой системы может быть установлена по формуле, которая для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:

Л = 3К - Ш, (23)

где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок - формулой (24):

Л = С оп - 3, (24)

где С оп - число опорных стержней.

Остановимся на применении формулы (23).

Пример 7.1.

Пользуясь формулой (23), опреде­лить степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Рама

Решение

Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирно-неподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирно-подвижная опора В - двум шарнирам. Следова­тельно, Ш= 1 + 2 = 3.

Степень статической неопределимости Л = 3К - Ш=3∙2 - 3 ==3 - рама трижды ста­тически неопределима.

Пример 7.2.

Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной на рис. 7.2.

Рис. 7.2. 3-х контурная рама. Рис. 7.3. 6-ти контурная рама

Решение

Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Сум­марное число шарниров Ш = 6 (два простых шарнира - Е и F и две шарнирно подвижные опоры -A и D). Число лишних связей Л =3∙3 - 6=3. Следовательно, рама трижды статически неопределима.

Пример 7.3.

Определить степень статической неопределимости рамы, изображённой на рис. 7.3.

Решение

В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шар­ниров - три (шарниры F,H и I ). Шарнир G - двукратный, как соединяю­щий три стержня. Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С - одному. Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической неопределимости Л =3∙6-14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.

После того как будет установлена степень статической неопределимости, выбирают основную систему.

Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама - заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Л = 3К - Ш =3∙1-0 =3.

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и вточке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х 1 ; Х 2 и момент Х 3 .

Величины Х 1 ; Х 2 ; X 3 называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆ 1 p = 0

δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 p = 0 (25)

δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 p = 0

Где δ 11 -перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 11 X 1 -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X 1 ;

δ 12 - перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ 12 X 2 - перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х 2 ;

δ 13 - перемещение точки приложения силы Х х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 13 X 3 - перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х 3 ;

∆ 1 p -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ 21 X 1 - перемещение точки приложения силы Х 2 по направлению этой силы, вызванное силой X 1 , и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ ik и грузовых ∆ ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Единичным будем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X t .

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М р и единичные M 1 , M 2 , ..., М п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ ik и грузовые ∆ ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ ik = δ ki .

Вычисленные значения δ ik и ∆ ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X 1 , X 2 , ..., Х п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X 1 = А 1 ;Х 2 = А 2 , ..., Х п = А п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

Умноженными на X 1 , ординатами эпюры , умноженными на Х 2 ..., и ординатами эпюры , умноженными на Х п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ 11 , δ 22 , δ 33 и т.д.) принято называть главными перемещениями , а с разными индексами

(δ 12 , δ 13 , δ 23 и т.д.) - побочными .

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

1. Схему вычерчиваем в масштабе . Нумеруем стержни.

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции R А и Н А . В стержнях 1 и 2 возникают усилия N 1 и N 2 . Применим . Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N 1 и N 2 направим от сечения.

Составляем уравнения равновесия

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1 . Значит, система , и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение . Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы . Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы .

Схема деформаций

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС 1 и АВВ 1 . Из подобия треугольников АВВ 1 и АСС 1 запишем соотношение:

, где ВВ 1 =Δℓ 1 (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС 1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

Из рисунка видно, что СС 2 = СС 1 ·cos (90º-α )= СС 1 ·sinα .

Но СС 2 = Δℓ 2 , тогда Δℓ 2 = СС 1 ·sinα , откуда:

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью . При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

Тогда будет:

Сокращаем обе части на Е , подставляем числовые значения и выражаем N 1 через N 2

Подставим соотношение (6) в уравнение (3) , откуда найдем:

N 1 = 7,12кН (растянут),

N 2 =-20,35кН (сжат).

Определим напряжения в стержнях.

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней , и в верхней опоре. Покажем их произвольно , это реакции R A и R В . Составим уравнение статики .

∑у =0 R A - F 1 + F 2 - R В =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно , значит задача 1 раз статически неопределима , и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций . В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора , т.е. Δℓ =Δ , это условие совместности деформации.

1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно , двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию . Направляем N от сечения .

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N 1 = - R А

N 2 = 120 - R А

N 3 = 120 - R А

N 4 = 30- R А

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации . Имеем 4 участка, значит

Δℓ 1 + Δℓ 2 + Δℓ 3 + Δℓ 4 = Δ (величина зазора).

Используя формулу для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций , — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м

Е – модуль упругости, Е =2·10 5 МПа=2·10 8 кПа .

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию R А .

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил .

N 1 =- R А = -47,5кН

N 2 =120 - R А = 72,5кН

N 3 =120 - R А = 72,5кН

N 4 =30- R А = -17,5кН.

5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры

Строим эпюру нормальных напряжений.

Проверяем прочность .

σ max = 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена .

1. Вычисляем перемещения , используя формулу для деформаций.

Идем от стены А к зазору .

Получили величину ω 4 , равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений .

На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м 3). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·10 5 МПа, А = 11 см 2 , а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения . Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1 . Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в

Тогда полное перемещение сечения 1-1 :

Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Q доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы, если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см 2

Данная система один раз статически неопределима . Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

(1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:(2)

По закону Гука имеем:

Длины стержней : Тогда получим:

Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

Определяем напряжение в стержнях:

В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

При сравнении видим увеличение нагрузки:

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.
Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части

Составим уравнение статики: N C + N M - P= 0 , N C + N M = P (1)

Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы : (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне:

(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости . При Е С = 2·10 5 МПа, Е М = 1·10 5 МПа:

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 мм (2);

Чтобы найти абсолютную деформацию , необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С , на втором разности (С- Р) . Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)

Подставляем выражение (3 ) в выражение (2) и находим: С = 150 кН , а из (1) B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение .

Точки С, D и К переместятся в положения С 1 , D 1 и К 1

Согласно картине деформирования СС 1 =Δℓ 1 , DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2 , KK 1 = Δℓ 3 , при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие , а стержень 2 – растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС 1 и BDD 1 , треугольников ВСС 1 и BKK 1 следует:

Согласно закона Гука абсолютные деформации:

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия, получим:

N 1 =14,3 кН (стержень сжат), N 2 =71,5 кН (стержень растянут), N 3 =42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения:
Задача решена.

Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры t Н =20ºС до t К =50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — W В =0 или W К =0. Таким образом:

Откуда:

В результате R B =20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:

Согласно результатам расчетов σ max =│69,1│MПа , при этом σ max < σ adm , (69,1<80). Следовательно, условие прочности стержня выполняется.

Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня:

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня :

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации :

Определим нормальные (продольные) силы , идем от стены к зазору:

Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:

После подстановки исходных данных и сокращений:

Из уравнения равновесия получаем:

Таким образом, R В =40,74 кН, R К =9,26 кН.

Расчет нормальных сил:
Строим эпюру N

Расчет нормальных напряжений:
Строим эпюру нормальных напряжений

Расчет перемещений характерных сечений.

Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.
Строим эпюру перемещений.

Дана статически неопределимая стержневая система (деталь ВСD — жесткая). Требуется подобрать площади поперечных сечений стержней 1 и 2.

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N 1 и N 2.

Покажем схему системы с усилиями N 1 и N 2

Составим для данной системы уравнение равновесия, исключая из рассмотрения реактивные силы в опоре С Данное уравнение содержит два неизвестных: N 1 и N 2 . Следовательно, система один раз статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение. Это уравнение деформаций. Покажем систему в деформируемом состоянии под действием нагрузки:

Из анализа системы в деформируемом состоянии следует, что:

Поскольку , и учитывая, что можно записать: Последняя запись и есть необходимое дополнительное уравнение деформаций .

Запишем значения абсолютных деформаций стержней:

Тогда с учетом исходных данных дополнительное уравнение примет вид:

Принимая во внимание уравнение равновесия , получим систему:

Из решения этой системы уравнений следует:

N 1 =48кН (стержень растянут), N 2 =-36,31кН (стержень сжат) .

Согласно условию прочности стержня 1:

тогда с учетом условия А 1 =1,5А 2 по заданию, получаем

Согласно условию прочности стержня 2 :Тогда

Окончательно принимаем:

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, в которых реактивные факторы и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Данные системы классифици­руются по степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости представляет собой разность между числом неизвестных реакций и числом уравнений равновесия. Степень статической неопредели­мости системы определяет количество дополнительных уравнений (уравне­ния перемещений), которые необходимо составить при раскрытии статической неопределимости.

В статически определимых стержневых системах усилия возникают только от действия внешней нагрузки. В статически неопределимых стерж­невых системах усилия возникают не только от внешних нагрузок, но и в ре­зультате неточности изготовления отдельных элементов системы, изменения температуры элементов системы и т.д. При отклонении действительных про­дольных размеров стержней от номинальных (расчётных) при сборке стати­чески неопределимых систем возникают дополнительные, так называемые монтажные усилия и напряжения. При изменении температуры статически неопределимой стержневой системы в ее элементах возникают дополнитель­ные, так называемые температурные усилия и напряжения.

Расчет статически неопределимых стержней и стержневых систем вы­полняется по следующей методике.

1. Проводится анализ схемы закрепления и определяется степень статиче­ской неопределимости стержневой системы.

2. Рассматривается статическая сторона задачи, т.е. составляются уравне­ния равновесия.

3. Анализируется геометрическая сторона задачи. Система рассматрива­ется в деформированном состоянии, устанавливается взаимосвязь между де­формациями или перемещениями отдельных элементов системы. Полученные уравнения являются уравнениями совместности перемещений (деформаций). Количество уравнений совместности перемещений (деформа­ции) равно степени статической неопределимости системы.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука перемещения или деформации элементов системы выражаются через дейст­вующие в них внутренние усилия и с учётом этого записываются уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде.

5. Решая совместно уравнения равновесия и совместности перемещений в развёрнутом виде определяются неизвестные реакции, т.е. раскрывается ста­тическая неопределимость стержневой системы.

6. Дальнейший расчёт на прочность и жёсткость аналогичен расчёту статически определимых систем.

Методика решения статически неопределимых стержней и стержневых систем показана на примерах решения различных задач.

Пример 1. Ступенчатый стержень, защемлённый с обеих сторон, нагружен силами F (рис.10,а). Требуется раскрыть статическую неопределимость стержня и определить площадь поперечного сечения.

Исходные данные: длина участка стержня l , площадь поперечного сечения стержня А модуль продольной упругости материала стержня Е , допускаемое напряжение .

Заданная стержневая система.

1. В результате действия внешних сил на стержень возникают две опорные реакции R 1 и R 2 . Уравнений равновесия для плоской стержневой системы можно составить одно следовательно стержень один раз статически неопределим (рис. 10,6).

2. Рассматривается статическая сторона задачи. Выбирается расчётная схема (рис. 10,6) и составляется уравнение равновесия:

3. Анализируется условие деформирования стержня и геометрическая сторона задачи, составляется уравнение совместности перемещений.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. Условно принимая, что реакции R 1 и R 2 известны, определяются нормальные силы на участках

На основе закона Р.Гука записываются выражения перемещений на каждом участке, и затем составляется уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

Рис.10. Заданный стержень, расчетная схема стержня, эпюры нормальной силы, нормального напряжения и перемещений

5. Совместное решение уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде позволяет определить неизвестные реакции Статическая неопределимость стержня раскрыта.

6. Строятся эпюры N z , σ z , δ (рис 10). Записывается условие прочности

и определяется площадь поперечного сечения стержня

Пример 2. Абсолютно жёсткий брус шарнирно крепится к стержням и опирается на шарнирно неподвижную опору (рис. 11,а). К брусу приложена сила F. Требуется раскрыть статическую неопределимость стержневой системы и определить величину допускаемой силы [F].

Исходные данные: длины стержней и длины участков бруса заданы в долях а , площади поперечного сечения стержней A 1 = 2A и A 2 =А, модуль упругости материала стержней Е, допускаемое напряжение .

Рис.11,а Рис. 11,б

1. Заданная стержневая система один раз статически неопределима, поскольку неизвестных реакций четыре - Н, R, R 1 , R 2 , а уравнений равновесия для плоской системы сил - три.

2. Рассматривается статическая сторона задачи (рис. 11,6). Составляются уравнения равновесия

3. Анализируется геометрическая сторона задачи (рис. 11,в) и составляется уравнение совместности перемещений. Из подобия треугольников имеем:

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука определяются выражения деформаций , и затем записывается уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

5. Совместное решение уравнений равновесия и развёрнутого уравнения совместности перемещений позволяет определить величины усилий в стержнях через внешнюю нагрузку N 1 =0,442P, N 2 = 0,552Р. Статическая неопределимость системы раскрыта.

Из условия прочности I стержня

допускаемая нагрузка равна

Из условия прочности II стержня

допускаемая нагрузка равна

Окончательно принимаем для стержневой системы меньшее значение . При этом рабочие напряжения во II стержне будут равны допускаемым, а первый стержень будет недогружен.

Вопросы и задания для самопроверки,

1. Какие стержни и стержневые системы называются статически неопределёнными?

2. Как определяется степень статической неопределимости?

3. Что представляют собой уравнения совместности перемещений?

4. Какие усилия и напряжения называются монтажными?

5. Какие усилия и напряжения называются температурными?

6. Перечислите основные этапы расчётов на прочность и жёсткость ста­тически неопределимых систем при растяжении (сжатии).

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО - ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

РАСЧЕТЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТ­КОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

Абсолютно жесткий брус К, нагруженный силами F;, удерживается в равновесии стальными стержнями длиной щ и крепится посредством опор­ных устройств. Требуется выполнить проектировочный расчет (найти пло­щади поперечных сечений стержней).

Последняя цифра соответствует номеру схемы (рис. 12... 14).

Данные варианта приведены в таблице 3.

В расчетах принять: Р =10 кН.

Таблица 3. Данные к задаче РПР